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AXIOMAS DE LA ADICIÓN
AXIOMAS DE LA
MULTIPLICACIÓN
AXIOMAS DE LEY
DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA
ADICIÓN
AXIOMAS DE ORDEN
AXIOMAS DE LA RELACIÓN
DE IGUALDAD DE LOS
NÚMEROS REALES
AXIOMAS DEL SUPREMO
AXIOMAS DE NÚMEROS REALES TEORÍA DE
EXPONENTES ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y
ECUACIONES EXPONENCIALES
El sistema de los números reales es un conjunto no vacío
denotado por con dos operaciones internas llamadas:
Adición (+) : (a,b) = a+b
Multiplicación (.) : (a,b) = a.b
y una relación de orden “<”
(<, se lee “menor que”); el cual satisface los siguientes
axiomas.
I.
A 1 : Ley de clausura
a, b a + b
A 2 : Ley conmutativa
a, b a + b = b+a
A 3 : Ley Asociativa
a, b, c (^)
( a + b ) + c = a + ( b + c )
A 4 : Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo
Existe un valor único , denotado por “0” (0, se lee
cero) tal que
a (^) : a + 0 = a = 0 + a
A 5 : Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo
a , existe un valor único denotado por - a tal que:
a (^) :
a + (-a) = 0 = (-a) + a
II.
M 1 : Ley de clausura
a, b a.b
M 2 : Ley conmutativa
a, b a.b = b.a
M 3 : Ley Asociativa: a, b, c ( a. b ). c = a .(b .c )
M 4 : Existencia y unicidad del elemento neutro
multiplicativo
Existe un valor único , denotado por “1”
( 1, se lee uno ) tal que
a : a.1 = a = 1.a
M 5 : Existencia y unicidad del elemento inverso
multiplicativo
a / a 0; existe un valor único denotado por a
1 tal que
a. a
III.
a, b, c
D 1 : Distributividad por la izquierda
a ( b + c ) = a b + a c
D 2 : Distributividad por la derecha
( a + b ) c = ac + bc
IV.
O 1 = Ley de Tricotomía
Dados a y b ; se cumple una y solamente una de la siguiente
relaciones:
a < b a = b b < a
O 2 = Ley Transitiva, a, b, c ,
Se cumple Si; a < b b < c
a < c
O 3 = Ley de la Monotonía
i) a, b, c (^) ;
Si a < b a + c < b + c
ii) Si a < b (^) 0 < c ac < bc
iii) Si a < b (^) c < 0 bc < ac
V.
a, b, c , se cumple
Dicotomía: a = b a b
Reflexividad: a = a
Simetría: a = b b = a
Transitividad:
Si : a = b b = c a = c
- Unicidad de la adición
Si: a = b a+c = b+c
- Unicidad de la multiplicación
Si: a = b a.c = b.c
VI.
Todo conjunto A de números reales (A 0: no vacío) acotado
superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo
de A.
RECTA REAL (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA)
La recta real es una recta geométrica de infinitos puntos donde
cada uno de los puntos establece una correspondencia biunívoca
con los números reales, esto nos permite visualizar una relación
de orden < (menor que) entre dos o más cantidades, como ilustra
la gráfica adjunta.
Intervalo abierto Intervalo cerrado
#s negativos #s positivos
A B
a 0
La relación a < b al graficarla en la recta real nos indica que la
cantidad “a” se encuentra a la izquierda de la cantidad “b”.
OPERACIONES BÁSICAS EN EL
CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Con respecto a la recta geométrica debemos tener en cuenta lo
siguiente:
- “0” (cero), es el origen de la recta real, no tiene signo.
- Los números negativos son menores que cero.
- El cero es menor que cualquier número positivo.
- El conjunto A denotado por
A = x / a < x < b
Se denomina “intervalo abierto” sobre el eje real y tiene dos
representaciones matemáticas
X < a; b > ó x ] a ; b [
Se lee: “x pertenece al intervalo abierto “a” coma “b”
- El conjunto B, denotado por
B = x / c x d
Donde los extremos c y d están incluidos, se llama “intervalo
cerrado” sobre el eje real y se lee: “x pertenece al intervalo
cerrado “c” coma “d”, se denota como:
x (^) [ a ; d ]
- El valor absoluto de un número real “a” denotado por |a|
satisface la siguiente regla de correspondencia.
|a| =
a;si a 0
a; si a 0
- La distancia entre dos puntos “a” y “b” sobre el eje real es:
|a - b|
TEOREMAS IMPORTANTES EN RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES
- Ecuación de primer grado en una variable
a, b, x ;
con a 0. Si ax + b = 0, entonces se cumple que:
a
b x
- Ecuación de segundo grado en una variable
a, b, c, x ;
con a 0 / ax
2
se cumple que:
2 a
b b 4 ac x
2
o también:
2 a
b x
al símbolo = b 2
- 4 ac, se llama discriminante de la ecuación de
segundo grado.
- Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas
a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2
con; a 1 b 2 a 2 b 1 , donde:
a x b y c...........( )
ax b y c...........()
2 2 2
1 1 1
se cumple que:
1 2
1 2
1 2 2 1
2 2
1 1
2 2
1 1
a b a b
c b c b
a b
a b
c b
c b
x
1 2 2 1
1 2 2 1
2 2
1 1
2 2
1 1
a b a b
a c a c
a b
a b
a c
a c
y
- a, b / a.b=0 a = 0 b=
Adición. - Es la operación matemática, que por medio del signo
(+) dos o más cantidades llamadas sumandos se reducen en una
sola, denominada suma. La suma de dos números reales está
sujeta a las siguientes reglas.
