TRIGONOMETRIA 1 EJECICIOS PRACTICOS, Apuntes de Trigonometría

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Trigonometría

Trigonometría

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Denominación Definición Propiedad básica

Seno (^) sen α = b a

0 ≤ sen α≤ 1

Coseno cos^ α^ =^

c a

0 ≤ cos α≤ 1

Tangente tg^ α^ = tan^ α^ =^

b c

tg α = tan α = sen cos

α α Propiedad fundamental

sen^2 α + cos^2 α = 1

Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Si α es un ángulo del primer cuadrante: 180 − α es del segundo cuadrante y sen (180 – α) = sin α cos (180 – α) = –cos α 180 + α es del tercer cuadrante y sen (180 + α) = –sin α cos (180 + α) = – cos α 360 − α es del cuarto cuadrante y sen (360 – α) = – sin α cos (360 – α) = cos α

α

c

a b

α

180 – α α

180 + α α 360 – α

¿Cuáles son las razones trigonométricas de un ángulo agudo?

A partir de los resultados anteriores pueden definirse las razones

trigonométricas de un ángulo agudo cualquiera: el seno, el coseno y la

tangente de un ángulo agudo

El seno de un ángulo agudo α es igual al cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

sen α =

b a Debe destacarse que el seno es un número positivo nunca mayor que 1 (un cateto no puede nunca ser superior a la

hipotenusa). 0 ≤ sen α≤ 1.

Por su parte, el coseno de este ángulo α es igual al cociente entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa:

cos α = c a Debe destacarse, también, que el coseno es un número positivo nunca mayor que 1

(un cateto no puede nunca ser superior a la hipotenusa): 0 ≤ cos α≤ 1.

La tangente de este ángulo α es igual al cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo al ángulo (se usan indistintamente los símbolos tg o tan):

tg α = tan α = b c no es difícil constatar que la tangente puede calcularse también como el cociente del seno entre el coseno del ángulo:

tg α = tan α =

sen cos

b a b c (^) c a

¿Las razones trigonométricas de un ángulo dependen del triángulo rectángulo escogido?

Las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo

escogido para definirlas.

Cabe destacar que el seno, el coseno y la tangente de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo en el que se encuentra este ángulo. Efectivamente, dados estos triángulos rectángulos con dos ángulos iguales (el recto y α):

entonces, el tercer ángulo también es igual (180 – 90 – α, en ambos casos). Así pues, se trata de dos triángulos semejantes y, por eso, con lados proporcionales. Por lo tanto, se cumple:

α

c

a b

α α

b ’^ a ’

c ’

a b

c

a b c a b c

La primera igualdad también puede expresarse así: ' '

b b a a

en otras palabras, el cálculo del seno del ángulo α en ambos triángulos debe dar el mismo resultado. De la misma manera, como

a c a c

= o también

c c a a

así, pues, el coseno del ángulo α tampoco depende del triángulo que escojamos para hallarlo. Igualmente,

b c b c

= por lo tanto,

b b c c

de esta manera, tampoco la tangente de α no depende del triángulo que se utilice para su cálculo. En definitiva, para cualquier ángulo de 0 a 90º, existe un único número que sea su seno, un único número que sea su coseno y, finalmente, un único número que sea tangente. Estos tres números se conocen como las razones trigonométricas básicas del ángulo.

¿Cuáles son las razones trigonométricas básicas del ángulo de 60º o π/3 rad?

El ángulo de 60º o π/3 rad tiene por coseno 1/2 , por seno

 y

por tangente 3 ≅ 1, 732.

