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ESPACIOS VECTORIALES^ ^ Definición y conceptos básicos sobre sistemas de vectores^ ^ Coordenadas respecto de una base^ ^ Subespacios vectoriales^ ^ Operaciones con subespacios^ 0. INTRODUCCIÓN
Un espacio vectorial (e.v.) es un conjunto en el que podemos
sumar y multiplicar por constantes con las propiedades que “normalmente” manejamos. A los elementos de dicho conjunto los llamaremos
vectores
Las^ constantes
son^
elementos
de^ un
cuerpo
K^ (normalmente
R^ o^
Z)^ y^ p
las
denominaremos
escalares
2
1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADESDefinición Axiomática.
Un^ espacio vectorial V
sobre^ un cuerpo K
es una terna
(V, +,^ ) K
donde:
^ + es una operación interna en V, es decir,
+: V^ ^ V
^ V es una aplicación. (SUMA)
^ es una operación externa de K sobre V, es decir,K^
: K^ ^ V^ K
V es una aplicación. (PRODUCTO POR ESCALAR)
que verifican los axiomas siguientes:1) (V, +) es un grupo conmutativo: (“propiedades habituales” de la suma)^ -^ Asociativa
: ( u^ +^ v ) +
w^ =^ u^ + ( v
+^ w )^ para todo
u ,^ v ,^ w^ ^
V.
-^ Elemento neutro
: existe 0V
^ V tal que
u^ + 0= 0V^
+^ u^ =^ u^ V para todo
u^ ^ V.
-^ Elemento opuesto
: para todo
u^ ^ V existe
u^ ^ V tal que
u^ + ( u ) = (
u ) +^ u^ = 0
.V
-^ Conmutativa
:^ u^ +^ v^ =^
v^ +^ u^ para todo
u ,^ v^ ^ V.
“Propiedades habituales” con la operación externa (se puede “sacar factor común” tanto de los vectores como de los escalares):2) 1^ v^ =K^
v^ para todo
v^ ^ V.
- ( a^ b )^ ^ v
=^ a^ ^ ( b^ ^ v
) para todo
v^ ^ V y para todo
a ,^ b^ ^ K.
4)^ a^ ^ ( v^ +
w ) =^ a^ ^ v
+^ a^ ^ w^ para todo
v ,^ w^ ^ V y para todo
a^ ^ K.
- ( a^ +^ b )
^ v^ =^ a^ ^ v
+^ b^ ^ v^ para todo
v^ ^ V y para todo
a ,^ b^ ^ K.
3
Dado un cuerpo
K^ (R^ o
Z),^ los e.v. con los que trabajaremos serán: p n (K, +, ) paraK
n^ ^ N
n^ * : K= { ( x , ...,^ x^1
)^ /^ x , ..., n^1
x ^ K } n^
, ...,^ x ) + ( n
y , ...,^ y^1
) = ( xn^1 +^ y , ..., 1
x +^ yn^ n
)^.
:^ a^ ^ K^
( x , ...,^1
x ) = ( axn
, ...,^ ax 1
)^ para todo n
a^ ^ K.
^ K[ x ], n
para^
n^ ^ N, K
[ x ] = { n a +^ a^0
x^ +...+^
n^ ax /^ an K para i
i^ = 0, ...,
n } , es decir, los
polinomios de grado menor o igual que
n ,^ con coeficientes en K
, con la suma de
polinomios y producto por escalares habituales.Otros: K[ x ] = {
a +^ a^0
x^ +...+^
n^ ax /^ an ^ K para i
i^ = 0,...,
n^ y^ n
N} , conjunto de los
polinomios
de cualquier grado, con coeficientes en el cuerpo K,
con la suma de polinomios y
producto por escalares habituales. M(K) : conjunto de las n^ ^ m^
matrices de tamaño
n^ ^ m , con coeficientes en el cuerpo
K , con la suma de matrices y producto por escalares habituales.
4
2.^ SISTEMAS DE VECTORES Sistema de vectores de un e.v.
