Ángulos en un triángulo, Ejercicios de Trigonometría

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SEGMENTO:

Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. El

segmento AB de la figura adjunta, se denota:. Los puntos

A y B son los extremos.

Si la longitud o medida del segmento AB es 10 unidades, podemos

escribir: AB = 10 ó m = 10. En este último caso, la “m” se lee

medida.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:

Se llama así al punto que equidista de los extremos del segmento dado.

Notación: “M” punto medio. AM = MB

SEGMENTOS CONGRUENTES:

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Donde

 nos señala que y , son congruentes. La

notación aquí mostrada indica que AB = CD.

OPERACIONES CON SEGMENTOS:

Adición:

AB + BC + CD = AD

También: AC + CD = AD

AB + BD = AD

Sustracción:

AC – AB = BC

También: AC – BC = AB

Corolario: Las operaciones con segmentos gozan de las mismas

propiedades que las operaciones aritméticas.

Igualdad:

Dos segmentos son iguales si tienen la misma longitud.

Si: MN = 9 u y AB = 9 u

Luego: MN = AB

Relación de segmentos:

Si se cumple que:

Elementos:

• Lados:
• Vértice: O

Notación:

AOB, AOB

Medida:

m AOB =

Bisectriz del

POQ

CLASIFICACIÓN:

A. POR SU MEDIDA:

1. Ángulo Nulo:

2. Ángulos Convexos: 0º <  < 180º

Ángulo Agudo

Ángulo Recto

Ángulo Obtuso

3. Ángulo Llano:

4. Ángulo Cóncavo:

5. Ángulo de una vuelta:

B. POR SU POSICIÓN:

A B

A M B

A B C D

A B C

A B C

2k 3k

A B C D 0º <  < 90º

A

O B

P

Q

Q

O

M

Q



2. Si P, Q y R son puntos consecutivos de una recta, tales que PQ

= RQ + 22. Si M es punto medio de , calcular MQ.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

3. Si P, Q y R son puntos consecutivos de una recta, tales que PQ =

RQ + 22. Si M es punto medio de , calcular MQ.

A) 22 B) 11 C) 33 D) 5,5 E) 2,

(SAN MARCOS -2005)

4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C. Si (AB)

2

• b(AC) = (AC)

2

• (BC)

2 ; calcule BC.

A) b B) 2b C) b/2 D) b/4 E) 4b

5. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C; tal que:

(AB).(AC) = 2(AB

2

–BC

2

), AC = 6u. Calcule BC.

A) 1 u B) 2 u C) 3 u D) 4 u E) 5 u

6. Sean dos ángulos cuya suma de sus medidas es 100º y la diferencia

de sus complementos es 20º. Calcule la razón de las medidas de

dichos ángulos.

A) 2/3 B) 1/3 C) 1/4 D) 3/7 E) 2/

7. El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el

complemento de un ángulo es igual al doble del complemento de la

diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento

del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida

del ángulo.

A) 120º B) 45º C) 135º D) 60º E) 75º

8. El FOA y el AOG son consecutivos y bisectriz del

FOG. Si mMOA = 24° y mFOG = 90°, calcular mAOG.

(Si mFOA > mAOG).

A) 20° B) 23° C) 22° D) 21° E) 24°

9. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que:

mAOD = 6mBOC y mAOB + mCOD = 75°. Calcular la

mBOC.

A) 5° B) 10° C) 15° D) 20° E) 25°

(SAN MARCOS -2005)

10. Reducir la siguiente expresión:

E =

a) b) c) 3 d) 2 e) 1

11. Calcular “x”

a) 40º

b) 70º

c) 100º

d) 110º

e) 150º

(CALLAO -2008)

12. En los ángulos consecutivos AOB y BOC se cumple que mBOC

= 30°, además la medida del ángulo AOC es el suplemento del

doble del ángulo AOB. Calcula la medida del ángulo AOB.

