Análisis Complejo: Series de Potencias, Series de Laurent y Teorema de los Residuos, Apuntes de Matemáticas

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Análisis Matemático III

Grado en Ingeniería Matemática

Profesor:

Pablo M. Berná

CUNEF Universidad

Departamento de Métodos Cuantitativos

Pirineos, 55 - 28040 Madrid - Tel. 91 444 51 61

www.cunef.edu

Índice general

4. Series de Laurent y Teorema de los residuos 2 4.1. Series de funciones................................ 3 4.2. Series de potencias................................ 4 4.3. Series de Laurent................................. 6 4.4. Clasificación de singularidades de una función................. 9 4.5. Teorema de los residuos............................. 12 4.6. Aplicación del Teorema de los Residuos..................... 13 4.6.1. Integrales del tipo

∫ (^) π −π F^ (cos(t),^ sin(t))dt^................^13 4.6.2. Integral del tipo

−∞

P (x) Q(x) dx^.......................^14 4.6.3. Integral del tipo

−∞

P (x) Q(x) eiλxdx^.....................^17 4.6.4. Integral del tipo

−∞

P (x) Q(x) sin(λx)dx^..................^17 4.6.5. Funciones racionales con infinitos ceros complejos en el denominador 19 4.7. Ejercicios..................................... 21

Si nos cenamos en 1 w − z

, tiene casi la forma de la expresión de una serie geométrica infinita,

la cual podemos manipular como sigue:

1 w − z =

w^1 1 w −^

z w

= w^11 −^1 z w

de donde si se tiene que |z| < |w|, entonces

1 w − z =

w

∑^ ∞

i=

( (^) z w

)i .

Por tanto, parece natural estudiar también que ocurre con la integración y el operador su- matorio, si son conmutables o no.

4.1. Series de funciones

Definición 4.1.1. Sea U un conjunto del plano complejo y fn : U → C una sucesión de funciones. Diremos que fn converge uniformemente en U a f si para todo ε > 0 , existe n 0 ∈ N tal que si n > n 0 , |fn(z) − f (z)| < ε, ∀z ∈ U.

Además, decimos que la serie

n=1 fn(z)^ converge uniformemente en^ U^ a la función^ f^ si para todo ε > 0 , existe n 0 ∈ N tal que si n > n 0 , ∣∣ ∣∣ ∣

∑^ n j=

fj (z) − f (z)

∣ < ε,^ ∀z^ ∈^ U.

Este tipo de convergenica puede ser de utilidad para comprobar la continuidad de fun- ciones tal y como muestra el siguiente resultado.

Teorema 4.1.2. Sea fn : U → C una sucesión de funciones continuas que convergen uni- formemente en ∑ U a una función f : U → C_. Entonces,_ f es continua. Análogamente, si ∞ n=1 fn(z)^ converge uniformemente a^ f^ (z) , entonces^ f^ es continua. La pregunta es: ¿cómo se puede comprobar la convergencia uniforme de una forma más práctica? El resultado siguiente nos lo dice.

Teorema 4.1.3 (Prueba M de Weierstrass). Sea fn una sucesión de funciones definidas en un conjunto U del plano complejo. Supongamos que tenemos una sucesión de números reales no negativos (Mn)n que satisfacen las siguientes condiciones:

|fn(z)| ≤ Mn para todo z ∈ U_._ ∑∞ i=1 Mi^ converge.

Entonces,

n=1 fn(z)^ converge uniformemente y absolutamente en^ U^.

Ejemplo 4.1.4. Analizar si

n=1 fn(z)^ converge uniformemente y absolutamente en^ |z| ≤^ r con r < 1 , donde

fn(z) = z

n n

Dado que |gn(z)| ≤ r

n n

≤ rn^ = Mn,

y

i=1 Mi^ converge, entonces se deduce el resultado de la Prueba M de Weierstrass. Finalmente, veamos el siguiente resultado que nos ayuda a cambiar la integral por la suma en convergencia.

Teorema 4.1.5. Sea γ : [a, b] → U un camino y fn una sucesión de funciones continuas definidas en γ∗^ que convergen uniformemente a una función f en γ∗. Entonces, ∫

γ

fn(z)dz →

γ

f (z)dz.

