Introducción al Cálculo: Unidad 2 - Intervalos y Desigualdades: Valor Absoluto, Apuntes de Matemáticas

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

CLASE NÚMERO 3

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

UNIDAD 2

INTERVALOS Y DESIGUALDADES

 VALOR ABSOLUTO

 ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

OBJETIVOS DE LA CLASE:

 Familiarizarse con la definición de valor absoluto y sus

propiedades.

 Analizar y resolver inecuaciones con valor absoluto.

VALOR ABSOLUTO

DEFINICIÓN:

El valor absoluto de un número a , representado como | a | , es un valor

numérico (con signo positivo).

Por ejemplo:

Notemos que:

 Si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;

 Si el número es negativo, su valor es su opuesto (número con signo

opuesto, es decir, con signo positivo);

 Si el número es 0, su valor es 0, aunque 0 no es positivo ni negativo.

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

 El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo

cuando su argumento es 0:

|x|≥ 0 , ∀ x ∈ R

|x|= 0 ⟺ x= 0

|x|← 1

VER SOLUCIÓN

Esta inecuación no tiene solución ya que el valor absoluto de un número

siempre mayor o igual que 0.

EJEMPLO 3

|x|≥ 0

VER SOLUCIÓN

La solución es todos los reales: x ∈ R

Ya que el valor absoluto siempre es mayor o igual que 0

EJEMPLO 4

| 2 x− 1 |≤ 3 −x

VER SOLUCIÓN

Escribimos la inecuación como

−( 3 −x ) ≤ 2 x− 1 ≤ 3 −x

Por tanto,

x− 3 ≤ 2 x− 1 ≤ 3 −x

Resolvemos cada inecuación:

Por un lado:

x− 3 ≤ 2 x− 1 − 3 ≤ 2 x−x− 1 − 3 ≤ x − 1 − 2 ≤ x

Por otro lado:

2 x− 1 ≤ 3 −x 2 x+x ≤ 3 + 1 3 x ≤ 4 x ≤

Luego la solución es:

x ∈

[

3 ]

EJEMPLO 5

| 7 − 2 x|≥ x− 3

VER SOLUCIÓN

Debe cumplirse alguna de las inecuaciones:

7 − 2 x ≥ x− 3 ∪ 7 − 2 x ≤−( x− 3 )

Resolvemos la primera:

7 − 2 x ≥ x− 3 7 + 3 ≥ 2 x + x 10 ≥ 3 x x ≤

Resolvemos la segunda:

7 − 2 x ≤−( x− 3 ) 7 − 2 x ≤−x + 3 7 − 3 ≤ 2 x−x 4 ≤ x

Por tanto, la solución es:

x ∈ ¿−∞ ,

EJEMPLO 6

x|

VER SOLUCIÓN

Tenemos las dos inecuaciones:

x

Resolvemos la primera:

x

No podemos multiplicar por x porque no sabemos si es positiva o

negativa.

x ∈ ¿−∞ , 0 ¿

Las soluciones de las dos inecuaciones son:

x ∈ ¿−∞ , 0 ¿ x ∈ ¿−∞ ,−

Y tienen que cumplirse ambas.

Por tanto, la solución es

x ∈ ¿−∞ ,−

EJEMPLO 7

|^3 +^

x

VER SOLUCIÓN

Tenemos las dos inecuaciones:

x ¿ 3 +

x

Resolvemos la primera

x − 3 − 3 ≤

x − 6 ≤

x

Ahora no podemos, multiplicar la inecuación por x porque ésta podría ser

negativa y, entonces, habría que cambiar el signo de desigualdad.

Supongamos que x es positiva. Ahora podemos multiplicar:

− 6 x ≤ 1

Como el coeficiente de la x es negativo, cambiamos el signo de

desigualdad al dividir por -6:

x ≥−

Pero, además, sabemos que x tiene que ser positiva:

x > 0 , x ≥−

Por tanto, tenemos que ha de ser

x > 0

Ahora suponemos que x es negativa. Al multiplicar por x tenemos que

cambiar el signo de desigualdad:

x − 6 x ≥ 1

Por tanto,

x ≤−

, x< 0

Luego

x ≤−

Resolvemos la segunda inecuación procediendo de forma similar:

x

x

Si x es positiva:

Lo cual es falso. Por tanto, x no puede ser positiva.

Si x es negativa:

Lo cual siempre se cumple (no aporta restricciones a la solución).

Las soluciones que hemos obtenido son, de la primera inecuación

x ≤−

x > 0

Y de la segunda: que x no puede ser positiva.

Por tanto, como deben cumplirse ambas inecuaciones, la solución es

x ∈ ¿−∞ ,−