a) 50° b) 40° c) 60° d) 80° e) 120°

13. Calcula “x”.

a) 30°

b) 40°

c) 50°

d) 60°

e) 70°

14. Calcula “x”.

a) 50° b) 30° c) 60° d) 20° e) 40°

(UNI -2000)

15. En la figura, calcular la suma de los valores de “y” cuando “x”

toma su máximo y mínimo valor entero.

a) 88̊

b) 96̊

c) 110̊

d) 135̊

e) 150̊

16. Según el gráfico, calcular x. Si
17. En la figura,  -  = 10° y ; calcular x.
18. En el gráfico y  +  = 240°, calcule x.
19. Hallar: A B C D E F

(CALLAO -2001)

20. En la figura y. Hallar “x”

º

º º

º

xº

40º

x°

120°

X 2X

150°

L 1

L 2

2 

 2 



x

L 1

L 2





x



L 3

L 1

L 2

L 3

x



2 



2 





A

B

C

D

E

80°

60°

40°

F

x°

a) 45°

b) 35°

c) 57°

d) 50°

e) 15°

1. A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. Si AC =

12 cm, BD = 17 cm y AD = 21 cm, calcular BC.

A) 7 cm C) 9 cm E) 11 cm B) 8 cm D) 10 cm

2. Pedro, Pablo y Dino están en línea recta,

(Dino entre Pedro y Pablo). Entre Pedro y Pablo hay 12 m

de separación. Si Dino avanzara 2 m hacia pedro, estaría a

igual distancia de ambos. ¿Qué distancia separa a Dino de

Pablo?

A) 5 m B) 4 m C) 4,5 m D) 3,6 m E) 3 m

3. En una recta se ubican los puntos A, B, C y D. De modo

que:

5(AD) – BC – 2(AC) = 5(BD) y BC = 4.

Calcule AB:

A) 6 B) 4 C) 8 D) 10 E) 5

4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D

de modo que AC – BD = BC. Si

AB = 4, calcular AD

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,

B, C, D, E y F; tal que:

AC = BD; CE = DF; AB+EF = 96

Calcular: “CD”

A) 96 B) 24 C) 68

D) 64 E) 48

6. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,

B, C, D, y E; tal que:

AD+BE = 70;

Calcular: “BC”

a) 6 b) 12 c) 18

d) 10 e) 28

7. De la figura; , es bisectriz del ángulo BOC;; Si :

m∢AOB + m∢AOC = 160º

Calcular m∢AOR

a) 100º

b) 80º

c) 70º

d) 60º

e) 160º

8. Calcula “x”.

a) 50° b) 20° c) 60° d) 30° e) 40°

9. Calcula “x”.

a) 15° b) 18° c) 16° d) 14° e) 17°

10. El triple de la diferencia entre el suplemento de “x” y el

complemento de “x” es igual al doble del suplemento del

complemento del doble de “x”. Calcula “x”.

a) 90° b) 45° c) 30° d) 60° e) 45/2°

11. Si al suplemento del doble de un determinado ángulo le

restamos su complemento, obtenemos la quinta parte de

dicho ángulo. Calcula el suplemento del complemento del

ángulo.

a) 95° b) 120° c) 165° d) 110° e) 80°

12. Se tienen sucesivamente los ángulos consecutivos AOB,

BOC y COD tal que, mAOC = 62°; mBOD = 58°;

mAOD = 92°. Calcula la medida del ángulo BOC.

a) 34° b) 28° c) 30°

d) 22° e) 26°

13. En la figura,. Calcular el valor de x.

A) 118°

B) 112°

C) 102°

D) 108°

E) 128°

14. En la figura:. Calcular el valor de x.

A) 37°

B) 48°

C) 52°

D) 77°

E) N.A.