Regla 1.- La suma de dos números reales con el mismo signo está
determinada por la suma de sus valores absolutos y el resultado o
suma total está afectado por el signo de los sumandos.
Ejemplo:
a) – 3 – 4 = - 7 c) 12 + 30 = 42
b) 5+6 = 11 d) – 12 - 30 = - 42
Regla 2.- La suma de dos números reales de signos diferentes
está determinada por la diferencia de sus
Valores absolutos (El mayor menos el menor) y el resultado o
suma total se encuentra afectado por el signo del sumando que
tenga mayor valor absoluto.
Ejemplo:
a) – 10 + 5 = - 5 d) – 3 + 8 = 5
b) – 12 + 2 = - 10 e) 17 – 20 = - 3
c) 12 - 3 = 9 f) – 14 + 6= - 8
NOTA.- En la adición de varias cantidades reales con diferentes
signos, se agrupan las cantidades positivas y negativas entre sí
y luego se procede a la reducción de acuerdo a las reglas dadas.
Ejemplo:
a) – 6+5- 4 - 3+2-9=(- 6 - 4 - 3 - 9)+5+2)
= - 22+
= - 15
b) – 12+3- 9 - 5+4 = (- 12 - 9 - 5) + (3+4)
= - 26+
= - 19
SUSTRACCIÓN. - Es la operación matemática que por medio
del signo menos (-) obtenemos la diferencia de dos números
(minuendo menos sustraendo)
Ejemplo:
a) Restar – 12 de 5:
diferencia: 5 ( 12 ) 17
sustraendo: 12
minuendo: 5
b) Restar 8 de – 8:
PRINCIPALES CONJUNTOS
NUMÉRICOS
TEORIA DE EXPONENTES
(#s reales)
a
m
. a
n
= a
m+n
a
m
.b
m
= (a.b)
m
RADICACIÓN. - Es la operación inversa a la potenciación que
nos permite encontrar un número llamado raíz, tal que elevado al
índice del radical reproduce el radicando o cantidad su radical.
a r r a
n n
Ejemplo:
a) 8 2 ( 2 ) 8 3 3
b) (^16) 4 ( 4 )^2 = 16
c) 16 4 ( 4 ) 16
2
d) 8 2 ( 2 ) 8
3 3
Respecto a los números reales podemos hacer la siguiente
clasificación:
A.- El conjunto de los Números naturales, denotado por N,
donde: N = 1, 2, 3, ........
B.-El conjunto de los Números enteros, denotado por Z, donde:
Z = ..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...
C.-El conjunto de los Números racionales, denotado por Q,
donde:
Q = x/x=
q
p , p y q son enteros
(q 0)
D.- El conjunto de los Números irracionales, denotado por I,
donde:
I = x/x tiene representación decimal infinita no periódica
E.- El conjunto de los Números Reales, denotados por , donde:
= x/x es racional ó irracional
F.- El conjunto de los Números Complejos, denotado por C,
donde:
C = x / x = a + b i ; a (^) b
i es la unidad imaginaria donde:
i = 1 ; tal que: i
2 = - 1
G.- El conjunto de los Números enteros positivos denotados
por Z
, donde:
Z
+ = 1 , 2 , 3 , ............
H.- El conjunto de los Números Enteros positivos incluido
el cero, denotado por
Z 0
= 0, 1, 2, 3, 4, 5, ........
Asimismo ampliando se tendrían los siguientes conjuntos:
Q
+ ,
+ , Q
- , - , 0
+ , 0
- , Q 0 - , etc.
Es un conjunto de fórmulas que relaciona a los exponentes de las
expresiones algebraicas de un solo término, cuando entre estas
expresiones algebraicas se realizan operaciones de
multiplicación, división, potenciación y radicación en un número
limitado de veces. Sus principales leyes sobre el campo de los
números reales son:
I. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES
; m, n
II. MULTIPLICACIÓN DE BASES DIFERENTES CON
IGUAL EXPONENTE
; m
III. DIVISIÓN DE BASES IGUALES
m n n
m
a a
a (^) ^ a^ ^0 m^ ^
IV. DIVISIÓN DE BASES DIFERENTES CON IGUAL
EXPONENTE
m
m
m
b
a
b
a
b (^0) m
V. POTENCIA DE POTENCIA
m n m.n
a a ; m, n
NOTA:
m m.n a a
n (^) ó m mn a (a )
n
VI. EXPONENTE NEGATIVO
; a
b
b
a
m m
a 0 b 0
NOTA: a
a
1
VII. EXPONENTE CERO (a 0)
a
0 = 1
(Reales positivos)
(Reales negativos)
Racionales ( Q
)
Enteros ( Z
)
Fraccionarios ( F
) Irracionales ( I
)
Racionales ( Q
Enteros ( Z
)
Irracionales ( I
0 (cero real)
NOTA.- 0
0 es indeterminado
VIII. RAIZ DE UNA POTENCIA
a a ; n
m n m^ m, n / n 0
i) n
q n
p n
m n (^) m p q a b c a b c
ii) n n
1
a a
IX. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
HOMOGENEOS
n n n
a b ab ; n / n 0
X. DIVISIÓN DE RADICALES HOMOGENEOS
n n
n
b
a
b
a ^ n^ ^ / n^ ^0
XI. POTENCIACIÓN DE UN RADICAL
n m p n mp a a ;
m, n, p, /n 0
XII. RADICAL DE RADICAL
m n p^ mnp a a ; m, n, p,
XIII. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES
m n mk n K a (a)^ ;
m, n, k, /mk 0
EJERC.1. Simplificar:
E =
2 4
12 2 3 6
(a )
(a ) (a)
Solución:
Como, (a
m )
n = a
mn
E =
8
24 18
a
a. a
De las fórmulas (I) y (II):
E = a
24 - 18 - (-8) ; con lo cual
E = a 14 (Rpta).
