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SEGUNDO PARCIAL
Clase Nº
Fecha: 20/07/
Tema:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definición
Es una técnica matemática que forma parte de las ciertas Transformadas integrales como la
Transformada de Fourier, la Transformada de Hilbert, y la Transformada de Mellin entre
otras.
Estas transformadas están medidas por medio de una integral impropia y cambian una
función en una variable de entrada en otra función en otra variable.
Sea f de una función definida para la transformada de Laplace de f (t) se define como:
cu L
f ( t )
∫
0
e
st
f ( t ) dt
Descripción:
La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se
considera constante.
La transformada de la Laplace convierte una función en t en una función de la
variable s.
Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
-De orden exponencial.
-Continua a trozos.
Importancia
Y
T =C1 e
2 x
cos
3 x
PLC
Q
±
¿Para qué se utiliza la Transformada de Laplace?
La transformada de Laplace puede ser usada para resolver:
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Lineales
Ecuaciones Integrales
Existencia de la Transformada
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una
función cualquiera:
- Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo
- Ser de orden exponencial
Definición de la Transformada Inversa
La Transformada inversa de una función en s , digamos F(s) es una función de t cuya
transformada es precisamente F(s) , es decir
si es que acaso
Esta definición obliga a que se cumpla:
Tabla de Transformadas
- Obtención
- Obtención
- Obtención
- Obtención Para n entero
donde
Idea
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la
variable s.
Versión para la inversa:
- Teorema de la transformada de la derivada.
Idea
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.
- Teorema de la transformada de la integral.
- Teorema de la integral de la transformada.
Siempre y cuando exista
- Teorema de la derivada de la transformada.
- Transformada de la función escalón.
Si representa la función escalón unitario entonces
- Segundo teorema de Traslación
- Transformada de una función periódica
Si f (t) es una función periódica con período T :
Teorema de la Convolución
Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
Técnicas para la Transformada Inversa.
- Separación de Fracciones.
- Primer Teorema de Traslación.
- Fracciones Parciales.
- Segundo Teorema de Traslación.
- Convolución.
Método de Solución A ED basado en Laplace
Pasos
- Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ED
- Usar las propiedades de la transformada para tener una expresión en L{y(t)}. Esta
expresión se conoce como la Ecuación Característica.
- Aplicar la transformada inversa de Laplace para despejar y(t).
DERIVADA DE UNA TRANSFORMADA
Fórmulas L Representa la función Transformada.
f(t) f(s)
s
e
at
s − a
e
− at
s + a
t
n
n!
s
n + 1
Sen at
a
s
2
2
Cos at
s
s
2
2
Sen at
a
s
2
2
s ----s + a (-)
e
3 +¿ cos 5 t =
s
s
2
2
=
( s − 3 )
( s − 3 )
2
¿
s − 3
s
2
− 6 s + 34
e
3 t
sen 5 t =
s
2
2
( s − 3 )
2
2
s
2
1 ¿ e ¿
3 t
cos 5 t
e
3 t
sen 5 t
s + 2
s
2
e
3 t
cos 5 t = L
s
s
2
2
= L
s − 3
( s − 3 )
2
2
= L
s − 3
( s ¿¿ 2 − 6 s + 34 ) ¿
e
3 t
sen 5 t = L
s
2
2
= L
s
2
2
= L
s
2
− 6 s + 34
e
3 t
cos 5 t + e
3 t
sen 5 t = L
( s − 3 )+ 5
( s − 3 )
2
e
3 t
cos 5 t
e
3 t
sen 5 t =
s + 2
s
2
− 6 s + 34
t
2
e
− 7 t
s
3
( s + 7 )
7
e
− t
sen 3t
L
S
2
2
t=
L
( s + 1 )
2
2
= L
( s + 1 )
2
2
= L
( s + 1 )
2
2
s
2
TRANSFORMADA INVERSA
Pasos para aplicar la transformada inversa.
Transformada de Cos 5t Transformada de e
Analizo si tengo e.
Ordenar el denominador, hago un trinomio y saco e.
Cuando tengamos una variable la cambiamos por una constante.
