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Transformada de Laplace. Ejercicios resueltos para aprender
Tipo: Ejercicios
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FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
Una función escalonada es aquella función definida a trozos y tiene la forma de una
escalera que pueden ascender o descender al ser dibujadas. El ejemplo más común
de función escalonada es la función parte entera, función escalón de Heaviside o
función escalón unitario, y la función signo.
La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da
por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida
para cualquier valor de x en el rango de s(x).
Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en
que se halle definida. No puede definirse en los puntos en los que hay
discontinuidades.
La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario o de
causalidad a la derecha del cero, debe su nombre al matemático inglés Oliver
Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento
negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:
x-> u(x)
que se define de esta forma:
u(x) = {o si x < 0} o {1 si x ≥ 0}
En ocasiones esta función suele denotarse por H(x).
Existen varias maneras diferentes de definir la función de Heaviside, no todas ellas
equivalentes. Las diferentes definiciones no equivalentes difieren solo en el valor H
(0), que es convencional. La mayoría de autores lo definen como H(0) =1, otros H(0)
= 0. Algunos que lo definen como H(0) = 1/2, ya que maximiza la simetría de la
función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:
{0, x < 0
H(z)= {1/2, x = 0
{1, x > 0
Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la
siguiente forma:
{0, x < 0
H(z)= {𝑎, x = 0 𝑎 ∈ { 0 ,
1
2
{1, x > 0
Una forma de representar esta función es a través de la integral
ⅇ→ 0
1
2 𝜋
𝑖
1
𝑟+𝑖ⅇ
∞
−∞
−𝑖 2 𝑟
Definición como límite de otras funciones.
𝑛→∞
−𝑛𝑥
𝑡→ 0
arctan
𝑛→∞
1 + tanh(𝑛𝑧)
Se trata de la sucesión entera u : Z → {0, 1} definida por:
𝑛
0 si n < 0
1 si n ≥ 0
La función escalón se emplea con frecuencia en procesamiento de señales, para
describir el comportamiento de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. La
respuesta al escalón s n se define como la salida de un sistema excitado por un
escalón Un. Puede demostrarse que la respuesta impulsiva hn del sistema LTI se
calcula a partir de la respuesta al escalón, denotada por s n
, de la siguiente manera
Hn = s n - s n- 1
Función escalón considerando H (0) = 1/
2
2
f(t) = 𝑒
𝑎𝑡
sinh(ωt), ω ∈ R. Si Re z > |ω| + Re a, entonces
2
2
𝑎𝑡
cosh(ωt), ω ∈ R. Si Re z > |ω| + Re a, entonces
2
2
𝑎𝑡
𝑛
con n ∈ N. Entonces
𝑛+ 1
siempre que Re z > Re a.
Segundo Teorema de Traslación
Sea ahora a > 0 un número real y supongamos que f ∈ E está definida por f(t)=0 para
todo t < 0. Recordemos que ha es la función de Heaviside. Entonces tenemos el
siguiente resultado.
Bajo las anteriores condiciones se verifica para todo z ∈ Df
𝑎
−𝑎𝑧
Tomamos
−𝑧𝑡
𝑎
(𝑡)𝑓(𝑡 − 𝑎)ⅆ𝑡 = lim
𝑧→+∞
−𝑧𝑡
𝑎
𝑥
0
+∞
0
lim
𝑧→+∞
−𝑧𝑡
𝑥
𝑎
lim
𝑧→∞
−𝑧(𝑠+𝑎)
𝑥−𝑎
0
−𝑧𝑎
−𝑧𝑠
+∞
0
Haciendo el cambio de variable s = t − a. De aquí se obtiene inmediatamente
Este resultado es útil para obtener la Transformada de Laplace de funciones
continuas a trozos. Por ejemplo, consideremos la función
Esta función puede describirse como
0
1
Entonces
0
1
−𝑧
2
−𝑧
2
2
−𝑧
2
Para todo z ∈ C tal que Re z > 0.
TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL
Una transformada integral solamente cambia la representación de una función de una
base ortogonal a otra. Cada punto en la representación de la función transformada en
el dominio objetivo corresponde a la contribución de una función de base ortogonal
dada a la expansión.