EJERC. 2: Efectuar:
S = ^
2 23
3 3 22 3
ab ab
ab ab
Solución:
Teniendo en cuenta la fórmula
( ( ( a m ) n a p ) q a r ) s = a ( ( mn+ p ) q+r)s
obtenemos:
S =
8 14
21 21
( 1 x 31 ) 2 ( 2 x 31 ) 2
( 3 x 21 ) 3 ( 2 x 23 ) 3
a b
a b
a b
a b
S = a
21 - 8 b
21 - 14 S = a
13 b
7 (Rpta.)
EJERC. 3.- Dar el valor simplificado de
E =
(^3 16 3 ) x x ........radicales
Solución:
Escribiendo un radical más, se tendría
E =
E
(^3 16 3 ) x x ........radicales
E =^3
16 x E
Elevando el cubo, los dos miembros de la igualdad:
E
3
3 (^3 ) x E
E
3 = x
16 E
Simplificando
16
3 x E
E
E
2 = x
16 E = x
8 (Rpta)
EJERC. 4.- Simplificar la expresión
b 1 b
b b 2 3 b (^1) b b
4 2 2 3 K a
(^)
Solución:
Transformando a un solo radical y a un solo exponente:
(b 1 )b(b 1 ) (b b)(b b) (^2 )
K a
expresando convenientemente
(b 1 )b(b 1 ) b(b^1 )b(b^1 ) 2 3 2 2 2 2
K a
siendo el exponente igual al índice del radical K = a (Rpta)
La ecuación lineal de primer grado en una variable es aquella que
adopta la forma canónica:
a, b :
ax + b = 0 / a 0
EJERCICIOS
ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER
GRADO EN LOS REALES
elevando al cuadrado; se obtiene
25(5x-a) = 5x+a
125x-25a = 5x+a
120 x = 26a
De donde: x=
60
13 a (Rpta)
06. Calcular “x” en la ecuación:
2
2
2
x 7
x 3
x 6 x 10
x 14 x 50
Solución:
Transformando el exponente negativo en positivo y desarrollando
el cuadrado del binomio obtenemos:
x 6 x 9
x 14 x 49
x 6 x 10
x 14 x 50
2
2
2
2
haciendo el cambio de variable
x
2
2 +6x+9=b
tendríamos:
b
a
b 1
a 1 ab+b=ab+a
de donde: b = a
ó: x
2 +6x+9 = x
2
20x=
X = 2 (Rpta)
Son todas aquellas ecuaciones que se caracterizan por que la
incógnita se encuentra en el exponente.
Ejemplo:
a) 27
b) 2
x+
x - 3
x - 1 = 35
c)
x 2 x 3 x 3 x 6
d)
x 1 x^1 9 3 3 27
Los criterios de solución respecto a la solución de ecuaciones
exponenciales son:
1º A bases iguales, los exponentes deben ser iguales, es decir
a
m = a
n m = n ; a 0 a 1
2º En toda ecuación exponencial si las estructuras
algebraicas en ambos miembros son iguales, entonces el
valor de la incógnitas se obtiene por comparación.
Ejemplo:
a) Si:x 5 x 5
xx 2 552
b) x 6 x 6
3 x x 4 3 6 64
En este tipo de ecuaciones exponenciales, el problema
consiste en hacer transformaciones en uno de sus miembros
(ó en ambos) de forma que se halle una equivalencia
estructural; el valor de la incógnita se obtiene por
comparación.
01. Calcular “x”, sí:
x 2 = 9
x 1
Solución:
Expresando en base “3”; tendríamos
( 3 )
2 x + 2
igualando los exponentes
x =
5
8 (Rpta)
02. Hallar el valor de “x” en la ecuación
x 1 x 2 x 3 x 2
Solución:
Transformando los radicales en exponentes fraccionarios, se
obtiene:
x 3
x 2 x 1
x 2 7 7
igualando los exponentes:
x 3
x 2
x 1
x 2
(x+2)(x-3) = (x-1)(x-2)
operando:
x 2
2x=
x = 4 (Rpta).
