Fonaments Matemàtics (segona part)
José Luis Ruiz
Departament de Matemàtiques
Facultat d’Informàtica de Barcelona
Universitat Politècnica de Catalunya
Juliol 2016
Ruiz (MAT/FIB/UPC) Fonaments Matemàtics (segona part) Juliol 2016 1 / 51
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Transparències 1, Apuntes de Ingeniería Infórmatica
Asignatura: Introducció a la Lògica, Profesor: , Carrera: Enginyeria Informàtica, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
2016/2017
1 / 51
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Vista previa parcial del texto
¡Descarga Transparències 1 y más Apuntes en PDF de Ingeniería Infórmatica solo en Docsity!
Fonaments Matemàtics (segona part)
José Luis Ruiz
Departament de Matemàtiques Facultat d’Informàtica de Barcelona Universitat Politècnica de Catalunya
Juliol 2016
L’anell dels nombres enters
L’anell dels enters
Nombre naturals: N = { 0 , 1 , 2 ,.. .} Nombres enters: Z = { 0 , ± 1 , ± 2 ,.. .}
Operacions amb enters La suma i el producte de dos enters és un altre enter; és a dir, són operacions binàries internes en el conjunt Z:
- : Z × Z → Z, · : Z × Z → Z
L’anell dels nombres enters
Propietats de les operacions: el producte
El producte d’enters satisfà les propietats: Associativa: si a, b, c ∈ Z, llavors a(bc) = (ab)c. Commutativa: si a, b ∈ Z, llavors ab = ba. Existència d’element neutre: si a ∈ Z, llavors 1 · a = a. A més, la suma i el producte d’enters satisfan la propietat distributiva: Distributiva: si a, b, c ∈ Z, llavors a(b + c) = ab + ac.
L’anell dels nombres enters
Z és un anell
Un anell és un conjunt amb dues operacions que satisfan totes les propietats anteriors. Z és un anell amb la suma i el producte usuals. Un cos és un conjunt amb dues operacions que satisfan totes les propietats anteriors i, a més, l’equació ax = 1 té solució per a tot a 6 = 0. Per exemple: Q és un cos. No sempre podem dividir un enter per un altre (és a dir, no sempre hi ha inversos): l’equació ax = 1 té solució si, i només si, a = 1 o a = −1. Per tant, Z no és un cos.
Divisibilitat
La relació de divisibilitat
Siguin a, b ∈ Z.
Definició a divideix b si existeix un enter x ∈ Z tal que ax = b. És a dir, si ax = b té solució entera en x.
També diem: a és un divisor de b; b és un múltiple d’a; b és divisible per a. Notació: a | b. Si a no divideix b, escrivim a 6 | b.
Observació: 0 no divideix cap enter diferent de 0.
Divisibilitat
Propietats de la relació de divisibilitat
- Per a tot a ∈ Z, 1 | a.
- Per a tot a ∈ Z, a | 0.
- Per a tot a, b, c ∈ Z, si a | b, llavors a | bc.
- Reflexiva: per a tot a ∈ Z, a | a.
- Transitiva: per a tot a, b, c ∈ Z, si a | b i b | c, llavors a | c.
- Linealitat: per a tot a, b, c ∈ Z, si a | b i a | c, llavors per a tot x, y ∈ Z, a | bx + cy.
Divisibilitat
Divisió euclidiana
Teorema de la divisió euclidiana Si a ∈ Z i b ∈ Z − { 0 }, aleshores existeixen enters únics q i r que satisfan:
a = bq + r , 0 ≤ r < |b|.
Els enters q i r s’anomenen, respectivament, el quocient i el residu de la divisió entera de a per b.
Nombres primers i factorització d’enters
Nombres primers
Definició Un enter p > 1 és primer si, i només si, els únics divisors positius de p són 1 i p. Un nombre enter n > 1 és compost si no és primer.
Exemples Els primers més petits que 50 són:
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47
El primer conegut més gran (gener de 2016) és: 2^74207281 − 1, que té 22338618 digits decimals.
Nombres primers i factorització d’enters
Garbell d’Eratòstenes
N > 3 enter. Trobar tots els primers p ≤ N.
Garbell d’Eratòstenes Sigui L la llista dels enters senars entre 3 i N. Els elements de L poden estar en 3 estats: marcats com a primers, eliminats, no eliminats. (^1) Sigui p el primer element de L que no està marcat com a primer ni està eliminat. (^2) Marquem p com a primer. Si p >
N, acabem i marquem com a primers els enters de L que encara no estan eliminats. (^3) Si p ≤
N, eliminem els enters de L que siguin múltiples de p. Tornem al pas 1.
Nombres primers i factorització d’enters
Primers < 100
Apliquem l’algorisme anterior a N = 100.
3 5 7 — 9 11 13 — 15 17 19 — 21 23 — 25 — 27 29 31 — 33 — 35 37 — 39 41 43 — 45 47 — 49 — 51 53 — 55 — 57 59 — 61 — 63 — 65 67 — 69 71 73 — 75 — 77 79 — 81 83 — 85 — 87 89 — 91 — 93 — 95 97 — 99
Així doncs, els primers més petits que 100 són:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 67 71 73 79 83 89 97
El màxim comú divisor
Propietats del mcd
mcd(a, 0 ) = |a|. El màxim comú divisor d’un conjunt finit d’enters existeix i és únic. El màxim comú divisor no depèn del signe:
mcd(a, b) = mcd(−a, b) = mcd(a, −b) = mcd(−a, −b).
Si a, b ∈ Z, b 6 = 0 i b | a, aleshores mcd(a, b) = |b|. Si d = mcd(a, b), llavors a/d, b/d són enters primers entre ells; és a dir: mcd(a/d, b/d) = 1.
El màxim comú divisor
Teorema d’Euclides
Teorema Si a, b ∈ Z, aleshores mcd(a, b) = mcd(a − b, b).
Conseqüència Si a ≥ 0 i b > 0 són enters i a = bq + r , amb 0 ≤ r < b, llavors:
mcd(a, b) = mcd(a − bq, b) = mcd(r , b).
La identitat de Bézout
Conseqüències de la identitat de Bézout (1)
Proposició Siguin a, b ∈ Z, d = mcd(a, b). Si d′^ és un divisor comú de a i b, llavors d′|d.
Definició alternativa del mcd Siguin a, b ∈ Z no nuls. Llavors d ∈ Z és el màxim comú divisor de a i b si, i només si: (^1) d|a i d|b; (^2) si d′|a i d′|b, llavors d′|d; (^3) d > 0.
Associativitat del mcd mcd(mcd(a, b), c) = mcd(a, mcd(b, c)) = mcd(a, b, c).
La identitat de Bézout
Conseqüències de la identitat de Bézout (2)
Proposició Siguin a, b ∈ Z. Llavors: a i b són primers entre ells si, i només si, existeixen x, y ∈ Z tals que ax + by = 1.
Lema de Gauss Si a, b, c ∈ Z, a | bc i mcd(a, b) = 1, aleshores a | c.
Lema d’Euclides Si p és un primer i a i b són enters tals que p | ab, aleshores p | a o p | b.