Si unimos dos triángulos rectángulos iguales con un ángulo de 60º (o π/3 rad), por su cateto mayor, obtendremos indefectiblemente un triángulo equilátero, porque el otro ángulo del triángulo rectángulo es 30º, y 30 + 30 = 60. La hipotenusa de cualquiera de ambos triángulos rectángulos es igual al lado del triángulo equilátero. El cateto contiguo al ángulo de 60º mide la mitad de la hipotenusa. Es decir, si a es la hipotenusa, y b es el cateto contiguo al ángulo de 60º, el cociente entre este cateto y la hipotenusa es 1 2

b a

este resultado no depende ni del valor concreto de la hipotenusa, ni del valor concreto del cateto. Es decir, este cociente siempre será igual a 1/2 para un triángulo rectángulo con un ángulo de 60º, y sabemos que se denomina coseno de 60º , y se escribe cos 60. Así, pues, cos 60 = ½ o bien, en radianes cos π/3 = 1/ El cateto opuesto al ángulo de 60º, c , puede relacionarse con los otros dos lados, a través del teorema de Pitágoras:

a^2 = b^2 + c^2

ahora bien, como a = 2 b

(2 b ) 2 = b^2 + c^2 es decir, 4 b^2 = b^2 + c^2

en definitiva, c^2 = 3 b^2 o lo que es lo mismo c = b 3 Por lo tanto, si queremos establecer la proporción entre el cateto opuesto al ángulo de 60º y la hipotenusa:

60 60

a

b

c

tampoco depende esta proporción del valor concreto de los catetos. Así, pues, la tangente de 45º es 1, es decir,

tg 45 = 1 o bien, en radianes tan 1 4

π

¿Cómo calcular las razones trigonométricas de un ángulo con

la calculadora?

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo en una calculadora,

se utilizan las teclas correspondientes de la misma, teniendo en cuenta si

ésta se encuentra en modo DEG (grados) o en modo RAD (radianes).

En general, no es tan fácil hallar las razones trigonométricas de cualquier otro ángulo, a parte de los ya estudiados. Hasta la aparición de las calculadoras científicas, existían tablas trigonométricas que permitían encontrar las razones trigonométricas de cualquier ángulo; de la misma manera, también existían tablas que permitían encontrar un ángulo a partir de una de sus razones trigonométricas. En la actualidad, estas tablas no se utilizan, porque cualquier calculadora realiza estas funciones de manera más eficiente y sencilla.

Antes de empezar a realizar cualquier cálculo, debe tenerse en cuenta en qué modo va a introducirse el ángulo, en grados sexagesimales o en radianes. La calculadora tiene un modo de trabajo en grados sexagesimales, modo DEG (del inglés, degree , es decir, grado), y un modo de trabajo en radianes, modo RAD. Normalmente, el modo de trabajo puede leerse siempre sobre la pantalla, en alguno de sus extremos. Para cambiar de un modo a otro tan solo hace falta localizar las teclas MODE (si no existe, acostumbra a ser la tecla INV) y las dos anteriores: se presiona primero la tecla MODE (o INV), y posteriormente la del modo que queremos. Por ejemplo, para poner la calculadora en modo grados sexagesimales debe hacerse lo siguiente: MODE + DEG

Si queremos trabajar con radianes, se debe hacer lo mismo, pero presionando la tecla RAD en lugar de la tecla DEG. Una vez hecho esto, para calcular las razones trigonométricas, primero deben localizarse las tres teclas que permiten calcularlas: las teclas SIN, COS y TAN. Puede observarse que en la parte superior de estas teclas hay, habitualmente, ciertas expresiones (sin– 1 , cos– 1 , tan– 1 , generalmente), que indican que con estas teclas también pueden calcularse los ángulos a partir de las razones trigonométricas. Para calcular el seno de un ángulo, debe ponerse el modo correcto la calculadora (DEG o RAD). Por ejemplo, si queremos calcular el seno de 33º, debemos poner la calculadora en modo DEG. Posteriormente, escribir el ángulo, 33, y finalmente, presionar la tecla SIN. Obtendremos, 0.544639035 (en la calculadora la coma decimal es un punto), que es el seno de 33º. De manera semejante, podemos calcular el coseno y la tangente de cualquier ángulo agudo.