04. Resolver:
x 2 3 x 1 5 x 2
27
8
4
9
3
2
Solución:
Expresando en la base
3
2 ; se tendría
5 x 2 3 3 x 1 x 2 2
3
2
3
2 . 3
2
x 2 6 x 2 15 x 6
3
2
3
2 . 3
2
I g u a l a n d o l o s e x p o n e n t e s :
10x = 6
x =
5
3 (Rpta)
05. Qué valor de “x” resuelve la ecuación:
2 x 3 27 a 4 9
Solución:
Expresando en base “5”
ECUACIONES EXPONENCIALES
EJERCICIOS
2 x 3 27
x 4 9 3 5 5
2 x 3 27 x 4
- 9 5 5
Igualando los exponentes
Colocando en base “3”
2 )
X 4
= (
3 )
2 X 3
6x- 9
Igualando los exponentes; obtenemos:
4
9 x
(Rpta)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Efectuar:
1 1
1 3 2 4 2 E 27 36 2 3
^ (^)
A)3 B) 6 C) 2 D)1 E) 0
2. Simplificar:
2 5 0, 4 E 27 3 27 3 2 3
A)
B)^3
2
C) 2 D)3 E) 1
3. Calcule:
0 6 3 2 2 3
,
E ,
A) 8 B) 6 C) 4 D)2 E) 5
4. Efectuar: 0, 21 1
1 4 16 (^1 1) 0, 0, 625 9
^
(^)
A) 21 B) 22 C) 23 D)24 E) 25
5. Paran^ ^ ; n^2
el equivalente de la expresión n n 3 n² n (^) n 5 2n 1 a a² a³...a a a³ a ...a
(^)
será:
A)a B) a² C) 0 D) a E)
n a
6. Efectuar:
48 factores
3 3 3 3 3
1
44 factores
x x x... x x A ; x 0 x x x x... x
A)x 6 B) x 9 C) x 4 D)x 7 E) x 7
7. Efectuar:
x 1 x x 2 2x 2
A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6
8. Si: 1 1 2 2 1 1
1 1 2 2
a b a b P y Q a b a b
(^) (^) (^)
Halle P. Q, siendo b > a >
A)
b a
B)
a b
C)
2
a b
a b
D)
2
a b
a b
E)
2
1
b a
9. Simplificar:
a b
b a a b
M
; si: a + b = ab
A) 14
a+b B) 14 C)7 D)
14
2
a b
E) 7
a+b
10. Si: a+b = 2ab ; {a;b} -{0;1}
Reducir:
a (^) b 1 1 a b a a (^1 ) b 2b 2a b
x y
x y
(^)
A) x
y
B) y
x
C)x
y
D)y
x
E) 1
11. Resolver
1
1
x
5 x
x
e indicar el valor de: x
1
A)
1
5
B) 5 C)
1
5
D) 5 E)
1
5
12. Si:
2 x x 2
Calcule:
2 x 1 4x E x
A)
1
2
B)
1
4
C) 2 D)4 E) 5
13. Calcule “x” en:
3 3 21 2^ x 21 2 x (^) x 3 x 21 2 x x
A)27 B)
3 9 C)
9 3 D)
3 21 E)
3 20
14. Reducir:
5 4 6 3 (^5 3 4 )
1
x
x x² x x x²
COEFICIENTE NATURAL
Con respecto a la siguiente secuencia:
1 a = a (a se suma 1 vez)
2 a = a + a (a se suma 2 veces)
3 a = a + a + a (a se suma 3 veces)
na = a + a + a +.... + a (a se suma n veces)
n veces
De la propiedad de simetría
a + a + a +.... + a = na n z+
n veces
Ejemplos
a) a + a + a +.... + a = 80 a
80 veces
b) x y2 + x y2 + .......+ x y2 = 33 x y 2
33 veces
d) Exponente.- Es el número que se escribe en la parte superior
derecha de una “base”; si el exponente es un número entero y
positivo nos indica el número de veces que se está
multiplicando la base
Ejemplos:
a) x5 = x • x • x • x • x 5 veces
b) (x3)4 = x3 • x3 • x3 • x
4 veces
Con referencia a la siguiente secuencia:
a1 = a (a se multiplica 1 vez)
a2 = a • a (a se multiplica 2 veces)
2 veces
a3 = a • a • a (a se multiplica 3 veces)
3 veces
an = a • a • a •.... • a (a se multiplica n veces)
n veces
Por la propiedad de simetría:
a • a • a •…... • a = an n Z+
n veces
Ejemplos:
a) x • x • x .......... x = x
60 veces
n
b) 6 • 6 • 6 .......6 = 6
n2 veces
c) (x-y2) (x – y2) ....... (x – y2) = (x-y2)
29 veces
d) z • z • z ,,,,,,,,,,,z = z n- 2
(n – 2) veces
Es la expresión algebraica racional entera que consta de un solo
término, en el cual los exponentes de sus variables son
cantidades enteras no negativas. Ejm:
a) M (x, y) = - 2 x7 y
b) R (x, y) =–6 x9 y5 z
a) Grado absoluto (G.A.).- Está determinado por la suma
de los exponentes de sus variables.
Ejemplo:
Respecto a los monomios
a) M(x,y) = - 9 x4 y6 G.A. = 4 + 6 = 10
b) R(x,y) = - 6 x4 y6 z3 G.A. = 4 + 6 = 10
b) Grado Relativo (G.R.).- Con respecto a una de sus variables,
es el exponente que tiene dicha variable, es decir:
Respecto al monomio:
M (x, y) = - 5 x6 y4 z
Vemos que:
G.R. (x) = 6
G.R. (y) = 4
G.R. (z) = 8
Ejercicio 1.- Dado el monomio
M (x, y) = (((x
3 y
2 )
3 x
2 y)
2 x y
2 )
2
Hallar su grado absoluto
Solución
Simplificando, obtenemos:
M (x, y) = x ((3x 3 + 2) 2 + 1) 2 y 32
M (x, y) = x
46 y
32 , de donde
G.A. = 46 + 32 = 78 Rpta.
Ejercicio 2.-
Hallar el valor de “n” en el monomio
M (x) =
(^6) n 1
3 n 2 n 3
x
x x
Sabiendo que es de primer grado.
Solución
Reduciendo a una sola base y a un solo exponente:
M (x) =
6
n 1
2
n 3
3
n 2
x
x x
M (x) =
6
n 1
2
n 3
3
n 2
x
Siendo M (x) de primer grado, se cumple que:
1 6
n 1
2
n 3
3
n 2
; mcm = 6
Resolviendo
2 (n – 2) + 3(n-3) – 1 (n-1) = 6(1)
2 n – 4 + 3 n – 9 – n + 1 = 6
4 n = 18
Obtenemos: n =
Rpta.
