Probabilidad en estadística - Prof. Vásquez Gallardo, Ejercicios de Estadística

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Sección: 1-

Catedrático: Ingeniero Carlos Humberto Vargas

Estadística 2 (EST2)

Alumna:

Diana Roxana Díaz Cáceres

1. Si en el ejemplo 1 se considera que dicho plantel de secundaria tiene un total de 400 alumnos,

¿Cuál es la probabilidad, en una muestra de 36 alumnos, de que la media sea igual o superior a

1?60 metros?

R/ en una muestra de 36 alumnos la probabilidad de que la media sea mayor o igual a 1.

metros, para un plantel de secundaria dentro de un total de 400 alumnos, es de 0.006 o

alrededor de un 0.60%

Solución:

Datos : μ=1.50 metros ,σ =0.25 metros , n= 36 alumnos , N= 400 alumnos , x=1.60 metros

Pregunta: ¿ P(x ≥1.60)

Z=

x −μ

σ

¯

x

;σ

¯x

σ

√n

(

√

N−n

N − 1

)

(

√

)

luego: Z=

Buscando en la tabla de “Área bajo la curva normal”, se encuentra que la probabilidad cuando

Z=2.51 es de 0.4940.

Gráficamente:

El área que buscamos es P ( x ≥ 1.60)=0.5−0.4940=0.006 o 0.60 %

b) Inferior a 142.8 libras;

R/ La probabilidad que el peso medio de una muestra de 400 estudiantes varones sea

inferior a 142.8 libras es de 0.0017 o 0.17%.

Solución. Datos: μ= 145 Libras ;σ = 15 Libras;n= 400 alumnos ;

¯

x=142.8 Libras

¿ P(

x <142.8) ?:

Z=

x −μ

σ

¯

x

;σ

¯

x

σ

n

σ

¯

x

=0.75 ; luego: Z=

Buscando en la tabla de “Área bajo la curva normal”, se encuentra que la Probabilidad cuando

Z = 2.93 es de 0.4983.

Obtenemos la siguiente gráfica

El área que buscamos es P ( x<1.42 .8)=0.5−0.4983=0.0017 o 0.17 %

c) Entre 144 y 146.8 libras;

R/ La probabilidad que el peso medio de una muestra de 400 estudiantes varones este

entre 144 y 146.8 libras es de 0.90 o 90%.

Solución. Datos:

μ= 145 libras ; σ= 15 libras ;n= 400 alumnos ; ¯

x

1

= 144 libras ; ¯

x

2

=146.8 ;libras

¿ P( 144 ≥

x ≤ 146.8)? Debemos encontrar dos valores de Z:

Z=

x −μ

σ

¯

x

;σ

¯x

σ

√n

σ

¯

x

=0.75 ;luego: Para : ¯

x

1

= 144 libras : Z

1

Buscando en la tabla de “Área bajo la curva normal”, se encuentra que la Probabilidad

cuando Z = 1.33 es de 0.4082.

Para : ¯

x

2

=146.8 puntos :Z

2

Buscando en la tabla de “Área bajo la curva normal”, se encuentra que la Probabilidad

cuando Z = 2.4 es de 0.4918. Luego: ¿ P( 144 ≥ ¯

x ≤ 146.8)? = 0.4082 + 0.4918 = 0.90 o

90%. Obtenemos la siguiente gráfica:

Buscando en la tabla de “Área bajo la curva normal”, se encuentra que la Probabilidad

cuando Z = 2.27 es de 0.4884.

P (

x>146.7 )=0.5−0.4884=0.

Se obtiene la gráfica siguiente:

P ( 143.5<

x>146.7 )=0.0228+ 0.0116=0.0344 o 3.44 %

e) La probabilidad de que un alumno escogido al azar tenga un peso de 125 libras o más

R/ La probabilidad que el peso medio de una muestra de 1 estudiante escogido al azar

sea igual o mayor a 125 libras es de 0.9082 o 90.82%.

Solución. Datos: μ= 145 libras ; σ= 15 libras ; n= 400 alumnos ; ¯

x=142.8libras

¿ P(

x ≥ 125 ) ?:

Z=

x −μ

σ

¯x

;σ

¯

x

σ

n

σ

¯x

= 15 ;luego :Z=

Buscando en la tabla de “Área bajo la curva normal”, se encuentra que la Probabilidad

cuando Z = 1.33 es de 0.4082.

Obtenemos gráficamente:

El área que buscamos es P ( x ≥ 125 )=0.5+ 0.4082=0.9082 o 90.82 %

Obtenemos gráficamente:

3. Se sabe que el peso medio de los estudiantes varones de una universidad acusa tendencia

normal con media de 145 libras y una desviación típica de 15 libras. ¿Cuál es la probabilidad de

que el peso medio de una muestra aleatoria de 400 estudiantes varones de esa universidad

sea?: a) Superior a 143 libras: b) Inferior a 142.8 libras; c) Entre 144 y 146.8 libras; d) Inferior a

143.5 ó superior a 146.7; e) La probabilidad de que un alumno escogido al azar tenga un peso

de 125 libras o más. R: 0.9962; 0.0017; 0.90; 0.0344; 0.9082.

Datos :n= 49 ; probabilidad :0.

Z=0.95−0.5=0.

Buscando en la tabla de “Área bajo la curva normal”, se encuentra que la Probabilidad

cuando Z = 1.64 O ± 1..

Z=

p−P

P .Q

n

p−0.

p−0.

(−1.65)∗( 0.051) +0.15= p

p=0.

p=0.066 o 6.6 %

Gráficamente:

Luego: ¿ P( p ≥ 0.066) ?=0.4505+0.5=0.9505 o 95.05 %

Obtenemos la siguiente gráfica

5. Una fábrica de café envasa su producto en frascos de distintas capacidades entre los cuales

hay uno con un peso neto de 113 gramos de Percafé. Para controlar el proceso de envasado se

utiliza el siguiente criterio: cada 30 minutos se seleccionan 49 frascos llenos, si su peso medio

es inferior a un valor crítico “K”, se detiene el proceso y se reajusta; en caso contrario, se

continúa el envasado sin detener el proceso. Determine el valor de “K” de modo que haya una

probabilidad de detener el proceso de solo 0.07 cuando la máquina está envasando a un

promedio de 115 gramos con una desviación típica de 8 gramos.

Solución:

. Datos: μ= 11 5 gramos ; σ = 8 gramos ; n= 49 frascos ; ¯

x= peso medio de los frascos

Usando una tabla de la distribución normal estándar, encontramos que el valor Z

correspondiente a una probabilidad acumulada de 0.07 es aproximadamente -1.48.

Modificando la formula inicial

X =Z

σ

√n

μ

X =−1.

Por lo tanto, el valor crítico “K” que detendría el proceso con una probabilidad de 0.07 cuando la

máquina está envasando a un promedio de 115 gramos con una desviación típica de 8 gramos es

aproximadamente 113.7 gramos. Asumiendo que los pesos de los frascos siguen una distribución

normal.