V^ es cualquier subconjunto {
u , ...,^1
u }^ ^ V. r^
Veremos los siguientes conceptos básicos:^ ^ Combinación lineal de vectores^ ^ Sistema de generadores de un e.v.^ ^ Dependencia e independencia lineal entre vectores / sistemas libres o ligados^ ^ Base de un e.v.^ ^ Dimensión de un e.v.
5
En adelante:^ ^ V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K.^ ^ Si en K
n^ tenemos los vectores: 1 2
1 11
12 1
2
21 22
2
1 2
(^ ,^ , ...,
),^
(^ ,^
, ...,^ ),
(^
,^ , ...,
(^
,^ , ...,
r^ r^
r^ r
n^
n^
n^
n
v^ v^
v^ v
u^
u^ u^
u^ u^
u^ u^
u^
u^ u^
u^ u
^
^
^
denotamos por
rango(
u ,...,^ u^1
) = r
1 2 2
1 1 1 :^ : ...^1
n : n r^ r^
r u^ u^
u rango
u^ u^
u ^
^
^
^
^
1 1 2
1 1 2 :^ : ... 1
r : nrn n u^ u^
u rango
u^ u^
u ^
^
^
^
^
y^ rango(
u,..., u^1
,^ v ) = r
1 211 12 1 2
...^1
...^ ...
...^
n ... ... n ... r^ r^
r n u^ u^
u
rango
u^ u v^ v^
u v ^
^
^
^
^
^
11 1
1 (^21 1) :.^2
:^ ..^ : n r n u^ u^ u^ n^ rn
v r ngo
u^ u^
u^ v ^ a
^
^
^
^
Observación:
se puede hallar por filas o por columnas según interese en cada caso.
6
Definición: v^ ^ V es una
combinación lineal
de los vectores
u , ...,^1
u ^ V r^
si existen escalares
c , ...,^1
c ^ K tales que r^
v^ =^ c
u + ... + 11
cu. rr^
Criterio para verificar si v es combinación lineal de otros vectores en K
n^ :
n^ v K es una
combinación lineal
de^ u , ...,^1
u ^ K r^
n
^ rango(
u,..., u^1
) = rango( r
u,..., u^1
,^ v ) r
Justificación: n^ v^ ^ K
es una combinación lineal de
u , ...,^1
u ^ K r^
n^ si el sistema de ecuaciones lineales
cu + ... +^11
cu =^ v rr^
, cuyas incógnitas son
c , ...,^1
c ^ K, tiene solución, pues r^
rg (A) = rg (A|B)
^ rango(
u,..., u^1
) = rango( r
u,..., u^1
,^ v ) r
Ejemplo 2, Problema 3.1.
(se puede estudiar con distintos K)
7
Definición
.^ El conjunto {
u , ...,^ u^1
}^ ^ V es un r
sistema de generadores de V
si
cualquier vector de V es combinación lineal de los vectores
u , ...,^1
u. r^
Criterio para verificar si
{ u , ...,^1
u }^ es sistema de generadores de Kr
n^ :
{ u , ...,^1
u }^ ^ K r
n^ es^ sistema de generadores de
n K
^ rango(
u,..., u^1
) =^ n r
Justificación: Será sistema de generadores si el sistema de ecuaciones lineales
cu + ... +^11
cu =^ rr^
v^ ,
cuyas incógnitas son
c , ...,^1
c ^ K tiene solución r^
sea cual sea el valor de
n v K
Si^ rango(
u,..., u^1
) =^ n , también se verifica que rango( r
u,..., u^1
, v )=n, (pues es el mayor r
valor que pueden tomar dichos rangos).Si rango(
u,..., u^1
) <^ n , podemos encontrar r
v^ tal que rango(
u,..., u^1
, v )^ ^ rango( r
u,..., u^1
). r
Ejemplo 3, Problema 3.