15. Calcular el valor de x, si.

A) 102°

B) 104°

C) 107°

D) 106°

E) 108°

16. Si: 4y – x = 30°;. Calcular “x”

A) 90°

B) 60°

C) 45°

D) 30°

A

B

R

C

O

4X

X

X

X + 10°

X + 10°

x

20°

4x

20°

x

y

4y

L 1

L 2

L 1

L 2









x 56°

L 1

L 2

x

48°

2 +5°

150°–

L 1

L 2

x





32°

PROPIEDADES ADICIONALES

Se cumple:

x =  +  + 

Se cumple:

 +  = m + n

Se cumple:

x =

Se cumple:

 +  = m + n

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

1. Según sus lados

Triángulo Escaleno: (a  b  c)

Se cumple:

Triángulo Isósceles: (a = c  b)

Se cumple:

: Base

Triángulo Equilátero: (a = b = c)

Se cumple:

2. Según sus ángulos

Triángulos Oblicuángulos

• Triángulo Acutángulo

• Triángulo Obtusángulo

• Triángulo Rectángulo

: catetos

: Hipotenusa

Se cumple: b

2

= a

2

• c

2

T. de Pitágoras

1. Determine el valor del ángulo “x”

a) 10º

b) 5º

c) 15º

d) 20º

e) 30º

2. Hallar “x”

a) 50º

b) 60º

c) 70º

d) 40º

e) 30º

3. Hallar los valores pares de “x”

a) 4 y 6

b) 4 y 8

c) 2 y 4

d) 6, 7 y 8

e) 6 y 8

4. Hallar “x”:

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 25º

e) 15º

5. Hallar: “x”

x







m

n 



A

B

C

a

b

c







A

B

C

a

b

c







A C

a

b

c







B

m

x

n









A

B

C







A

B

C







A

B C a

b

c





m

n





xº 2xº+

40º

30º

20º

º

º

x

80º

7 2

x

30º 5x 7x 50º

º

º

x

f) 18º

g) 40º

h) 28º

i) 38º

j) 15º

6. Calcular “x”

a) 60º

b) 20º

c) 30º

d) 10º

e) 15º

f)

7. Hallar “x”

a) 60º

b) 65º

c) 70º

d) 75º

e) 80º

f)

8. Hallar “x”

a) 40º

b) 50º

c) 60º

d) 70º

e) 80º

9. Hallar “x”

a) 30º

b) 32º

c) 36º

d) 45º

e) 37º

10. Calcular “xº + yº + zº”

a) 60º

b) 120º

c) 180º

d) 90º

e) 360º

11. Calcular “x”. Si: AS = SQ; PB = BC
12. En el gráfico: a+ b – m – n = 108°; calcular x + y
    13. Calcular “x”. Si  +  = 100°
    14. Calcular x“ si: AB = BC y DE = EF. Además  +  = 100°
    15. Según el gráfico, calcular , si:

a + b + c + d = 340°

16. Según el gráfico, calcular x.
17. Calcular “x”

a) 50º

b) 55º

c) 60º

d) 65º

e) 70º

18.. Del gráfico, calcular “x”

a) 10º

b) 20º

c) 40º

d) 45º

e) 50º

1. CEVIANA

Es el segmento que une un vértice con cualquier punto del lado

opuesto o de su prolongación.

a b

x

y

m

n

a

b

c

d





2 



 



x

70°

A

B

C

S

x

P Q

A

B

M N C L

x

2  2 

A

B

C D

E

F

x

80°





80º

xº

60º

x

100º

2x

x

xº

2xº

2xº

2xº

2xº

º º º

º

º

xº

yº

zº º

B

80º

30º

C

A D

E

xº

º

º

º

º

60º

100º





º

º

xº

º

º

º

º



3 

4 



Altura

Mediana

Bisectriz

Mediatriz

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS CON LAS LÍNEAS

NOTABLES

1. En un triángulo ABC, calcular el ángulo formado por las

bisectrices de los ángulos A y C, sabiendo que la suma de los

ángulos exteriores A y C es 300°.

2. Hallar x.

A) 70°

B) 100°

C) 110°

D) 125°

E) 145°

3. Hallar “x”, si CM = MD y AN = NC.

A) 6°

B) 12°

C) 22°

D) 28°

E) 32°

4. En la figura, ABCD es un cuadrado y el triángulo AMD es

equilátero. Hallar x.