Además, si

n=1 fn(z)^ convergence uniformemente en^ γ∗ , entonces ∫

γ

n=

fn(z)

dz =

∑^ ∞

n=

γ

fn(z)dz.

4.2. Series de potencias

El objetivo de esta sección es ver cuando podemos expresar f (z) como serie de potencias, es decir, cuando

f (z) =

∑^ ∞

n=

an(z − z 0 )n,

donde z se mueve en un entorno de z 0.

Definición 4.2.1. A la serie

n=0 an(z^ −^ z^0 )n^ se le llama^ serie de potencias^ en un entorno del punto z 0_._

Teorema 4.2.2 (Teorema de las Series de Potencias). Sea

n=0 an(z^ −^ z^0 )n^ una serie de potencias. Consideremos R ∈ [0, +∞] dado por

R−^1 = l´ım sup n→+∞

√ n|an|.

Si R > 0 , la serie converge absolutamente y uniformemente sobre compactos de B(z 0 , R) = {z ∈ C : |z − z 0 | < R}. A {z ∈ C : |z − z 0 | = R} se le llama círculo de convergencia.

ez^ =

n≥ 0

zn n! ,^ |z|^ <^ ∞,

sin(z) =

n≥ 0

(−1)n^ z

2 n+ (2n + 1)!,^ |z|^ <^ ∞,

cos(z) =

n≥ 0

(−1)n^ z

2 n (2n)!

, |z| < ∞,

sinh(z) =

n≥ 0

z^2 n+ (2n + 1)!,^ |z|^ <^ ∞,

cosh(z) =

n≥ 0

z^2 n (2n)!

, |z| < ∞.

Ejemplo 4.2.6. Encontrar la serie de Taylor de f (z) = (^) z−z 1 alrededor del 0 y dar el radio de convergencia. Ya sabemos que (^) ∞ ∑ n=

zn^ = 1 1 − z

, |z| < 1.

Por tanto, para |z| < 1 , z z − 1 =^ −

∑^ ∞

n=

zn+1.

Ejemplo 4.2.7. Calcular los primeros términos de la serie de Taylor para la función f (z) = ez 1 −z alrededor del^^0_. Ya sabemos que_ ez^ =

n=0 zn^ en un entorno del^^0 y que^ 1 −^1 z =^

n=0 zn_. Entonces,_ ez 1 − z =^ (1 +^ z^ +^ z

1 + z + z

2 2! +^

z^3 3! +^ · · ·

= 1 + (z + z) +

z^2 2 +^ z

(^2) + z 2

z^3 6 +^

z^3 2 +^ z

(^3) + z 3

= 1 + 2z +^5 2

z^2 +^8 3

z^3 + · · ·

4.3. Series de Laurent

En esta sección vamos a estudiar una teoría análoga a las Series de Taylor. Concretamente, veremos que si f (z) es una función analítica sobre una bola centrada en z 0 excepto en el punto z 0 , entonces tenemos una expansión en serie llamada Serie de Laurent. Supongamos que tenemos una sucesión de números complejos (an)n∈Z y z 0 ∈ CC. Una serie de la forma (^) +∞ ∑ n=−∞

an(z − z 0 )n,

es lo que se llama una Serie de Laurent centrada en z 0. Dado que una serie

n=−∞ zn^ es convergente si y solo si^

n=1 a−n^ y^

n=0 an^ convergen, se deduce entonces que la convergencia de una serie de Laurent está garantizada por las series

∑^ +∞ n=

a−n(z − z 0 )−n^ =

∑^ +∞

n=

a−n (z − z 0 )n^ ,^ y

∑^ +∞

n=

an(z − z 0 )n.

La primera de las series se llama Parte Principal y la segunda serie se llama Parte regular (o analítica) de la serie de Laurent. Si denotamos por χ := (z − z 0 )−^1 , la parte principal se puede escribir como

∑^ +∞ n=

a−nχn,

por lo cual, sabemos que existe un r 1 tal que la serie converge para |z − z 0 | > r 1. Además, la convergenca es absoluta y uniforme en {z ∈ C : R 1 ≤ |z − z 0 |}, para R 1 > r 1. Por otro lado, para la parte regular, habrá un r 2 donde la serie converga para |z − z 0 | < r 2 y la convergencia será absoluta y uniforme sobre B(z 0 , R 2 ) con R 2 < r 2. Por tanto, la Serie de Laurent converge absolutamente en

A(z 0 , r 1 , r 2 ) := {z ∈ C : r 1 < |z − z 0 | < r 2 }.