8
Notación:
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
u , ...,^1
u , r
lo denotaremos por
L( u , ...,^1
u )^ = {^ r
cu + ... +^11
cu /^ rr^
c , ...,^ c^1
^ K }. r
Si {u, ..., u^1
} es sistema de generadores de V, se verifica que V= L(ur
, ..., u 1 r ), y diremos
que V es un e.v.
finitamente generado
Ejemplos:
n^ K, K [x] , Mn
son e.v. finitamente generados:nxm
n^ - K= L ((1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1))
(al menos n vectores)
-^ K[x] = L(1, x, xn^
2 n, ..., x
) (al menos n+1 polinomios)
-^ Mnxm
= L(
0 0
0
0
0 0
0
1
1
1
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
,^
,^ ,^
, ... ,
0 0
0 0
0 0
0
0
0
(^0 )
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^
^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^ ^
^ ^
^
^ ^
^
^
^
(al menos nxm matrices) Sin embargo, K[x] no es finitamente generado.
13
Criterio para verificar si
{ u , ...,^1
u }^ es base de Kr
n^ :
{ u , ...,^1
u }^ ^ K r
n^ es^ base de
n^ K rango(
u,..., u^1
) =^ n^ = r
r
Ejemplos 10,11,12. Problemas 3.3, 3.
rango( u
,..., u )= 1 r
r =^ n nº de vectores
=^ dim(V)
rango(
u,..., u^1
)=^ r^ ^ r n
nº de vectores
^ dim(V)
rango(
u,..., u^1
)=^ n^ r r
dim(V)
^ nº de vectores
Sistemaslibres en V
Sistemas degeneradoresde V
Bases de V
14
Proposición.
Sea B = [
e^ , ...,^1
e^ ] una base de V y sea n
v^ ^ V. Entonces:
existen
c , ...,^1
c ^ K, y son únicos, tales que n^
v^ =^ c
e^ + ... + 1 1
ce^. n^ n
Los escalares
c se llaman i^
coordenadas de
v^ respecto de la base B
y lo notaremos:
v^ =^ ( c
, ...,^ c 1
). n B
Ejemplos:^ ^ En K
n^ , con la base canónica B
= [(1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1)],c
se verifica que
v^ = ( x^1
, x, … , x^2
) = ( xn 1 , x, … , x^2
) n Bc
^ En K
[ x ] , con la base canónica B n
= [1,^ x c
(^2) , x , ..., n^ x ],
se verifica que
p(x)^ =
n^ ax + … + n
ax^ +^^1
a = ( a^0
, a, … , a 01
) n Bc
15
^ En M
(K) , con la base canónica n m B =c 0 0
0
0
0 0
0 0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
,^
,^ ,^
, ... ,
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1
1
(^10)
(^1)
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^
^
^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^ ^
^
^
^
^
11 12
1 21 22
2
11 12
1 21
2
1
1 2
,^ ,...,^
,^ ,...,^
,...,^ ,...,
c
m m
m^
m^ n^
nm
n^ n^
nm
B
a^ a^
a a^ a^
a A^
a^ a^
a^ a^
a^ a
a
a^ a^
a ^
^
^
^
^
^
^
^ ^
^
16
Para hallar las coordenadas de un vector v de K
n respecto de una base B=
[ e , ...,^1
e ]^ de Kn^
n^ :
Resolver el sistema de ecuaciones
xe + ... +^11
xe =nn^
v^ … … y se obtiene
v^ = (^ x
, ... ,^1
x )n^ B
En forma matricial:
11 21
11 21
12 22
12 22
1 2
1
1
2
2
1 2
1
1
1
2
2 ...^
...^
...^
...^ ...^
...^ ...^
...^ ...^
...^
..^
...^
c n 1^ n
n 1
n^
n
n^ n^
nn^
n^ n^
n
n^ B
n
n B^
B
x^
x
e^ e^
e^
e^ e^
e
e^ e^
e^
e^ e^
e
e
x
v^
v
v
e^
e^
e
v x^
e x^
e
x^
v
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
1 2
c
c
n
n^
B^
B B
B
v^
v
e
v
e^
e^
v
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^
^
^
^
Ejemplos 13. Problemas 3.5 y 3.
17
Propiedades. Si dim V =
n^ y B = [
e , ...,^ e^1
] es una base de V, entonces: n
a) 0= (0,..., 0)V^
.B
b) Si^ u^
= ( c , ...,^1
c ),^ vn B^
= ( d , ...,^1
d )y n B^
a^ ^ K, entonces:
u^ +^ v^ = (
c +^ d , ...,^1
c +^ dn^ n
)B
a^ ^ u^ = (
ac , ...,^1
ac ) n B
c)^ e^ = (0,..., i^
1 , ..., 0)^ i^
paraB i^ {1, ...,
n }.