A) 40°

B) 50°

C) 60°

D) 80°

E) N.A.

5. Se tiene un triángulo ABC (AB = BC), en se ubica el punto

P, por dicho punto se traza la perpendicular a que interseca

a en Q y a la prolongación de en R. Calcular AB, si AQ

= 6 y CR = 20.

6. En la figura mostrada calcular x.
7. En un triángulo obtusángulo isósceles ABC (AB = BC), la

bisectriz del ángulo A forma con la altura relativa al lado

un ángulo de 30°. Hallar la medida del ángulo B del triángulo.

A) 60° B) 110° C) 80° D) 50° E) 100°

8. El ángulo D de un triángulo AOD mide 32°. Sobre el cateto

se toma un punto P, desde el cual se traza

perpendicular a la hipotenusa. Calcular la medida del

OMQ, siendo M el punto medio de.

A) 116° B) 25° C) 30° D) 40° E) N.A.

9. En un triángulo isósceles ABC, sobre su base se toma un

punto P desde el cual se levanta una perpendicular que corta al

lado en M y a la prolongación de en N. Calcular BN si

AM = 15 cm y BC = 25 cm.

A) 5 cm B) 10 cm C) 15 cm D) 20 cm E) N.A.

10. Calcular el valor de x:

A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 75°

E) 15°

1. Hallar: 

A

B

C H

 













A

B

C









 

A



 





B

C

2x

x









    x 

 





x

110°

A B

C

D

N M

x

22°

62°

A

B C

D

M

x

80°

110°

a) 20º

b) 30º

c) 40º

d) 50º

e) 60º

2. Hallar “”

a) 50º

b) 80º

c) 30º

d) 40º

e) 60º

3. Hallar la suma de valores enteros de “x”

a) 10

b) 11

c) 12

d) 5

e) 4

4. Hallar (x + y)

a) 70º

b) 110º

c) 40º

d) 150º

e) 160º

5. Hallar “x”

a) 18º

b) 19º

c) 20º

d) 21º

e) 22º

6. Hallar “x”

a) 60º

b) 90º

c) 75º

d) 80º

e) 53º

7. Hallar “x”

a) 110º

b) 70º

c) 80º

d) 90º

e) 100º

8. Calcular “x”

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 60º

9. Calcular “x”

a) 90º

b) 60º

c) 45º

d) 20º

e) 10º

10. Calcular “x”

a) 60º

b) 20º

c) 30º

d) 10º

e) 18º

11. Del gráfico, calcular ”x”

a) 40º

b) 70º

c) 60º

d) 50º

e) 55º

11. En la figura :

Si: AB = BC, Calcular “”

a) 100º

b) 140º

c) 130º

d) 120º

e) 150º

12. En la figura : AP = PS y BM = BN

Calcular “x”

a) 10º

b) 15º

c) 30º

d) 35º

e) 37º

13. En un ABC, recto en B, la altura y la bisectriz interior

se intersecan en el punto P. Si mBPE = 52°, calcular la

mC.

A) 12° B) 16° C) 28° D) 14° E) 32°

14. En un ABC, mC – mA = 46°, se traza la bisectriz exterior . Calcular la mBEC.

A) 21° B) 22° C) 23° D) 24° E) 25°

15. Hallar el ángulo formado por la intersección de las bisectrices de

los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo

rectángulo.

A) 22° 30´ C) 60° E) 135°

B) 45° D) 90°

16. En cierto sistema de medida la suma de los ángulos internos en un

triángulo es 18. Hallar x en dicho sistema.

A) 3

B) 12

C) 15

D) 9

E) 11

A

x 



B

C





 

80º

3 º

2 º

50º º

º

2

4

70º

x y

20º

xº

8º

x

x

10º

60º

xº

100º

xº

º

º 40º

xº

º

º

20º

xº

xº

xº

xº

2xº

2xº

2xº

2xº

2xº

40º

º

º

º

º

º

º

xº

80º

O

L

1

L

2

Q

P

A

C

B

A P B N

M

S

C

Q

xº

45º

ORTOCENTRO

Es el punto de concurrencia de las alturas del triángulo, cuya

ubicación depende de la naturaleza del triángulo.

