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Valor Absoluto Prof. Juan Araoz
Portella
OPERACIONES CON RADICALES
Ejercicios básicos
- Completa la siguiente tabla:
- Completa usando los símbolos: < ó >.
a) |- 5 | _____ 0
b) - |-2006| _____ - 2007
c) | 3 - 2 | _____ 1 - 2
d) |2 - 5 | _____ 5 - 3
TEOREMAS SOBRE VALOR ABSOLUTO
TEOREMA
a IR : |a| 0
DEMOSTRACIÓN:
Si consideramos:
Si: a < 0 → |a| = - a → - |a| = a → - |a|< 0 |a| > 0
Si: a = 0 → |a| = a = 0
Si: a > 0 → |a| = a → |a| > 0
|a| 0
TEOREMA
a IR : |a|
= a
DEMOSTRACIÓN:
Por definición de potencia: |a|
= |a| |a|
Si: a 0 → |a|
= a. a → |a|
= a
Si: a < 0 → |a|
= (-a)(-a) → |a|
= a
|a|
= a
TEOREMA
a IR : |a| =
2 a
DEMOSTRACIÓN:
Se sabe: |a|
= a
Entonces:
|a| =
TEOREMA:
a IR : |a| = |-a|
DEMOSTRACIÓN:
Si: a > 0 → |a| = a
Por (-1) : - a < 0 → |-a| = - (-a) = a |a| = |-a|
Si: a = 0 → |a| = 0
Por (-1) : - a = 0 → |-a| = 0 |a| = |-a|
Si: a < 0 → |a| = - a
Por (-1) : - a > 0 → -a| = - a |a| = |-a|
TEOREMA
a,b IR : |ab| = |a| |b|
DEMOSTRACIÓN:
Se sabe: |ab| =
2 (ab )
Teorema de potencia: |ab| =
22 ab
Entonces: |ab| =
2 a.
2 b = |a| |b|
TEOREMA
a,b IR, b 0, entonces: |b|
|a|
b
a
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 1 TERCER AÑO
Sea: b
a = c → b
a =|c| ................ (i)
Entonces: a = bc→|a|=|bc|=|b||c|→ |b|
|a| =|c| ... (ii)
Luego, de (i) y (ii): |b|
|a|
b
a
TEOREMA
a,b IR : |a+b||a|+|b| (desigualdad triangular)
DEMOSTRACIÓN:
Consideremos: |a| |b| ab
2 |a| |b| 2ab
a
|a|
(|a| + |b|)
(a + b)
2 2 (| a|+|b|) (a+b)
|a| + |b| |a+b|
|a+b| |a| + |b|
|x+y| = |x| + |y| xy 0
|x+y| < |x| + |y| xy < 0
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Los teoremas que permiten la resolución de ecuaciones
con valor absoluto son los siguientes:
TEOREMA:
|a| = b b 0 (a = b v a = - b)
DEMOSTRACIÓN:
Se sabe |a| 0, a IR
Entonces, si: |a| = b, implica que: b 0 ... (i)
Por definición: |a| = a v |a| = - a
Luego, si: |a| = b → b = a v b = - a → a = b v a=-b ...(ii)
Por lo tanto, de (i) (ii): |a| = b (b 0) (a=b v a=-b)
Ejemplo:
Resolver:
|x| = 5 5 0 (x = 5 v x = - 5)
C.S.: x {-5; 5}
Resolver:
Resolución:
|x+1| = 8 8 0 (x + 1 = 8 v x +1 = - 8)
x = 7 v x = - 9
C.S.: x {7; - 9}
Resolver:
Resolución:
|3x+2| = 5 5 0 (3x + 2 = 5 v 3x + 2 = - 5)
3x = 3 3x = - 7
x = 1 v x = - 3
C.S.: x {1; - }
TEOREMA
|a| = |b| a = b v a = - b
DEMOSTRACIÓN
Consideremos dos casos: b 0 y b < 0
i) Si: b 0 → |b| = b
Luego: |a| = |b| → |a| = b a = b v a = - b
ii) Si: b < 0 → |b| = - b > 0
Luego: |a| = |b| → |a|= - b a = - b v a = - (-b)
a = - b v a = b
Por lo tanto: |a| = |b| a = b v a = - b
TALLER DE PRENDI
- Resuelve las siguientes operaciones:
a) |4+7| h) |-4| x 2
b) |7-9| i) |-2| |-5|
c) |- 4 - 5| j) |10| - |-5|
d) |-4| + |5| k) (^4 ) |^2 |
2 − − −
e) |-7| + |7| l) (^9 )^81
2 − −
f) |-9| + |-10| m) | |7| - |-5| |
g) |-3| - |-3| n) | |-8| - |-9| |