^ En K
[ x ] , con la base canónica B 5
= [1,^ x c
(^23) , x ,^ x 4^5 , x ,^ x^
],
se verifica que
x^ = (0,
(^4) , x (^) Bc
1 ,0)Bc
18
Observación: Si trabajamos en cualquier e.v. de dimensión
n^ con coordenadas respecto de una
base, es equivalente a lo que haríamos en
n^ K.
Ejemplos:^ ^ En K
[ x ] , con la base canónica B 3
= [1,^ x c
2^3 , x ,^ x^ ], podemos trabajar como en K
Si^ p(x)
(^3) = 2x ^4 x^ + 1 y
q(x)^ =
(^2) 3x +^ x^ ^ 2:
-^ p(x)^
(^3) = ( 2x ^4 x^ + 1)+5 (
(^2) 3x +^ x
^ 2)=^
(^3) 2x +^15 (^2) x + x^
-^ con coordenadas:
p(x)^ = (1,
^ 4,0,2)
y^ q(x) Bc^
= (^ 2,1,3,0)
, se tiene: Bc^
p(x)^ + 5
q(x)^ = (1,
^ 4,0,2)
^ 2,1,3,0)
= ( Bc^
, que es Bc^
(^ 9,1,15,2)
=^ ^ Bc^
9 1+1 x
(^2) +15 x 3 + 2 x^
que es el mismo resultado.
19
^ En M
(K) operamos de forma similar a K 2 3
- Consideramos la base usual:
B=^ c^
,^
,^
,^
,^
^
^
^ ^
^ ^
^
^
^
^
^
^ ^
^ ^
^
^
^
^
^ ^
^ ^
^
^
^
^
Si^
A^
B^
^
^ ^
^
^
^ ^
^
^ ^
-^ A^ + 5
B^ =^
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^ ^
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
-^ con coordenadas:
A^ = (1,0,2,0,3,0)
y^ B Bc^
2,0,^
3)^ , se tiene: Bc^
A^ + 5^ B
1,0,^
2,0,^ 3)
= (1, Bc^
5,2,^
10,3,^
15)^ Bc^
y
15)^ Bc
^15
^
^
que es el mismo resultado.
20
Por tanto, en cualquier e.v.
se pueden aplicar los criterios para sistemas
de generadores e independencia lineal vistos en K
n.
Notación:
Si B es una base de un e.v. V cualquiera y tenemos los vectores: 1 2
1 11
12 1
2
21 22
2
1 2
(^ ,^ , ...,
) ,^
(^ ,^
, ...,^ ) ,
(^
,^ , ...,
(^
,^ , ...,
B^
B^
B^
B
n^
n^
n^
r^ r^
r^ rn
v^ v^
v^ v^
u^ u^
u^ u
u^
u^ u^
u^
u^ u^
u^ u
^
^
^
denotamos por
rango(
u ,...,^ u^1
) = r
1 2 2
1 (^1 1) :^ : ...^1
n : n r^ r^
r u^ u^
u rango
u^ u^
u ^
^
^
^
^
1 1 2
1 (^1 2) :^ : ... 1
r : nrn n u^ u^
u rango
u^ u^
u ^
^
^
^
^
y^ rango(
u,..., u^1
,^ v ) = r
1 211 12 1 2
...^1
...^ ...^
n ... ... ... n ... r^ r^
r n u^ u^
u
rango
u^ u v^ v^
u v ^
^
^
^
^
^
11 1
1 (^21 1) :.^2
:^ ..^ : n r n u^ u^ u^ n^ rn
v r ngo
u^ u^
u^ v ^ a
^
^
^
^
4. CAMBIOS DE BASE
4.1. Conocemos las coordenadas de un vector respecto de la base B Cambios de coordenadas en una base canónica y otra base cualquiera de un e.v. V
y queremos hallar sus coordenadas en la base canónica Bc.