En el triángulo acutángulo

H: ortocentro del ABC

En el triángulo rectángulo

B: ortocentro del ABC

En el triángulo obtusángulo

H : ortocentro del ABC

INCENTRO

Es el punto de concurrencia de las bisectrices interiores del

triángulo; siempre es interior al triángulo y equidista de los lados, por lo

tanto es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

I : incentro del ABC

r : inradio del ABC

EXCENTRO

Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y una

bisectriz interior trazada del tercer vértice; se encuentra exteriormente y

equidista de los lados del triángulo, por lo tanto es el centro de la

circunferencia ex – inscrita. Todo triángulo tiene tres ex – centros.

E

a : ex – centro relativo a

CIRCUNCENTRO

Es el punto de concurrencia de las mediatrices de los lados del

triángulo, dicho punto equidista de los vértices del triángulo, por lo

tanto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. La

ubicación del circuncentro depende de la naturaleza del triángulo.

En el triángulo acutángulo

: Mediatrices

O : circuncentro del ABC

R : circunradio

En el

triángulo

rectángulo

: Mediatrices

O : es circuncentro del ABC

R : circunradio

En el triángulo obtusángulo

: Mediatrices

O : es circuncentro del ABC

R : circunradio

Propiedades:

A

B

C

E a













A

B

C

E a

r a

r a

r a

A

B

C

R

R

R

O

L 1

L 2

L 3

Circunferencia

circunscrita

A

B

C

R

O

L 1

L 2

L 3

A

B

C

O

A

B

C

H

A

B

C

D

E

F

H

A

B

D C

E

F

H

A

B

C

I





 





A

B

C

I

r

r

r 

 



Circunferencia inscrita

A

B

C

O

L 1

L 2

L 3

R

Si O es el circuncentro se cumple:

1. OA = OB = OC = R 2. mAOC = 2mABC

BARICENTRO

Es el punto de concurrencia de las medianas de una superficie

triangular; siempre es un punto interior.

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, cuya razón

es de dos a uno.

G : baricentro de la región triangular ABC.

Propiedad: BG = 2(GM) ; AG = 2(GF) ; CG = 2(GE)

1. En el triángulo acutángulo ABC se sabe que: mA – mC =

48°. Hallar la medida del ángulo HBO, si H es ortocentro y O es

circuncentro del triángulo.

2. En un triángulo ABC, de circuncentro “K” y excentro relativo a

“E”. Calcular mBKC, siendo mBEC = 50°.

3. En el gráfico mostrado, calcular x, si IM = MC. I es incentro.
4. En la figura, halla x+y, si  = 20°.
5. En el ABC: E  excentro. Hallar “”.

A) 70°

B) 80°

C) 90°

D) 75°

E) 65°

6. En el ABC, “I”  incentro. Hallar “x”.

A) 40°

B) 35°

C) 36°

D) 45°

E) 60°

7. En el ABC, “O”  circuncentro. Hallar “x”.

A) 40°

B) 50°

C) 30°

D) 60°

E) 45°

8. En un cuadrado ABCD se toman M y N puntos medios de los

lados respectivamente. Si se intersecan

en un mismo punto P y PC = 10, hallar AP.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) N.A.

9. Si la distancia del baricentro de un triángulo a uno de sus vértices

mide 12 cm, halla la longitud de la mediana que parte de dicho

vértice.

A) 12 cm C) 24 cm E) 48 cm

B) 18 cm D) 36 cm

10. En la figura, es diámetro y H cualquier punto de , EM

= HM y HN = NB. Hallar el valor de “x”.

A) 45° B) 60° C) 80º D) 90º E) 100°

11. Sean H y O, ortocentro y circuncentro de un triángulo equilátero

ABC. Si AB = 2 , calcular HO.