Ejercicio 3 .- Dado el monomio:
EJERCICIOS
M (x) =
4 2 n 5
2 n 3 3 2 n 1
x
x x
Para que el valor de “n”; M(x) es constante.
Solución
Dado que:
n
m
a a
n m
; se tendría :
M(x) =
8
2 n 5
12
2 n 1
4
2 n 3
X
X X
Reduciendo a una sola base:
M(x) = X^
8
2 n 5
12
2 n 1
4
2 n 3
Como M(x), es una cantidad constante se cumple que:
; mcm 24
0 8
2 n 5
12
2 n 1
4
2 n 3
Con lo cual:
6(2n – 3) + 2 (2n – 1) - 3 (2n – 5) = 0
12n – 18 + 4 - 2 - 6n + 15 = 0
10 n = 5
De donde:
n = 0,5 Rpta.
Ejercicio 4.- En el monomio:
M(x,y)= x
3(2a+3b) y
4(5a-2b)
Se cumple que:
G.A. = 83 y G.R (Y) = 20
Determine: (a + b)
Solución
Dado que:
G.R.(x) 63
y
G.R.(y) 20
Lo cual a su vez implica que:
2a + 3b = 21 ................... (1)
5a - 2b = 5 .................. (2)
Resolviendo por determinantes:
a =
b =
a + b = 8 Rpta
Es la expresión algebraica que consta de dos o más términos, en
el cual los exponentes de sus variables son números enteros no
negativos. Son ejemplos de polinomios:
a) P(x) = 2x – 3 (binomio)
b) Q(x) = x 3
c) P(x,y) = x
2
2 (trinomio)
a) Grado absoluto (G.A.).- Está determinado por el mayor
grado absoluto que tiene uno de sus términos.
Ejemplo:
Dado el polinomio:
P (x,y) = x 6 y 4
vemos que: G.A. =
b) Grado Relativo (G.R.).- Con respecto a una de sus
variables es el mayor exponente que tiene dicha variable
en el polinomio dado.
Ejemplo:
Dado el polinomio:
P(x,y) = x
6 y
3
9 y
7
4 y
8
Vemos que:
G.R.(x) = 9
G.R.(y) = 8
01.- Dado el polinomio
P (x , y) = 5 x
n – 4 y
n- 3
n- 6 y
n- 2
Hallar “n” si su grado absoluto es 9
Solución
Sumando los exponentes de cada término, obtenemos:
P (x , y) = 5 x n – 4 y n - 3
(2n – 7) (2n-8)
Por consiguiente: 2n – 7 = 9
n = 8 Rpta.
02.- Si los términos del polinomio
P (x, y, z) = x
m + n
3n
m + 2
Tienen el mismo grado. Hallar m n
Solución
Para este caso, se cumple que:
m + n = 3 n = m + 2
con lo cual:
de : m + n = m + 2 n = 2
de : m + n = 3 n
m + 2 = 6 m = 4
m n = 4 2 = 16 Rpta.
G.A. = 83
POLINOMIO
GRADOS DE UN POLINOMIO.-
EJERCICIOS
2 a + 3b = 13
Resolviendo el sistema:
a + 2 b = 8 .......... (1)
2 a + 3b = 13 .......... (2)
2 1
2
3 4
24 26
2 3
1 2
13 3
8 2
a
3 1
3
3 4
13 16
2 3
1 2
2 13
1 8
b
Por consiguiente el valor de “E” es:
E = [ 2
3
2
2 E = 121 Rpta.
04.- Tres términos consecutivos de un polinomio ordenado y
completo en forma descendente están representados por:
P(x)= .... + x a+b+
- x 2a - 1 + 3bx 3b- 1 - ....
Calcular el valor de “a”
Solución
En este caso se cumple que la diferencia de dos exponentes
consecutivos es igual a la unidad, es decir:
a + b + 1 - (2a – 1) = 1 ......... ()
2 a – 1 - (3 b – 1) = 1 ......... (ß)
Simplificando:
- a + b = - 1 ..................... ()
2a - 3b = 1 ………………. (ß)
Resolviendo para “a”
a
=^1
2
3 2
3 1
a = 2 Rpta.
La notación de polinomios nos permite diferenciar las
constantes de las variables; en efecto, para los polinomios.
A) P (x) = x 3
La única variable es “x” y las constantes literales llamadas
también parámetros son “a”, “b” y “c”.
B) P (x, y) = x 4
Las variables son las letras “x” e “y” y las constantes son “5”,
“a” y 6.
Este tipo de notación se hace extensible a cualquier tipo de
expresión algebraica.
Ejm:
a) P (x) = c x d
ax b
b) P (x) = a x bx c
2
c) P (x,y) =
2 3
2 3
x y
x y
01.- Sabiendo que:
P(x) = 9 x 5
5 x 3
Calcular : P (P (x))
Solución
Reemplazando, x por P(x)
P (P(x)) =
9 P(x) 5
5 P(x) 3
Como P(x), es conocido
P(P(x)) =
5 9x- 5
5x- 3 9
3 9x- 5
5x- 3 5
Efectuando las operaciones indicadas:
P (P(x)) =^45 x-^27 -^45 x^25
25 x- 15 - 27 x 15
P (P(x)) =^2
2 x
P (P(x)) = X Rpta.