Las transformadas integrales son operadores que asocian nuevas funciones a
funciones de un determinado conjunto mediante integración respecto a un
determinado parámetro,
A la función K (t, s) se la denomina núcleo integral de la transformación y el intervalo
de integración (a, b) suele ser infinito. A la función F(s) se la denomina transformada
de la función f. Normalmente la transformada integral se puede invertir por medio de
una transformada inversa, con un núcleo integral parecido a la inicial. Obviamente las
transformadas integrales son transformaciones lineales. Para f, g funciones
transformables y a, b ∈ R,
h(t) = af(t) + bg(t) ⇒ H(s) = aF(s) + bG(s),
al estar definidas por medio de integración, que es una operación lineal. La idea de las
transformadas integrales es descomponer la función f en suma infinita de funciones de la
forma K (t, s0), según interese para el problema concreto. Por ejemplo, en
electromagnetismo, óptica, hidrodinámica... puede interesar descomponer una señal f(t) es
suma de senos y cosenos de distinta frecuencia w y amplitud Aω, las llamadas ondas planas
𝐴 𝑤
𝑒
𝑖𝑤𝑡
Es decir, F(ω) es esencialmente la amplitud Aω correspondiente a la frecuencia Aω
en la descomposición de la señal f(t) en ondas planas. En teoría de control, circuitos,
resistencia de materiales es importante otra transformada integral, la transformada de
Laplace,
Que, como su aspecto indica, es especialmente útil para analizar problemas en los
que predomine un comportamiento exponencial, como, por ejemplo, los sistemas y
ecuaciones lineales de coeficientes constantes que se estudiaron en el tema anterior.
Esta será la principal aplicación que le daremos en este tema. En el caso de la
transformada de Laplace, la transformada inversa no es sencilla, ya que recurre a
técnicas de variable compleja. Aparte de la transformada de Laplace, existen muchas
otras, las transformadas de Hankel, Mellin, Hilbert, Z.…que se aplican a problemas
concretos de la teoría de la señal.
TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA
Recordemos que una función f es periódica con periodo p > 0, si satisface:
F (t + p) = f(t) para toda t:
Para el cálculo de la TL de una función de este tipo, tenemos:
Si ahora, tomamos la integral (*), y hacemos el cambio de variable t = u + np (con lo
cual dt = du) ;) hallamos que t = np → u = 0 & t = (n + 1) p → u = p. Entonces, por la
periodicidad de
De esta manera
En el último resultado hemos tomado en cuenta que la variable de integración es
muda, es decir:
Ahora bien, lo que aparece entre paréntesis es una serie geométrica, con
razón𝑟 = 𝑒
−𝑝𝑠
, para la cual se tiene, en caso de convergencia, el siguiente resultado:
En nuestro caso,
−𝑝𝑠
1
ⅇ
−𝑝𝑠
< 1 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 0 ) obtenemos finalmente:
Observamos que esta fórmula es en cierto sentido la misma que aparece en la
definición de TL con dos particularidades: la primera es que sólo se integra a lo largo
de un periodo, la segunda es que se introduce el factor
1
1 − ⅇ
−𝑝𝑠
Diagrama esquemático de la función delta de Dirac.
CONCLUSIÓN
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de
ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier,
la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras.
Puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace
posible que diversas funciones sunisoidales, sinusoidales amortiguadas y
exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable
complejas, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por
operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes.
Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian
una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.
La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales
Lineales y Ecuaciones Integrales.
Al analizar las aplicaciones es sencillo darse cuenta que la transformada de Laplace
es una herramienta muy poderosa para la solución de circuitos con funciones de
excitación en escalón unitario, las cuales son un poco complicadas si se analizan por
los métodos convencionales.
También es importante hacer notar que con el uso de la transformada de Laplace se
tiene un método generalizado para la solución de este tipo de problemas, incluso para
funciones de excitación compleja.
Es característico del método de la Transformada de Laplace, el uso de técnicas
gráficas para predecir o analizar el funcionamiento de un sistema sin tener que
resolver las sus ecuaciones diferenciales. Otra ventaja es que con este método se
resuelve la ecuación diferencial obteniendo, simultáneamente, las componentes del
estado transitorio y estacionario de la solución.