Ejemplo 1: base B = [(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0,0,1)]. En el espacio vectorial R^3 , se consideran la base canónica Bc = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] y la
Si u= (1,1,1)B , se quieren hallar sus coordenadas en Bc.
Por la definición de coordenadas, se tiene:
u= (1,1,1) B u = 1 (1, 1, 0) + 1 (0, 1, 1) + 1 (0, 0, 1) = (1,2,2) u =(1,2,2) Bc
(En un e.v. K n , las coordenadas en Bc coinciden con las del propio vector.)
En general, consideramos Vcualquiera B = [ u 1 , u 2 , ..., un ], tal que: e.v. con dim V = n , Bc = [ e 1 , e 2 ,..., en ] la base canónica de V y otra base
u^ u 21 == (( u^ u 21^11^ ,, uu^1222^ , ...,, ...,^ uu^12 nn^ ) )^ B Bcc
u^ ................................n = ( un 1 , un 2 , ..., unn ) Bc
Por definición de coordenadas respecto de una base, se tiene: v = ( x
1 ,^ x 2 ,...,^ x^ n )^ B ==^ x x 11 u ( 1 u + 11^ , x u 2 u 12 2 , ..., + ... + u 1 n^ ) Bxc^ n u + n = x 2 ( u 21 , u 22 , ..., u 2 n ) Bc + ... + x n ( un 1 , un 2 , ..., unn ) Bc
Como buscamos las coordenadas deanterior y se tiene : v respecto de Bc , igualamos v = ( y 1 , y 2 ,..., yn )Bc con la expresión
x 1 ( u 11 , u 12 , ..., u 1 n ) Bc + x 2 ( u 21 , u 22 , ..., u 2 n ) Bc + ... + x n ( un 1 , un 2 , ..., unn ) Bc = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) Bc
Estas operaciones, las podemos expresar en forma matricial:
1211 2122 12 1 2
. n^ B^ c
nn n n nn n B
xx
x
yy
y
uu uu uu
u u u
En las columnas: vectores de B expresados en coordenadas respecto de B ^ ^ ^ c
Se llama expresión matricial del cambio de base de B a Bc y se representa por M XB = XBc.
Ejemplo 2: En el caso anterior, en R^3 , con Bc y la base B = [(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0,0,1)].
La expresión matricial de cambio de base de B a Bc es:
(^12 ) 3
0 1 1 3 B Bc
xx yy
x y
Coordenadas de los vectores de B respecto de B ^ ^ c
Si u= (1,1,1)B , para hallar sus coordenadas en Bc podemos utilizar la expresión anterior:
B B c
^ u^ = (1,2,2)^ Bc
Conocemos las coordenadas de un vector respecto de la base By queremos hallar sus coordenadas respecto de otra base B. c
Ejemplo 3: hallar las coordenadas del vector Consideramos de nuevo w = (1,2,3) respecto de la base B. R 3 , con Bc y la base B = [(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0,0,1)]. Ahora, queremos
Si lo hacemos por latendremos la siguiente igualdad: definición de coordenadas , tendremos que si w = (1,2,3) y w = ( x 1 , x 2 , x 3 ) B
y para hallar las coordenadas de^ w^ = ( x^1 ,^ x^2 ,^ x^3 w )^ B respecto de B habría que resolver el sistema:^ ^ x^1 (1, 1, 0) +^ x^2 (0, 1, 1) +^ x^3 (0, 0, 1) = (1,2,3)
11 2 12
3 2 w 2)^ B
xx x xx
x x x
^
En este caso, es sencillo resolverlo, pero en otros casos no lo será tanto.Para “automatizar” el proceso, utilizaremos la expresión matricial del cambio de base.
En el Ejemplo 2 , vimos que la expresión matricial de cambio de base de B a Bc era:
(^12 ) 3
0 1 1 3 B Bc
xx yy
x y
En este caso, sabemos que w = (1,2,3) (es decir, conocemos las coordenadas en B^ ^ ^ ^ ^ c de w = (1,2,3)Bc y
desconocemos sus coordenadas respecto de B, ( x 1 , x 2 , x 3 ) B.