02.- Si; F
x x x 1 x 5
x (^23 )
Calcular: E = F(4)
Solución
Para calcular F(4), hacemos:
4 x 5
x 2
x – 2 = 4 x – 20
18 = 3x
x = 6
Con la cual:
F (4) = (6)
3
2
F (4) = 185 Rpta.
03.- Si; f (x) = ax – b
y : g(x) = bx – a
Hallar; h(x) = f(g (x)) - g (f (x))
Solución
Operando por partes, tendríamos:
1º) f (g (x)) = a g(x) – b
f (g (x)) = a (bx-a) – b
f (g (x)) = abx – a
2
2º) g (f(x)) = b f(x) – a
g (f(x)) = b (ax - b) – a
g (f(x)) = abx – b 2
De donde:
NOTACIÓN DE POLINOMIOS
EJERCICIOS
2.
h (x) = abx – a 2
h (x) = b
2
2
04.- Si; P (P(P(x))) = 216x – 215
Calcular: P (x + 2)
Solución
Como en la condición el segundo miembro es una expresión de
primer grado, entonces P(x) también es de primer grado, es
decir:
P (x) = a x + b
Operando por partes, tendríamos:
- P (P(x)) = a P(x) + b
P (P(x)) = a (ax + b) + b
P (P(x)) = a 2 x + ab + b
- P(P(P(x))) = a+b(a 2 z + ab+b) + b
P(P(P(x))) = a
3 x + a
2 b + ab + b
Teniendo en cuenta la condición:
a
3 x + a
2 b + ab + b 216 x – 215
Al comparar:
i) a
3 = 216 a =
3 216 a = 6
ii) a 2 b + ab + b = - 215
36 b + 6b + b = - 215
43 b = - 215
b = - 5
Por consiguiente:
P (x) = a x + b = 6 x – 5
y : P (x+2) = 6(x+2) - 5 = 6x+7 Rpta.
Determinante de orden 2.- Es el desarrollo de una matriz
cuadrada que presenta dos filas y dos columnas y cuya
representación matemática y desarrollo es:
Ds : Diagonal Secundaria
Dp : Diagonal principal
1 2
1 2 2 b b
a a A
= a 1 b 2 – a 2 b 1
Ejemplo: El desarrollo de:
3 5
5 4
, es :
2 = Dp – Ds = 5(-5) – (-3)(4)
2 = - 25 + 12 = - 13 2 = - 13
Determinante de orden de tres.- Es el desarrollo de una
matriz cuadrada de 3 filas y 3 columnas; su representación
matemática es:
a b c
a b c
a b c
3 3 3
2 2 2
1 1 1
Y su desarrollo por menores complementarios; es:
3 = a 1 3 3
2 2
b c
b c
-^ b 1
3 3
2 2
a c
a c
3 3
2 2
a b
a b
ó también
3 = a 1 (b 2 c 3 – b 3 c 2 )-b 1 (a 2 c 3 – a 3 c 2 )+
Ejemplo: Calcular:
5 3 1
4 1 2
2 3 1
3
Desarrollando
Dado el sistema lineal:
a 1 x + b 1 y = c 1 .............. ()
a 2 x + b 2 y = c 2 .............. (ß)
Su resolución por la regla de Kramer teniendo en cuenta que:(a 1
b 2 – a 2 b 1 0)
es:
; ab ab
cb cb
a b
a b
c b
c b
x 12 2 2
1 2 2 1
2 2
1 1
2 2
1 1
s
x
1 2 21
1 2 21
2 2
1 1
2 2
1 1
s
y
ab a b
ac ac
a b
a b
a c
a c
y
Donde:
x = Determinante de x
y = Determinante de y
s = Determinante del sistema
Ejemplo 1.- Calcular “x” en el sistema:
5x – 3y = 11 .............. ()
4x - 5y = 1 ..............(ß)
Solución:
De acuerdo a la teoría:
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES DE PRIMER GRADO.
2.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CON DOS INCÓGNITAS
2.
3 2 2
1 1 1
2k 3 k 5
10 2 2
0 1 1
13 3 k 5
x
De donde:
2 k(0) 3 (5) (k 5)( 5)
13 (0) 3 (10) (k 5)( 10) x
x = - 5k-^10
15 - 5 k- 25
30 10 k- 50
Para que sea compatible indeterminado:
X =^0
0
– 10 k – 20 = 0 K = - 2
– 5 k - 10 = 0 K = - 2
k = - 2 Rpta.
EJERCICIOS PROPUESTOS:
EJERCICIOS NIVEL II
POLINOMIOS – V.N. - GRADOS
- Sea el polinomio:
P(X) = (x n 1
- 2x n 2
- n) n , si 2 n veces su término independiente
es igual a la suma de sus coeficientes, entonces “n” es:
A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5
- Calcule “m” si la expresión:
m m m^ m^ m x
M x x² x³ x
se transforma a una expresión algebraica racional entera de 5to
grado.
A) 8 B) 9 C) 10 D)11 E) 12
- Calcule “n” para que el monomio sea de 2º grado.
^
^
3 2 n 2 2n 3 4
x 2 2 n 4
x x x
M
x x
A)4 B) 5 C) 6 D)8 E) 9
- Si:
a b c
a b b c a c
Halle el grado absoluto de:
(^2 ) a b c 2 9a 8ac 8bc
E x;y;z x y z
^ transformable^ a^ una
E.A.R.E.
