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TRANSFORMADOR DEL DO WHILE DÉBIL DE DIJKSTRA
TRANSFORMADOR DEL WHILE
DO: B
⟶ S
∎ B
⟶ S
∎... ∎ B
n
⟶ S
n
OD
Regla de transformación del DO WHILE:
WP(DO , R) = Ǝ
k≥
H
k
(R) ; donde k representa la iteración k
Para la iteración 0 se tiene:
H
(R) = R ∧ (⌐ B
∧ ⌐ B
∧... ∧ ⌐ B
n
Para la iteración K se tiene:
H
k
(R) = WP ( IF , H
k- 1
(R) ) ∨ H
(R)
Recordemos:
P ∨ ⌐P = T
P ⟹ Q ˄ P ≡ Q
P ˄ (P ∨ Q) ≡ P
P ∨ (P ˄ Q) ≡ P
EJEMPLOS
1 .- Calcular la precondición más débil, WP (DO, R) Donde:
K: 4
DO: do i > 3 ⇒ i:= i – 3 od
R: i = 3
Solución:
WP (DO, R) = H 4 (R)
H
0
(R) = R ∧ (⌐B
∧ ⌐B
∧... ∧ ⌐B
n
H
0
(R) = i = 3 ∧ (⌐(i > 3 ))
H
0
(R) = i = 3 ∧ (i <= 3 )
H
0
(R) = i = 3 ∧ (i < 3 ∨ i = 3)
H
0
(R) = i = 3
H
k
(R) = WP (IF, H
k- 1
(R)) ∨ H
0
(R)
H
1
(R) = WP (IF, H
1 - 1
(R)) ∨ i = 3
H
1
(R) = WP (IF, i = 3 ) ∨ i = 3
H
1
(R) = (i > 3 ) ∧ i > 3 ⇒WP(i:= i – 3 , i = 3 ) ∨ i = 3
H
1
(R) = WP(i:= i – 3 , i = 3 ) ∨ i = 3
H
1
(R) = i - 3 = 3 ∨ i = 3
H
4
(R) = WP(i:= i – 3 , i = 12 ∨ i = 9 ∨ i = 6 ∨ i = 3 ) ∨ i = 3
H
4
(R) = i - 3 = 12 ∨ i- 3 = 9 ∨ i- 3 = 6 ∨ i- 3 = 3 ∨ i = 3
H
4
(R) = i = 15 ∨ i = 12 ∨ i = 9 ∨ i = 6 ∨ i = 3
Por lo tanto WP (DO, R) = H 4 (R) = i = 15 ∨ i = 12 ∨ i = 9 ∨ i = 6 ∨ i = 3
WP(DO , R) = Ǝ
k≥
H
k
(R) ;
H
k
*(R) = i = 3 (k+1)
2 .- Calcular la precondición más débil, WP (DO, R) Donde:
K: 2
DO: do i < n ⇒ i:= i + 1; s = s* 2 od
R: s = 2
i
Solución:
H
0
(R) = R ∧ (⌐B
∧ ⌐B
∧... ∧ ⌐B
n
H
0
(R) = s = 2
i ∧ (⌐(i < n))
H
0
(R) = s = 2
i ∧ (i >= n)
H
k
(R) = WP (IF, H
k- 1
(R)) ∨ H
0
(R)
H
1
(R) = WP (IF, s = 2
i ∧ (i >= n)) ∨ s = 2
i ∧ (i >= n)
H
1
(R) = i < n ∧ i < n ⇒ WP(i:= i + 1; s = s* 2 , s = 2
i ∧ (i >= n)) ∨ s = 2
i ∧ (i >= n)
H
1
(R) = WP(i:= i + 1; s = s* 2 , s = 2
i ∧ (i >= n)) ∨ s = 2
i ∧ (i >= n)
H
1
(R) = WP(i:= i + 1 , WP(s = s* 2 , s = 2
i ∧ (i >= n))) ∨ s = 2
i ∧ (i >= n)
H
1
(R) = WP(i:= i + 1 , s * 2= 2
i ∧ (i >= n)) ∨ s = 2
i ∧ (i >= n)
H
1
(R) = s * 2 = 2
i+ ∧ (i + 1 >= n) ∨ s = 2
i ∧ (i >= n)
H
1
(R) = s * 2 = 2
i+ ∧ (i >= n- 1 ) ∨ s = 2
i ∧ (i >= n)
H
1
(R) = (s = 2
i ∧ (i >= n- 1 )) ∨ (s = 2
i ∧ (i >= n))
H
1
(R) = (s = 2
i ) ∧ (i >= n- 1 ∨ i >= n)
3 .- Calcular la precondición más débil, WP (DO, R) Donde:
K: 2
DO: do y ≥ 0 ⇒ r:= r – y; q = q + 1 od
R: x = r + (y * q) ∧ y > r
Solución:
H
0
(R) = x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ (⌐(y ≥ 0 ))
H
0
(R) = (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
1
(R) = WP (IF, H
0
(R)) ∨ H
0
(R)
H
1
(R) = WP (IF, (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
1
(R) = y ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ⇒ WP(r:= r – y; q = q + 1 , (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
1
(R) = WP(r:= r – y; q = q + 1 , (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
1
(R) = WP(r:= r – y, WP( q = q + 1 , (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 ))) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
1
(R) = WP(r:= r – y, (x = r + (y * (q+1)) ∧ y > r ∧ y < 0 )) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
1
(R) = (x = (r - y) + (y * (q+1)) ∧ y > (r - y) ∧ y < 0 ) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
1
(R) = (x = r - y + y * q+ y ∧ y + y > r ∧ y < 0 ) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
1
(R) = (x = r + (y * q) ∧ 2y > r ∧ y < 0 ) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
1
(R) = (x = r + (y * q) ∧ 2y > r ∧ y < 0 ) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
1
(R) = (x = r + (y * q)∧ y < 0 ) ∧ (2y > r ∨ y > r )
H
2
(R) = WP (IF, H
1
(R)) ∨ H
0
(R)
H
2
(R) = WP (IF, (x = r + (y * q)∧ y < 0 ) ∧ (2y > r ∨ y > r )) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
2
(R) = y ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ⇒ WP(r:= r – y; q = q + 1 , (x = r + (y * q)∧ y < 0 ) ∧ (2y > r ∨ y > r )) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
2
(R) = WP(r:= r – y; q = q + 1 , (x = r + (y * q)∧ y < 0 ) ∧ (2y > r ∨ y > r )) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
2
(R) = WP(r:= r – y, WP( q = q + 1 , (x = r + (y * q)∧ y < 0 ) ∧ (2y > r ∨ y > r ))) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
2
(R) = WP(r:= r – y, (x = r + (y * (q+1))∧ y < 0 ) ∧ (2y > r ∨ y > r )) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
2
(R) = (x = (r-y)+ (y * (q+1))∧ y < 0 ) ∧ (2y > r-y ∨ y > r-y ) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
2
(R) = (x = r + (y * q)∧ y < 0 ) ∧ (2y+y > r ∨ y+y > r) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
2
(R) = (x = r + (y * q)∧ y < 0 ) ∧ (3y > r ∨ 2y > r) ∨ (x = r + (y * q) ∧ y > r ∧ y < 0 )
H
2
(R) = (x = r + (y * q)∧ y < 0 ) ∧ (3y > r ∨ 2y > r ∨ y > r )
Por lo tanto WP(DO,R) = H 2
(R) = (x = r + (y * q)∧ y < 0 ) ∧ (3y > r ∨ 2y > r ∨ y > r )