Si sustituimos en la expresión matricial anterior, tendremos:
0 1 1 3 B 3 Bc
xx
x
Si conocemos las coordenadas de un vectory queremos hallar sus coordenadas en otra base B v en una base B 12 (distinta de la canónica)
Ejemplo 4: En R^3 , consideramos las bases:
B 1 = [(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0,0,1)] y B 2 = [(0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1)]
y queremos hallar las coordenadas del vector u = (1,1,1)B1 respecto de la base B 2.
Si lo hacemos por la definición de coordenadas , tendremos que:
u =u = ((1,1,1) x 1 , x 2 , B1 x 3 ) B u = 1 (1, 1, 0) + 1 (0, 1, 1) + 1 (0, 0, 1) = (1,2,2) u = x 1 (0, 1, 0) + x 2 (1, 1, 0) + x 3 (0, 1, 1)
Igualando ambas expresiones, llegaremos a un sistema de ecuaciones y al resolverlo obtenemos lascoordenadas que buscamos:
x 1 (0, 1, 0) + x 2 (1, 1, 0) + x 3 (0, 1, 1) = (1,2,2) ^ x 1 xx^22^ xx 33 ^122 xxx^123 122 u ( 2,1, 2 ) B 2.
En este caso, es sencillo resolverlo, pero en otros casos no lo será tanto.Para “automatizar” el proceso, utilizaremos la expresión matricial del cambio de base.
Sabemos que las expresiones matriciales de dichas bases respecto de la canónica son:
110 011 100 X B 1 X B c y 010 110 101 X B 2 XBc
Si las igualamos las coordenadas en Bc, tenemos: ^110 011 001 ^ X B 1 ^010 110 110 XB 2.
En este caso, queremos hallar las coordenadas respecto de B 1 2 , por lo que despejamos X B 2 :
010 110 011 110 110 001 X B 1 X B 2 hallandoinversa ymultiplicando 100 011 112 X B 1 XB 2
^ ^ ^ ^ ^ ^
Esa expresión será la La utilizamos para hallar las coordenadas de expresión matricial del cambio de base de B u= (1,1,1) 1 a B 2.
B1 en la base B 2 :
100 011 112 ^111 B 1 122 B 2 u ( 2,1, 2 ) B 2
Resumiendo:Si en un e.v. V, tenemos:
una base canónica Botras bases B 1 , B 2 c
MM 12 es la matriz que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de Bes la matriz que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de B 12 respecto de Brespecto de Bcc
Entonces:
A partir de las expresiones matriciales de cambio a BLa expresión matricial del cambio de B 1 a B 2 se obtiene despejando Xc, se verifica: XBc = M B2 : (M 1 XB1 2 ) -1= M M 12 XXB1B2 = XB
La expresión matricial del cambio de B 2 a B 1 se obtiene despejando XB1 : (M 1 ) -1^ M 2 XB2 = XB
Además, se verifica que: las columnas de la matriz (M 2 ) -1 M 1 son las coordenadas de los vectores de B 1 respecto de B 2
las columnas de la matriz (M 1 ) -1^ M 2 son las coordenadas de los vectores de B 2 respecto de B 1
Ejemplo 5: En R^3 , consideramos las bases:
B 1 = [(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0,0,1)] y B 2 = [(0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1)]
La expresión matricial de cambio de base de B 2 a B 1 se obtiene de la siguiente forma:
Partimos de las expresiones matriciales de cambio de ambas bases a la Bc y las igualamos:
X B c ^110 110 001 ^ X B 1 ^010 110 011 XB 2
Despejamos X B 1 : X B 1 ^110 011 001 ^ ^1 ^010 110 011 XB 2
Operando, obtenemos la expresión matricial del cambio de B 2 a B 1 : X B 1 ^ ^ ^011 100 010 XB 2
En esa expresión matricial, las columnas de la matriz obtenida son precisamente las coordenadas de losvectores de la base B 2 respecto de la base B 1 :
11 2 2 1
B^ B B
columnacolumna segundo vector de Bprimer vector de B
columna
0,1) (0,1,1) ( tercer vector de B 2 )