A)3 B) 4 C) 5 D)7 E) 8
- Si: P(x+5) = x² 3x + 1
Calcule: E = P(8) + P(6)
A)0 B) 1 C) 2 D)3 E) 7
- Del siguiente polinomio
P(x; y) = 7x a+ y b 2 z 6 a +5x a+ y b 3 z a+b
en donde:
G.Rx G.Ry = 3 G.A(P) = 13
Calcule: a + b
A)6 B) 7 C) 8 D)11 E) 12
- Sea P(x) un polinomio lineal tal que verifica la relación
x 6X
P P P 9x 21
Para todo valor de “x”. Halle P(4)
A)17 B) 18 C) 19 D)32 E) 33
- Calcule “n”, si el G.A. del monomio es 6.
4 2n 4 3 2n 3
5 2n^516
x z M x;y;z;w
y w
A)12 B) 13 C) 14 D)11 E) 10
- Calcule “n” si el monomio es de 4to. grado
n 2 3 x M x x x
A) 1 B) 3 C) 2 D)^1
2
E)
1
3
- Si: x
nx 1 P x 8
Además P(P(x)) es independiente de
“x”. Calcule “n”
A) 1 B) 8 C)
1
8
D) 8 E) 5
- Si:
x
P P P 27x 52
Calcule: P( 1 )
A) 1 B) 4 C) 4 D)5 E) 1
- Halle la suma de los valores de “n” que hacen que la
expresión:
n n 3 3 7 n x
1 P 2x 7 x x 6 3
^ sea racional entera.
A)7 B) 8 C) 9 D)12 E) 13
- Sabiendo que:
m 2 n² 5
n 5 m 4
P x;y 5x y Q x;y
2x y
son semejantes. Calcule el menor valor de m + n.
A)1 B) 3 C) 5 D)8 E) 13
- Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1
Calcule: P(P(1)) + P(P(1))
A)0 B) 3 C) 728 D)729 E) 730
- Si el polinomio en “x” e “y”
P(x, y) = 5x a
- 3x b y c
- 2x c y b
- y a es homogéneo ordenado y
completo respecto de “x” e “y”.
Calcule: 2a + b + 3c
A)17 B) 13 C) 15 D)16 E) 18
- Calcule “m” si el polinomio
2n n n 8n n 1 2n 2 x
n 1 m² m 3
P 7x 6x 5x
x ... x
es completo y ordenado; en forma ascendente; de 4n n términos.
A)4 B) 5 C) 6 D)7 E) 8
- Halle a y b en la identidad:
4a 7 b 8 b 7 a 8 b x b y a x a y
A)1 y 3 B) 1 1 y 2 3
C)
1 1 y 2 4
D)
1 y 1
4
E)0 y 1
- Siendo: P(x n
Halle: “n”, si: P(3) =^7
8
A)
B)
C)
D)
E)
- Sea P(x) un polinomio
P(x) = (3x 1) n +5x + 1; además la suma de coeficientes es 70.
Calcule el valor de:^10 n
A)6 B) 5 C) 4 D)12 E) 3
- Dado el polinomio mónico
P(x) = 5x 4 7ax 5
Calcule el valor de: n
n
A)1 B) 4 C) 27 D)25 E) 16
Los productos notables son fórmulas que permiten efectuar
multiplicaciones indicadas, sin aplicar los criterios generales de
la multiplicación algebraica, y deben satisfacer las siguientes
propiedades:
El grado del producto es igual a la suma de los
grados de los factores, en efecto:
Ejemplo. 1:
Hallar el grado de P(x)
Si: P(x)=(x
4
6
3
Solución:
Observemos que el grado en cada paréntesis es:
P(x) = (x
4
6
3
Gº = 4 Gº = 6 Gº = 3
Gº [P (x)] = 4 + 6 + 3 = 13
Ejemplo 2:
Hallar el grado de R(x)
Si: R(x) = (x
2
3 (x
4
6
Solución:
Para este caso, el grado correspondiente en cada paréntesis es:
R(x) = (x
2
3 (x
4
6
Gº [R (x)] = 6 + 24 = 30
El término independiente del producto es igual al producto de
los términos independientesde los factores, es decir:
Ejemplo
1: Hallar el término independiente de P(x) en:
P(x) = (x
3
4
7
Solución
El término independiente en cada paréntesis es:
P(x) = (x
3
4
7
- 3)
T.I = 2 T.I = - 6 T.I = - 3
T.I. [ P(x)] = (2) (-6) (-3) = 36
Ejemplo 2:
Hallar el término independiente de P(x) en:
P(x) = (x
2
5 (x
4
3
3 .
Solución:
En este caso, el término independiente en cada paréntesis es:
P(x) = (x 2
T.I= (-1)
5 T.I. = (-2) 3
T.I. [ P(x)] = (-1) 5 (-2) 3 = (-1) (-8) = 8
PRODUCTOS NOTABLES
PROP. 1
Gºproducto = Gºfactores
PROP. 2
T.I.producto = (T.I.factores)
OBSERVACIONES
3.
(a + b + c) 2 = a 2
- b 2
- c 2
- 2ab + + 2ac + 2bc
VII. Cubo del trinomio
Forma 1:
(a + b + c) 3 = a 3
Forma 2:
(a + b + c) 3 = a 3
2 b + 3a
2 c + 3b
2 a + 3 b
2 c +
01. Simplificar
S = (a + b + c)
2
2
(a – b + c) 2
(- a + b + c) 2
Solución
Desarrollando cada término, se tendría:
S = a
2
2
2
a 2
a
2
2
2
a 2
S = 4a 2
Factorizando “4”: S = 4(a 2
02. Simplificar:
S = (a + b + c)
3
3
- (a-b+ c) 3
- (-a + b + c) 3
Solución:
Haciendo el cambio a + b = x
de variables: a - b = y
se tendría en S.