Además, dicha serie es analítica en el anillo A(z 0 , r 1 , r 2 ) y la convergencia es absoluta y uniforme en todo anillo cerrado contenido estrictamente en A(z 0 , r 1 , r 2 ).

Por otro lado, sabemos que la parte regular es analítica en el interior del círculo de conver- gencia (ver Teorema de las Series de Potencias), al igual que la parte singular, por lo que la Serie de Laurent es analítica en A(z 0 , r 1 , r 2 ).

Teorema 4.3.1 (Series de Laurent). Sea f (z) analítica en A(z 0 , r 1 , r 2 ) , donde 0 ≤ r 1 < r 2 ≤ ∞. Entonces, f puede expresarse (de forma única) como

f (z) =

∑^ ∞

n=−∞

an(z − z 0 )n, z ∈ U,

Por otro lado, 1 z − 1 =^ −^

1 − z =^ −

∑^ ∞

n=

zn.

Por tanto,

f (z) = −

∑^ ∞

n=

zn 2 n+1^ +

∑^ ∞

n=

zn^ =

∑^ ∞

n=

1 − (^2) n^1 +

zn.

Veamos ahora b). En el disco propuesto, es válido el desarrollo de Taylor

1 z − 2 =^ −

∑^ ∞

n=

zn 2 n+^.

Veamos que pasa con el otro trozo de función:

1 z − 1

z

1 − (^1) z

Dado que

∣∣^1

z

1 − (^1) z^ =

∑^ ∞

n=

zn^ ,

por lo que 1 z − 1 =

∑^ ∞

n=

zn+^.

Finalmente,

f (z) = −

∑^ ∞

n=

zn 2 n+1^ +^

zn+

4.4. Clasificación de singularidades de una función

Un punto z 0 es una singularidad de una función f (z) si la función no es derivable en dicho punto. Bajo la condición de analiticidad en {z ∈ C : 0 < |z − z 0 | < r} para algún r > 0 (esto es un disco agujereado), decimos que z 0 es una singularidad aislada. Veamos como podemos clasificar estas singularidades:

Si la parte principal es nula, entonces la serie de Laurent en el disco agujereado coincide con el desarrollo de Taylor:

f (z) =

∑^ ∞

n=

an(z − z 0 )n.

Definiendo f (z 0 ) = a 0 , entonces f (z) es analítica en |z −z 0 | < r, por lo que diremos que z 0 es una singularidad evitable. Por ejemplo, consideremos la función f (z) = sin( z z). Obviamente, esta función es analítica en |z| > 0 y

sin(z) =

∑^ ∞

n=

(−1)n^ z

2 n+ (2n + 1)!.

Por tanto, f (z) =^1 z

∑^ ∞

n=

(−1)n^ z

2 n+ (2n + 1)! = 1^ −^

z^2 3! +^

z^4 3! − · · ·^ , que es válida para |z| > 0. Entonces, la parte principal es nula y z = 0 es una singula- ridad evitable. Además, definiendo f (z) = 1 si z = 0, la nueva función definida es una función entera en todo el plano complejo.

Supongamos que tenemos en la parte principal un número finito de términos, es decir,

f (z) =

∑^ ∞

n=−m

an(z − z 0 )n, 0 < |z − z 0 | < r.

La parte principal es entonces

a−m(z − z 0 )−m^ + · · · + a− 1 (z − z 0 )−^1 ,

donde a−m 6 = 0 y an = 0 si n < −m. En este caso, z 0 es un polo de orden m. Veamos el ejemplo siguiente: tomemos f (z) = e zz 3. Esta función es analítica en |z| > 0. El desarrollo de Laurent sería:

f (z) = z^13

∑^ ∞

n=

zn n! =

∑^ ∞

n=

zn−^3 n! =

z^3 +

z^2 +

2 z +

3! +^

z 4! +^ · · ·^.

Entonces, en este caso, z = 0 es un polo de orden 3.