- Hallar el valor de "x", si existe:
a) |x| = 219; x Z
c) |x+1| = 4; x Z
b) |x| = 2006; x Z
d) |x - 2| = 6; x Z
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x - 3| = 0 c) |2x + 1| = 0
b) |x+1| = 0 d) |3x - 2| = 0
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x - 3| = 2 c) |4x + 1| = 9
b) |x+1| = 5 d) |5x - 2| = 8
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x
| = 0 c) |3x
b) |x
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) ||x - 1| - 1| = 0 c) ||3x - 2| - 6| = 0
b) ||x + 1| - 2| = 0 d) ||5x + 3| - 8| = 0
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) ||x - 1| - 1| = 1 c) ||4x - 6| - 9| = 3
b) ||x + 1| - 2| = 1 d) ||3x - 7| - 6| = 2
- Resolver las ecuaciones siguientes:
a) |x+1| = x c) |3x - 2| = x
b) |x - 2| = x d) |2x + 5| = x
- Resolver las ecuaciones siguientes:
a) |x + 2| = - x
b) |x - 3| = - x
c) |3x - 2| = - x
d) |2x + 5| = - x
- Resolver las ecuaciones siguientes:
a) |x - 4| = 3x
b) |x + 2| = 2x
c) |3x + 2| = - 3x
d) |5x + 1| = 7x
- Resolver las ecuaciones siguientes:
a) |x + 2| = x - 3
b) |2x + 1| = x + 2
c) |3x - 2| = x - 1
d) |4x - 3| = 2x + 1
- Hallar el conjunto solución de:
a) |x + 1| = x + 1
b) |x - 2| = x - 2
c) |4x + 3| = 4x + 3
d) |5x - 2| = 5x - 2
- Hallar el conjunto solución de:
a) 1 - x = |x + 1|
b) 2 - x = |x + 2|
c) 3 - 4x = |4x + 3|
d) 5 - 6x = |6x + 5|
- Resolver las ecuaciones siguientes:
a) ||x - 2| - x| = 1
b) ||x - 1| - x| = 2
c)
d)
- Resolver:
|7 - x - x
| - |x
Hallar la suma de soluciones.
a) 2 b) 4 c) 0
d) - 2 e) - 4
TAREA DOMICILIARIA Nº 01
- Realiza las siguientes operaciones:
a) |5 + 8| f) |-10| + |-8|
b) |6 - 11| g) |-4| - |-4|
c) |- 3 - 4| h) |-5| × 3
d) |-6| + |3| i) |-7| |-3|
e) |-8| + |8| j) |-9| - |-6|
- Halla el valor de "x", si existe:
a) |x|=220; x Z
b) |x|=2007; x Z
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x - 2| = 0 b) |2x + 3| = 0
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x - 2| = 1 b) |5x + 1| = 11
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x
| = 0 b) |x
+3x| = 0
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) ||x - 2| - 1| = 0 b) ||x+1|- 3| = 0
- Resolver las ecuaciones siguientes:
a) ||x - 2| - 1| = 1 b) ||x+1| - 3| = 2
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x + 2| = x b) |2x - 3| = x
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x - 2| = - x b) |3x+4| = - x
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x+4| = 3x b) |x - 2| = 2x
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x - 2| = x+3 b) |5x+2| = 2x – 3
- Hallar el conjunto solución de:
a) |x - 1| = x - 1 b) |4x - 3| = 4x - 3
- Hallar el conjunto solución de:
a) - 2 - x = |x+2| b) - 3 - x = |x+3|
- Resolver las ecuaciones siguientes:
a) ||x - 1| - x| = 1 b) x 1 2
x 1 − =
- Resolver:
|3 + x - x
| - |4x
Hallar la suma de soluciones.
