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Software para obtener valores y vectores propios de una matriz
Tipo: Ejercicios
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INGENIERÍA BIOMÉDICA
MÉTODOS NUMÉRICOS
PRÁCTICA 3
ELABORADO POR
Se investigan los autovectores y autovalores de una matriz cuadrada, para que se resuelva un problema en específico. Se presentan dos resultados: el primero que arroja múltiplos escalares y el segundo que arroja el vector propio de dicho escalar. Con el apoyo del software SCILAB se determinan los autovalores y autovectores, (para que se logre esto, es importante que se utilicen los cálculos necesarios).
Objetivo general Diseñar un programa en donde se calculen los valores y vectores propios de matrices.
Objetivos específicos Analizar la definición de valor propio y vector propio. Resolver el problema proporcionado. Implementar los pasos para obtener los valores propios y vectores propios en un software.
Para la solución a la problemática dada es necesario investigar sobre los eigenvalores y eigenvectores (también conocidos como autovalores, valores propios y vectores propios o autovectores). La investigación de la problemática se realizó por el interés de elaborar un programa en Scilab (software que en ocasiones se utiliza para resolver problemas matemáticos), no solo para que determine valores y vectores propios de la matriz de 4x4 sino para que también a futuro calcule tales datos de cualquier matriz cuadrada. Se presentan los objetivos de la práctica así como los procedimientos realizados a lo largo del desarrollo del programa, así como una exposición de los resultados, su interpretación y una conclusión final del trabajo.
2.2 Vectores propios Conocidos los valores propios de una matriz simétrica 𝐴, se puede calcular el vector propio 𝑋 correspondiente a cada valor propio 𝜆. 𝐴𝑋 = 𝜆𝑋 Suponga una matriz simétrica 𝐴 de dimensión 4.
(
Conocido el valor propio 𝜆, se tiene un sistema de ecuaciones homogéneo de 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Se le da a 𝑥 1 el valor arbitrario de 1 y se convierte en un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
{
Se pretende encontrar los valores característicos de la matriz coeficiente del siguiente sistema
Posteriormente se deben encontrar los vectores característicos correspondientes al valor característico dominante (el máximo valor absoluto) del enunciado anterior.
Se calculan: Las potencias de la matriz A y la traza de cada una de ellas, Los coeficientes pi del polinomio característico Los valores propios o las raíces del polinomio Conocidos los valores propios se calculan los vectores propios
3.1 Cálculo de los valores propios
1.- Se calculan las potencias de la matriz A y sus trazas guardándolas en el vector s , s=zeros(n,1). Ciclo para obtener las trazas y guardarlas en la matriz s for i=1:n Potencias de la matriz A B=A^i Asignar la traza s(i)=trace(B) 2.-Se calcula n coeficientes del polinomio característico, se debe de tener en cuenta que el coeficiente que falta es el de mayor grado y vale 1. El vector de los coeficientes del polinomio característico es el vector ampliado [1 n] cuyo primer término es 1 y a continuación el resto de los coeficientes calculados. p=zeros(1,n) 3.- Calcular las raíces del polinomio que se encuentran en el vector p con la función roots raiz=roots([1,p]). Se ha de tener en cuenta que el coeficiente que falta es el de mayor grado y vale 1.
En la figura 1 se muestra la declaración de la Matriz A correspondiente al enunciado del problema. Y se muestra la implementación de la función calculateig. Resultados: valorp = valores propios de la matriz A vectorp = vectores propios de la matriz A
Figura 1. Valores propios y vectores propios de la matriz A.
En la figura 2 se muestra la comprobación de la función spec() análoga con la función eig() de Matlab, para verificar que los resultados son iguales.
Figura 2. Comprobación de resultados obtenidos en dos distintos programas.
Al analizar y comprender la teoría se logró establecer parámetros para empezar a elaborar el programa solicitado. Igualmente se realizaron los cálculos a mano para un mejor entendimiento para posteriormente ser representado en el software. Los resultados que se obtienen son verídicos y comprobables, son basados en un análisis teórico y justificado por los objetivos que sirvieron de apoyo para establecer el camino a los resultados esperados. Entonces se dice que se obtuvieron exitosamente los valores propios y vectores propios de la matriz expresando y justificando cada paso en la estructura del programa.
Código A=[4 1 0.3 -1;1 7 2 0;-0.3 2 5 2;-1 0 -2 4;] function [vectorp,valorp]=calculateig(A) nt=size(A); n=nt(1,1); p=zeros(1,n); s=zeros(n,1); B=zeros(n,n) for i=1:n B=A^i s(i)=trace(B)
end
p(1)=-s(1); for i=2:n p(i)=-s(i)/i; for j=1:i- p(i)=p(i)-p(j)*s(i-j)/i; end end
raiz=roots([1,p ]) valorp=diag(raiz)
C=(-1.)*A(2:n, vectorp=zeros(n,n) S=zeros(n,1); svp1=size(valorp) svp=svp1(1,1)
for i=1:svp B=A(2:n,2:n)-valorp(i,i) S=[1 (B\C)'] ; vectorp(1:n,i)=S/norm(S); //paso 6 end
endfunction