Si la parte principal tiene un número infinito de términos en el disco agujereado, enton- ces z 0 es una singularidad esencial. Como ejemplo, consideramos f (z) = e^1 /z^. Esta función es analítica en |z| > 0. El desarrollo de Laurent en este caso sería

f (z) =

∑^ ∞

n=

znn! = 1 +

z +^

2 z^2 +^ · · ·^.

Por tanto, tenemos infinitos términos en la parte principal, por lo que z = 0 es una singularidad esencial.

Veamos otra forma de caracterizar las singularidades.

Teorema 4.4.1. Sea z 0 una singularidad de una función f (z). Entonces,

El siguiente ejemplo es de importancia ya que nos ayuda a obtener el desarrollo de Laurent de una función a través del conocimiento de las singularidades.

Ejemplo 4.4.5. Sea f (z) = (^) z (^2) (ez (^1) − e−z (^) ). Clasificarla singularidad z = 0 y hallar la serie

de Laurent para 0 < |z| < π calculando a− 3_. Teniendo en cuenta que_

ez^ − e−z^ =

1 + z + z

2 2

1 − z + z

2 2

z + z

3 3!

f (z) = 2z^3

1 + z

2 3! +^

z^4 5! · · ·

Por tanto, la única singularidad posible es z = 0 y veamos que es un polo de orden 3:

l´ zım→ 0 z^3 f (z) = 1.

Para obtener el desarrollo de Laurent, podemos proceder como sigue: dado que

2 z^3 f (z) = 1 1 + z 3!^2 + z 5!^4 · · ·

= g(z),

con g(z) una función analítica, su desarrollo de Laurent coincide con el de Taylor, por lo que

1 =

1 + z

2 3! +^

z^4 5! · · ·

b 0 + b 1 z + b 2 z^2 + · · ·

De esta igualdad, se deduce que b 0 = 1 , b 1 = 0 , b 2 = − 61 , b 3 = 0 = b 5 , b : 4 = 3607 , ... Así pues,

f (z) = (^21) z 3

1 − z

2 6 +^

360 z

lo cual implica que

f (z) =

2 z^3 −^

12 z +^

360 z^ +^ · · ·

Entonces, a− 3 = 12_._

4.5. Teorema de los residuos

Definición 4.5.1. Supongamos que tenemos en z 0 una singularidad aislada de una función f (z). Entonces, el coeficiente a− 1 de (z − z 0 )−^1 del desarrollo de Laurent se llama residuo y se denota por Res (f, z 0 ).

Lema 4.5.2. Sea f (z) analítica en U − {z 0 } y ({ 0 < |z − z 0 | < r} \ {z 0 }) ⊂ U_. Entonces,_

1 2 πi

Cρ

f (z)dz = Res (f, z 0 ),

donde Cρ = z 0 + ρeit^ con t ∈ [0, 2 π] y 0 < ρ < r_._

Teorema 4.5.3 (Teorema del Residuo de Cauchy). Sea γ un camino cerrado simple (posi- tivamente orientado) en un abierto simplemente conexo U y f (z) definida sobre U tal que es analítica sobre y dentro del camino con expceción en los puntos a 1 , · · · , an ∈ ˚γ∗^ que son singularidades aisladas. Entonces,

1 2 πi

C

f (z)dz =

∑^ n

j=

Res (f, aj ).

Teorema 4.5.4. Si f (z) tiene en z 0 un polo de orden m , entonces

Res (f, z 0 ) = (^) (m −^1 1)! zl´→ımz 0

dm−^1 dzm−^1 [(z^ −^ z^0 )

mf (z)]

En particular, para m = 1 ,

Res (f, z 0 ) = l´ z→ımz 0

(z − z 0 )f (z).

Ejemplo 4.5.5. Calcular, mediante el Teorema de los Residuos, la integral ∫

|z|=

ez^ − 1 z^2 + z dz.

Dado que la función que nos dan es analítica en |z| ≤ 4 a excepción de z = − 1 y z = 0 que están en el interior, aplicando el Teorema de los Residuos obtenemos que ∫

|z|=

ez^ − 1 z^2 + z dz^ = 2πi( Res (f,^ 0) +^ Res (f,^ −1)).