- Resolver las ecuaciones siguientes:
a)^1 x 3
x 2
−
b)^1 2 x 1
x 3
−
- Resolver las ecuaciones:
a) |x+4| = |2x+1| c) |2x+3| = |x - 4|
b) |3x+1| = |x+3| d) |5x - 2| = |2x+1|
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x
b) x
- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x
- Si: |x| = 2 3 + 2 11
|y| = 3 5 + 12
Entonces:
a) x+|y| < 0 b) - |y| < x c) |x|-|y|>
d) |y| x e) Más de una es correcta
INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
Las soluciones de |x| 4 son aquellos números cuya distancia a partir de 0 es mayor o igual a 4; en otras palabras
aquellos números "x" tales que x - 4 ó x 4.
El conjunto solución es: {x/x - 4 v x 4}
La gráfica es la siguiente:
4x + 2 - 6 v 4x + 2 6
4x - 8 v 4x 4 (sumando - 2)
x - 2 v x 1 (multiplicando por 1/4)
La gráfica es la siguiente:
- Resolver:
a) |x| > 5
b) |x| < 7
TALLER DE APRENDIZAJE Nº 02
- Indicar el conjunto solución de:
|x - 1| 5
- Resolver:
|x + 2| 3
- Indicar cuántos valores enteros verifican:
|x - 5| + 1 < 3
- Resolver:
| x 8 | 3 2
- Luego de resolver: |x - 3| - 4 0
se obtiene: x [a;b]; entonces:
a) a = __________
b) b = __________
- Resolver: |x + 5| > |x - 7|
Indique el intervalo solución:
- Luego de resolver:
|2x - 1| |x - 8|
Calcule la suma de los enteros positivos que lo
verifican.
- Resolver el sistema:
|x 1 | 2
2 x 5 x 6
- Resolver:
|x|^2 - 3|x| - 4 < 0
Bloque I
- Representa en la recta numérica los siguientes
conjuntos de números.
a) |x| > 2 b) |x| 3
c) |x| < 4 d) |x| 3
TEMA: VALOR ABSOLUTO
Valor Absoluto Prof. Juan Araoz
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- Resuelve:
a) |x + 3| < 5 b) |x - 2| + 3 < 7
- Resuelve:
a) |x - 1| 4 b) |x + 4| - 2 3
- Resuelve:
a) |x - 7| > 5 b) |x + 2| + 3 > 7
- Resuelve:
a) |x - 6| 3 b) |x + 4| - 5 2
- Relaciona según corresponda:
I. |x+3| 0 a) x
II. |x+4| 0 b) x IR
III. |x+5| < 0 c) x IR - {-6}
IV. |x+6| > 0 d) x {-4}
- Hallar el conjunto solución de:
a) |x + 2| > |x + 3| b) |x - 3| < |x - 5|
- Resuelve las inecuaciones siguientes:
a) |x - 1| > x b) |x + 2| x
- Resuelve las inecuaciones siguientes:
a) |x - 3| < x b) |x + 4| x
- Hallar el conjunto solución de:
a) |x| > 3 |x| < 5 b) |x + 2| > 4
|x|<
- Si: x <-3;-2>, calcular:
E =
x
| 5 x− 20 |−| 3 x− 20 |
- Si: x <-1; 6>
Reducir:
A =
|x 7 | |x 7 |
x(|x 8 | |x 1 |)
- Resolver las inecuaciones siguientes:
a) ||x| - 3| < 1 b) ||x+2| - 1| 2
- Resolver: 2 x 3
x 2
Se obtiene como conjunto solución:
- Si: |x| < 2, entonces:
n 3 x
n 4
Luego, de "n" se puede afirmar:
a) n < 4 b) n 4 c) n 1
d) 1 n e) n 2
- Si: |x - a| < 2b
Donde: b > 0, a que intervalo pertenece:
x a 3 b
b
a)
b) < 5
;1] c) < 5
d) e) [ 5
- Resolver las siguientes inecuaciones:
a) |x
- Hallar el conjunto solución de:
a) |x
- Resuelve las inecuaciones siguientes:
a) |x
b) |4x
- Si: x [10; +>; indicar a que intervalo pertenece
"a":
|x-1|+|1-x|+|x-2|+|2-x|+ ... + |x-10|+|10-x|=a+
a) a <20; +> b) a <-400; +>
c) a <-;-400> d) a <-20; +>
e) a [40; +>