S = (x + c) 3
- (x – c) 3 - (c + y) 3 - (c-y) 3
Desarrollando cada término
S = x
3
2 c + 3xc
2
3
- x 3 + 3x 2 c – 3xc 2 + c 3
- c
3
2 y – 3cy
2
3
- c 3 + 3c 2 y 2 - 3cy 2 + y 3
S = 6x 2 c - 6c 2 y 2
S = 6 c [ x
2
2 ]
Volviendo a las variables originales:
S = 6c [ (a + b)
2
2 ]
S = 6c [ a 2 +2ab + b 2
S = 6c [4ab] S = 24 abc Rpta.
03. Sabiendo que:
F =
(x - 5)(x6)(x-1)(x2) 196
Hallar : G =
F 16, 25
Solución:
Observemos que:
F =
(x - 5)(x6)(x-1)(x2) 196
Se transforma en:
F =
(x x-30)(x x-2) 196
2 2
Haciendo : x 2
F =
(a 30 ) (a 2 ) 196
F =
a - 32 a 256
2
Como la cantidad subradical es un cuadrado perfecto.
F =
2 (a 16 ) F = a – 16
ó : F = x 2
Reemplazando en G:
G =
x x- 16 16, 25
2
G =
4
1 x
2 x
Siendo la cantidad sub-radical, un cuadrado perfecto
G =
2 ) 2
1 (x
G = x +^2
1
ó lo que es lo mismo
G =^2
2 x 1
Rpta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
SEMANA 3
PRODUCTOS NOTABLES
1. Si 3 x y, x
y
y
x
2 2
halle
4
y
x
x
y
x
y
y
x W
x 0 ,y 0
A) 16 B)
3 2 C)
2 4
D)
4 2
E)
1 / 2 16
2. Sia a 1 1
, halle 12 12 W a a
A)256 B)306 C) 343 D)322 E)
3. Si (^8 8 ) m n m p p m 0,
Halle
4n 2p
4m 2n
m n 1 W m p 1
m, np R
A)mnp B)1 C) (^) mnp D) E)
1 2
m np
EJERCICIOS
3.
4. Si: x y z 0 ,
6 6 6 halle
, x,y,z R 0 xy xz yz
9 xyz x y z W
4 3
A) 16 ^1 B) 32 C) 18 D) 16 E) 8
5. Six b c a
y c a b
z a b c
Halle:
b c a c a b a b c a b c
xyz xyz xyz W
2 2 2
A)
y
x B) b ca C) (^2) y (^) z D)
abc
1 E) 1
6. Simplificar:
5
4
4 4
8 2 1
8 2 1 8 2 1 W
A) 343 B) 42 C) 32 2 D) 8 2 E) 32
7. Sixy 3 x y,
1 1 halle
(^) (^22)
(^422)
4 x y
x y 3 xy W
A) 11 B)7 C)- 6 D)4 E)
8. Simplificar:
n 3 2 2 4 8
32 2 4 8 128
1 2 12 12 12 1 ...n fact
W
A) 0,5 B)2 C)
D) 0,25 E)
9. Operar: 3 3 33
27 1 33
27 W 1
A)1 B)2 C)3 D) 2 7 E) 2 3
10. Siab ac bc 1
1 1 1
,
Halle:
a 1 b 1 c 1
a 1 b 1 c 1 W
a, b,c 0
A)1 B)- 1 C)2 D)
abc
E)
1 2
11. Si 1 a xa y 1 a z a x y z 1 1
,
Halle:
1 1 1 x y z , x,y,z 0
A) a B)
1 a
C)
1 a
D)
2 a E)
12. Simplificar: W x 1 x 1 x 1 x 1 ... 2 2 2 2 4 2
x 1 1 x 2
2 2048 2 1024
A)1 B) 0 C)
11 2 D)- 2 E) 4096
13. Sin a b c 4 ab bc ac
4
a b c ab ac bc
2 2 2
y :
2 2 2
a b c 8
Halle: n, abc
A) 22 B)
2
2 C)2 D)4 E)
14. Operar:
(^3 ) W abc abc 6 bac b Si: b = 0,
A)1 B)2 C)
4
1 D)
16
1 E)
4
3
16
15. Sia b c 0 ;a,b c 0 ,
1 1 1
Halle:
4
4 4 4
a b c
a b c 4 abca b c E
A) ^4 abc B)4abc C)1 D)2 E)abc
16. ¿Cuál es el intervalo de valores de “”, de modo que la
ecuación
2 2 x 2(1) x 8 0, tenga raíces de distinto
signo?
A)
, 2
1 B) 2 ; C) ; 2
D) 6 ; 2 E) 8 ;
17. Los valores de “x” que satisfacen la ecuación:
2 x 13 x 3 x 6 tiene^ la^ propiedad^ que^ su
suma es:
A)- 14 B)- 7 C)- 9 D)- 2 E)
18. Sea A la suma de las raíces de 0
2 (^) ax bxc y B la
suma de las raíces a 1 1 0 2 (^) x bx c , entonces B-A es:
A)- 2 B)- 1 C)0 D)1 E)
19. En la ecuación cuadrática: 0
2 ax bxc
Afirmamos:
I. Si la suma de sus raíces es igual a su producto, entonces b+c=0.
II. Si una raíz es la negativa de la otra, entonces b=0.