A) 1 B) 2 C) 0 D) 1,5 E) N.A.

12. Si la distancia del baricentro de un triángulo a uno de sus vértices

mide 12 cm, halla la longitud de la mediana que parte de dicho

vértice.

A) 12 cm C) 24 cm E) 48 cm

B) 18 cm D) 36 cm

13. Se tiene un triángulo ABC, en cuyo exterior se ubica el punto O,

tal que es bisectriz exterior del ángulo B y es bisectriz

exterior del ángulo C. Si el ángulo BOC mide 70º, hallar la medida

del ángulo A.

A) 40º B) 60º C) 80º D) 110º E) 140º

14. De los siguientes enunciados, cuáles son verdaderos:

I. En un triángulo ABC, si el circuncentro y el incentro se

encuentra en un mismo punto P, entonces el triángulo es

equilátero

II. En todo triángulo, el incentro y baricentro los encontramos

dentro del triángulo.

III. Dos bisectrices exteriores y una interior relativas a un

mismo lado concurren siempre en un mismo punto.

A) Sólo I C) I y III E) Todas

B) Sólo II D) II y III

A

B

C

E

G

F

a

a

b b

c

c

M

A

B

C

H

I

M

x 25°

25°

70°

A

B C

x

y





2  2 



A

B

C

E



40°

60°

A

B

C

O

80°

70°

x

A

B

C

I

80°

70°

x

A O H N B

E

P

M

x

F

De 15° y 75°

: Altura

Propiedad:

En el triángulo ABC, se cumple: b = a

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS APROXIMADOS

De 37° y 53° De 14° y 76°

De De 8° y 82°

De De 16° y 74°

1. Del gráfico calcular "º" :

a) 15º

b) 20º

c) 30º

d) 45º

e) 60º

2. Siendo y mediatrices de y. Hallar

m ∢ PMQ.

a) 100º

b) 80º

c) 120º

d) 145º

e) 110º

3. Siendo una mediana; m = 5 cm. Calcular el valor de

a) 5 cm

b) 10

c) 12

d) 13

e) 9

4. Calcular el perímetro del triángulo PQR si el triángulo ABC tiene

un perímetro de 20 m.

a) 10 m

b) 20

c) 15

d) 5

e) 18

5. Hallar "x" :

a) 5

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

6. Calcular " " :

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

7. Si : AB = BC , AP = 2 , BM = 8 y CQ = 4

Calcular “PQ”

a) 10

b) 6

c) 8

d) 12

e) 5

5a

3a

4a

37°

53° a

14°

76°

a

4a

a

53°/

127°/

a

2a

5a

8°

82°

a

7a

a

37°/

143°/

a

3a

25a

16°

74°

7a

24a

BH =

B

A C

a

a

120°

30° 30°

b

a

15° 75°

4a

A

B

C

a

a

Q

R P

S

2

4

º

A

B

C

80º

M

B

F

C A

P

B

R

C A

Q

P

A

B

C

D

P Q 12 5

x

B

A C

E H F

5

6

º

º

A

P M Q

B

C

8. Calcular el perímetro de la región triangular MNP; AB = 6, BC =

8 y AC = 12

a) 6

b) 8

c) 10

d) 13

e) 26

9. Calcular “x”

10. En la región exterior y relativa a , de un triángulo ABC, se

construye un triángulo equilátero BCP. Si : m∢BAC = 60º, AB =

10 y AC = 30. Calcule la suma de las distancias de “P” a

a) 40 b) 20 c) 15

d) 18 e) 10

11. Según la figura;

Si : BQ = AN, MN = a y QN = b

Calcule “AC”

1. a+b
2. 2a+b
3. 2b+a
4. 2b–a
5. 2a–b
6. ABCD y PQRD son cuadrados, calcular x si AB = 3PQ

A) 37°

B) 53°

C) 16°

D) 8°

E) 74°

13. En la figura ABC es un triángulo equilátero. Hallar ; si AC

= 4PB

A) 1/

B) 1/

C) 2/

D) 3/

E) N.A.