EJEMPLOS:
Ejemplo Nº
L
-
[
2 s + 5
s
2
]
L
-
2 s + 4 + 1
( s
2
2
2
=
2 ( s + 2 )+ 1
( s ¿¿ 2 + 2 )
2
2
2 L
-
( s + 2 )
( s + 2 )
2
2
+
L
-
( s + 2 )
2
2
e
− 2 t
L
-
s
s
2
2
+
e
− 2 t
L
-
s
2
2
.
e
− t
cos t cos 3 t+
e
− 2 t
sen 3t
Ejemplo Nº
L
-
[
2 s
2
( s + 1 )( s − 2 )( s − 3 )
]
Aplicamos fracciones parciales
A e
− t
2 t
+C
e
3 t
e
− t
e
2 t
e
3 t
A
( s + 1 )
B
( S − 2 )
C
( S − 3 )
A ( s − 2 ) ( s − 3 )+ B ( s + 1 ) ( s − 3 ) + C ( s + 1 )( s − 2 )
( s + 1 )( s − 2 )( s − 3 )
A(s-2) (s-3) = s
2
-3s-2s+6= s
2
-5s+
B (s+1) (s-3) = s
2-
2s-
C (s+1) (s-2) = s
2-
s-
s
2
: A+B+C=
y``` = S
3
L [y(x)] – S
2
y(0) – S y`(0) – y``(0)
y`` = S
2
L [y(x)] – S y(0) – y`(0)
y` = SL [y(x)] – y(0)
y = L [y(x)]
Ejemplo Nº 2
y´´ + 9y = 0 y(0) = 3 y`(0) = 4
[S
2
L [y(x)] – S y(0) – y`(0) ] + 9 L [y(x)] = 0
[S
2
L [y(x)] – 3s – 4 + 9 L [y(x)] = 0
L [y(x)] (s
2
y(x) = L
-
3 S + 4
S
2
= 3 L
-
s
S
2
2
+ L
-
S
2
2
x
Ejemplo Nº 3
y´´ - y- 2y = 0 y(0) = 0 y(0) = 2
[S
2
L [y(x)] – S y(0) – y`(0) ] - [SL [y(x)] – y(0) ] – 2 L [y(x)] = 0
[S
2
L [y(x)] – 2 – S L [y(x)] – 2 L [y(x)] = 0
L [y(x)] (s
2
y(x) = L
-
S
2
− s − 2
y(x) = L
-
( s − 2 ) ( s + 1 )
A
s − 2
B
s + 1
y(x) =
L
-
s − 2
L
-
s + 1
Ejemplo Nº 4
y(x) = 3 Cos 3x +
Sen 3x
(s + 1) A + B (s-2) = 2
As + A + Bs – 2B = 2
A + B = 0
A – 2B = 2
– 3B = 2
B =
A =
y(x) =
e
2x
e
-x
y´´ - 6y+ 34y = 0 y(0) = 3 y(0) = 1
[S
2
L [y(x)] – S y(0) – y`(0) ] + 6 [SL [y(x)] – y(0) ] + 34 L [y(x)] = 0
[S
2
L [y(x)] – 3s – 1 + 6s L [y(x)] – 18 + 34 L [y(x)] = 0
L [y(x)] (s
2
y(x) = L
-
3 s + 19
s
2
L
-
3 s + 1 9
s
2
y(x) = ʃ
-
3 s + 19
( s + 3 )
2
2
ʃ
-
3 ( s + 3 )+ 10
( s + 3 )
2
2
y(x) = 3 ʃ
-
( s + 3 )
( s + 3 )
2
2
ʃ
-
( s + 3 )
2
2
y(x) = 3 L
-
( s + 3 )
( s + 3 )
2
2
2 L
-
( s + 3 )
2
2
Ejemplo Nº 5
y` + 3y = 13Sen2x y(0) = 6
[S L [y(x)] – y (0) ] + 3 L [y(x)] =
s
2
[S L [y(x)] – 6 + 3 L [y(x)] =
s
2
L [y(x)] (s + 3) – 6=
s
2
L [y(x)] (s + 3) =
s
2
L [y(x)] (s + 3) =
6 s
2
( s
2
y(x) = L
-
6 s
2
( s + 3 ) ( s
2
A
s + 3
Bs + C
s
2
y(x) = L
-
s + 3
L
-
− 2 s + 6
s
2
y(x) = 8L
-
s + 3
L
-
s
s
2
2
L
-
s
2
2
y(x) = 3e
-3x
Cos 5 + 2e
-3x
Sen5x
A(s
2
2
As
2
2
A + B = 6 A = 6 - B
3B + C = 0 C = -3B
4A + 3C = 50
4 (6-B) + 3(- 3B) = 50
24 – 4B – 9B = 50
24 – 13B = 50
-13B = 26
B = - 2
A = 6 + 2 C = 3(2)
A = 8 C = 6
A ( s + 4 ) + Bs = s + 1
As+4A+Bs
S:A+B=
#:4A=1 B=
5) L
-
s
( s + 2 )( s
2
=
A
s + 2
+
Bs + C
s
2
=
S
s
+
s
2