En cambio, si conocemos el seno de un ángulo y queremos saber de qué ángulo se trata, debemos actuar así: introducimos el ángulo, presionamos la tecla INV seguida de la tecla SIN (es decir, calculamos el inverso del seno, o sea, el ángulo a partir de su seno). Por ejemplo, si queremos conocer el ángulo (en modo DEG) que tiene por seno 0,823, introducimos este número, seguido de INV y SIN; aparecerá en la pantalla 55.35624273. Es decir, el seno de 55,35624273º es 0,823. De manera semejante pueden hallarse los ángulos que tienen por coseno (o por tangente) un valor determinado. En este caso, debe recordarse que el seno y el coseno deben ser valores entre 0 y 1. Además, por lo general, los valores obtenidos son aproximados. Ejercicios básicos con calculadora:

Calcula el seno, el coseno y la tangente de estos ángulos:

α cuyo seno es igual a 0,32 (sol: cos α = 0,9474, tg α = 0,3378) β cuyo coseno es igual 0,93 (sol: sen β = 0,3676, tg β = 2,5302) γ cuya tangente es igual a 1,23 (sol: sen γ = 0,7759, cos γ = 0,6308)

¿Cuáles son las razones trigonométricas del ángulo de 83º? (sol: sen 83 = 0,9925; cos 83 = 0,1219; tg 83 = 8,1443)

¿Cuáles son las razones trigonométricas del ángulo de 1 rad? (sol sen 1 = 0,8415; cos 1 = 0,5403; tg 1 = 1,5574)

¿Cuál es el ángulo que tiene por seno 0,1231? ¿cuáles son sus otras razones trigonométricas) (sol: α = 0,1234 rad = 7,071º; cos 7,071 = 0,9924; tg 7,071 = 0,1124).

¿Cuál es la igualdad básica de la trigonometría?

Cualquier ángulo α menor que el ángulo recto cumple lo siguiente:

sen^2 α + cos 2 α = 1

Dado un triángulo de catetos b y c , y de hipotenusa a puede calcular:

(sen α) 2 + (cos α) 2 =

(^2 2 2 2 2 2 ) 2 2 2 2 1

b c b c b c a a a a a a a

   ^ +

  +^   =^ +^ =^ =^ =

teniendo en cuenta que a^2 = b^2 + c^2. En definitiva, ( sen α) 2 + ( cos α) 2 = 1 cualquiera que sea el ángulo α, la suma de los cuadrados del seno y el coseno es igual a 1. A veces ç, esta igualdad también se escribe así: sen^2 α + cos^2 α = 1

Esta fórmula nos permite calcular el seno a partir del coseno (y a la inversa):

sen^2 α = 1 – cos^2 α por lo tanto, sen α = 1 −cos^2 α

de la misma manera

cos α= 1 −sen^2 α

Por ejemplo, si el seno de un ángulo α fuese 0,4, su coseno debería ser

cos α = 1 − 0, 4^2. De la misma manera, si el coseno de un ángulo β fuese 0,8, su

seno sería sen α = 1 − 0,8^2.

α

c

a b

Es decir, las razones trigonométricas se van repitiendo cuando se suma 360 a un ángulo. Así, por ejemplo, sen (8342) = sen (23 · 360 + 62) = sen 62

Cada zona de la circunferencia unitaria dividida por las dos rectas reales se denomina cuadrante. Así pues, existen 4 cuadrantes, que se denominan del 1 al 4 tal como muestra la imagen:

En todo caso, las razones trigonométricas de cualquier ángulo pueden hallarse conociendo únicamente las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante. Para demostrarlo, solo es necesario observar estas ilustraciones:

Podemos afirmar, pues, que si α es un ángulo del primer cuadrante: sen (180 – α) = sin α cos (180 – α) = –cos α sen (180 + α) = –sin α cos (180 + α) = – cos α sen (360 – α) = – sin α cos (360 – α) = cos α

La propiedad fundamental de la trigonometría sigue cumpliéndose; es decir, para cualquier ángulo α se cumple siempre: sen^2 α + cos^2 α = 1

esto es así, porque en último término el seno y el coseno de un ángulo siempre se calculan a partir del seno y el coseno de un ángulo agudo; la única modificación es el signo, que no es importante cuando se eleva el valor al cuadrado.

2º 1 r^ cuadrante

3 r 4º cuadrante

α

180 – α α

180 + α α 360 – α