En z = 0 tenemos una singularidad evitable puesto que

l´ zım→ 0 f (z) = 1,

por lo que el residuo es cero. En z = − 1 tenemos un polo de orden 1 :

z^ l´→−ım 1 (z^ + 1)f^ (z) = l´ z→−ım 1 e

z (^) − 1 z

e

por lo que el residuo es 1 − (^1) e y el valor de la integral sería ∫

|z|=

ez^ − 1 z^2 + z dz^ = 2πi

e − 1 e.

4.6. Aplicación del Teorema de los Residuos

4.6.1. Integrales del tipo

−π F^ (cos(t),^ sin(t))dt

Supongamos que tenemos una función F que es racional dependiendo del seno y/o coseno. La idea aquí es usar la teoría de los residuos transformando este tipo de integrales en otra donde integremos sobre la circunferencia unidad. Para ello, dado que

cos(t) = e

it (^) + e−it 2 ,^ sin(t) =^

eit^ − e−it 2 i ,

Se llama valor principal de Cauchy a

V.P.

−∞

f (x)dx := (^) a→l´ım+∞

∫ (^) a

−a

f (x)dx.

Hay veces que este valor principal existe, pero la integral no. Por ejemplo, ∫ (^) +∞

−∞

2 xdx.

Pero ahora bien, como (^) ∫ +∞ 0

2 xdx = +∞,

la integral

∫ (^) +∞ −∞^2 xdx^ no existe. Lo que hay que tener claro es lo siguiente: si la integral −∞ f^ (x)dx^ es convergente, es decir, existe, entonces coincide con el valor principal. Es cierto que si la función es par, ∫ (^) +∞

−∞

f (x)dx = 2

0

f (x)dx,

y por tanto, el valor principal y la integral coinciden si

0 f^ (x)dx^ existe. Por otro lado, para garantizar la convergencia, podemos usar el siguiente resultado de comparación de integrales: supongamos que tenemos dos funciones continuas en [a, +∞) con 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ≥ a. Entonces

a f^ (x)dx^ converge si^

a g(x)dx.

Ejemplo 4.6.2. Resolver

−∞

x (x^2 + 2x + 2)^2 dx. Dado que f (x) := (^) (x (^2) + 2xx + 2) 2 ≤ (^) x^13 =: g(x), x → +∞,

en el intervalo [1, +∞] las funciones f (x) y g(x) verifican que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) y ∫ (^) +∞

1

g(x)dx < +∞,

entonces

1 f^ (x)dx^ converge. Por otro lado, ∫ (^) − 1

−∞

f (x)dx =

1

f (−x)dx.

Dado que

1 |f^ (−x)|dx^ =^

1 f^ (x)dx^ y esta última convergen, entonces^

1 f^ (−x)dx también. Finalmente, como f (x) es continua en (− 1 , 1) ,

− 1 f^ (x)dx^ también converge y, por tanto, podemos asegurar que

−∞

x (x^2 + 2x + 2)^2 dx^ es convergente y ∫ (^) +∞

−∞

x (x^2 + 2x + 2)^2 dx^ =^ R→l´ım+∞

∫ R

−R

x (x^2 + 2x + 2)^2 dx. Consideremos la función f (z) = (^) (z (^2) + 2zz + 2) 2_. En este caso, los ceros del denominador_

se dan en z 1 = −1 + i y z 2 = − 1 − i , que son polos de f (z) orden 2_. Consideremos entonces la semi-circunferencia_

Se tiene entonces que

Res(f (z), z 1 ) = l´ z→ımz 1 dz^ d

(z − z 1 )^2 (z − z z 1 )^2 (z^ −^ z 2 )^2

= − 4 i^1.

Por otro lado, consideramos ΓR = [−R, R] ∪ γR_. Aplicando el Teorema de los Residuos, se tiene que_ (^) ∫

ΓR

f (z)dz = 2πiRes(f (z), z 1 ) = π 2.

Por otro lado, π 2

ΓR

f (z)dz =

∫ R

−R

f (x)dx +

γR

f (z)dz.

Cuando hagamos R → +∞ , obtendremos el valor de la integral que buscamos. Veamos que ∣∣ ∣∣

γr

f (z)dz

∣∣ → 0 , si R → +∞.