14. En la figura hallar la relación entre , si ABCD es un

rectángulo.

1 .En el ABC: O  circuncentro. Hallar “x”.

A) 60°

B) 70°

C) 80°

D) 90°

E) 75°

2. En el ABC: E  excentro. Hallar “”.

A) 70°

B) 80°

C) 90°

D) 75°

E) 65°

3. En el ABC, “I”  incentro. Hallar “x”.

A) 40°

B) 35°

C) 36°

D) 45°

E) 60°

4. En el ABC, “O”  circuncentro. Hallar “x”.

A) 40°

B) 50°

C) 30°

D) 60°

E) 45°

5. Sean H y O, ortocentro y circuncentro de un triángulo equilátero

ABC. Si AB = 2 , calcular HO.

A) 1 B) 2 C) 0 D) 1,5 E) N.A.

6. Si E es el excentro de un triángulo ABC, referente a , mA

= 80°, calcular mEAC.

A) 35° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

7. El ángulo B de un triángulo ABC mide 50°. Calcular la medida

del ángulo AEC, si E es el excentro referente al lado.

A) 15° B) 20° C) 22° D) 25° E) 28°

A

B C

D

E

P





Q

B

M

A

P

N

N

A

º

53º

B

16

C

x

º

º

A

M

Q N C

B

º

x

A

C

D R

B

Q

P

A

B

Q

C

P

R

A

B

C

O

x

20° 30°

A

B

C

E



40°

60°

A

B

C

O

80°

70°

x

A

B

C

I

80°

70°

x

27. Determine “x”; AB = 4, AD = 8 y CD = 3

a) 115

b) 135

c) 127

d) 143

e) 153

28. Calcular “x”

a) 18

b) 9

c) 3

d) 6

e) 12

B

A

C

D

º

º

xº

º

º

B

A M P C

E

N

º

3

x

24. Calcular “x” ; AC = 16 , AB = 10

a) 3

b) 2

c) 6

d) 5

e) 10

25. Calcular “x”

a) 12

b) 6

c) 3

d) 4

e) 3

26. Calcular el perímetro de la región triangular MNP; AB =

6, BC = 8 y AC = 12

f) 6

g) 8

h) 10

i) 13

j) 26

29. Del gráfico, AP = 3 y CQ = 4

Calcular: AC

a) 5

b) 6

c) 5

d) 7

e) 8

30. Del gráfico, calcular “DH”

a) 3

b) 6

c) 12

d) 6

e) 3

31. De la figura mostrada.

Calcular “x”

Si : AD = CD

(Sugerencia : Prop. Cuadrilátero cóncavo).

a) 10º

b) 5º

c) 15º

d) 30º

e) 18º

DEFINICIÓN

Es aquella figura geométrica que se forma al unir tres o más

puntos no colineales de un mismo plano, mediante segmentos de

recta, limitando una región del plano.

Elementos

• Vértices: A, B, C, ........
• Lados: ........

Medidas de sus ángulos

• Interiores:  1

2

3

• Exteriores:  1

2

3

Elementos asociados

• Diagonales:
• Diagonales medias: ........

Región poligonal

Es la unión del polígono y su región interior.

{Polígono}  {Región interior} = {Región poligonal}

CLASIFICACIÓN

Según la región poligonal

Región poligonal convexa

Región poligonal cóncava

Según el número de datos:

Triángulo : 3 lados

Cuadrilátero : 4 lados

Pentágono : 5 lados

Nonágono : 9 lados

Decágono : 10 lados

Endecágono : 11 lados

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 1

 2

 3

 4

  5 6

A

B

C

D

E F M

N

REGIÓN

INTERIOR

P x

Q

A

º

º

C

B

A

B

M

N C

45º

6 x B M A P

N

N

A

P

C

Q B

45º

A

B

D

C H

45º

º

45º

6

xº

2xº

A

B

D C

2xº