Aplicando la desigualdad triangular inversa,

|z^2 + 2z + 2| = |(z + 1)^2 + 1| ≥ ||z + 1|^2 − 1 | = |z + 1|^2 − 1 ≥ ||z| − 1 |^2 − 1 = (R − 1)^2 − 1.

Entonces, se tiene que |f (z)| ≤ (^) (R − R1) (^2) − 1 , por lo que

∣∣ ∣∣

γR

f (z)dz

∣∣ ≤ R

(R − 1)^2 − 1 πR^ →^0.

Así pues, (^) ∫ +∞ −∞

x (x^2 + 2x + 2)^2 dx^ =^

π

Ejemplo 4.6.4. Hallar

0

sin(x) x dx. La integral es convergente usando el Criterio de Dirichlet. Como f (x) =

sin(x) x es una función par, ∫ (^) ∞

0

sin(x) x dx^ =

−∞

sin(x) x dx,

donde sabemos que, por ser una función par,

−∞

sin(x) x

dx coincide con el valor principal.

Definimos f (z) = e

iz z y consideramos el camino cerrado ΓR,r = γR ∪ [−R, −r] ∪ γr ∪ [r, R] :

La idea es hacer r → 0 y R → +∞. Por un lado, usando que sin(t) ≥ (^) π^2 t en t ∈ (0, π/2) , tenemos que ∣∣ ∣∣

γR

f (z)dz

∫ (^) π

0

eiR(cos(t)+i^ sin(t)) Reit^ Rie

itdt

∫ (^) π

0

e−R^ sin(t)dt

∫ (^) π/ 2

0

e−R^ sin(t)dt ≤ 2

∫ (^) π/ 2

0

e−R^ π^2 t dt = −Rπ (e−R^ − 1) → 0.

Veamos que ocurre ahora en γr_. Si intentamos hacer una acotación directa, no obtendría- mos nada concreto. Por un lado,_

f (z) =^1 z +

n≥ 1

inzn−^1 n!.

Por un lado, (^) ∫

γr

z

dz = −

∫ (^) π

0

reit^

ireitdt = −iπ.

Por otro lado, definiendo fn(z) = i

nzn− 1 n! (continuas) con^ |z|^ < r <^1 , aplicando el Criterio de Weierstrass, la serie

n≥ 1 fn(z)^ converge absolutamente en^ γ∗^ a una función continua g(z) , por lo que: |g(z)| ≤

n≥ 1

r n! =^ r(e^ −^ 1)^ r→→^0 . Se tiene entonces que l´ımr→ 0

γr f^ (z)dz^ =^ −iπ. Dado que^ ΓR,r^ es un camino cerrado y f (z) es analítica en su interior y no tenemos ningún residuo, ∫

ΓR,r

f (z)dz = 0.

Por tanto, (^) ∫

γR

f (z)dz +

∫ (^) −r

−R

f (x)dx +

γr

f (z)dz +

∫ R

r

f (x)dx = 0,

lo cual nos dice que tomando los límites respectivos y la parte imaginaria, ∫ (^) +∞

−∞

sin(x) x dx^ =^ π.

4.6.5. Funciones racionales con infinitos ceros complejos en el de-

nominador

En este tipo de integración, es común usar un rectángulo que solo contega un cero. Veamos un ejemplo para entender el procedimiento.

Ejemplo 4.6.5. Hallar

−∞

eax 1 + ex^ dx_. Veamos que la integral es convergente. Para ello, consideramos que estamos en_ x > 1_._ eax 1 + ex^ ≤^

eax ex^ =^

e(1−a)x^.^

x^2.

Como

1

x^2 dx <^ +∞ , tenemos la covergencia en este intervalo. Por otro lado, veamos que ocurre en (−∞, −1).

eax 1 + ex^ =

e−ax 1 + (^) e−^1 x

e−x e−ax^ + e−x(1+a)^.

Haciendo y = −x ,

t→−∞^ l´ım

t

eax 1 + ex^

dx = (^) t→−∞l´ım

∫ (^) −t

1

ey eay(1 + ey)

dy < +∞,

donde en este último paso se puede usar lo calculado anteriormente. Ademas, en (− 1 , 1) , la

función e

ax 1 + ex^ es continua, por lo que es integrable y, por tanto, la integral^

−∞

eax 1 + ex^ dx^ es convergente (y por tanto, coincide con el valor principal).