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Tema 2
Vectores y matrices
Guillermo Peris Ripoll´es
Objetivos
Cuando finalice este tema, el alumno deber´a ser capaz de:
Definir vectores y matrices con Octave.
Comprender y utilizar la notaci´on de dos puntos para la creaci´on de listas.
Controlar el acceso y modificaci´on de elementos y conjuntos de elementos de vectores y matrices.
Realizar operaciones escalares con matrices.
Conocer los distintos tipos de matrices predefinidas por Octave.
Aplicaci´on
Cuando finalice este tema, el alumno deber´a ser capaz de resolver problemas como el siguiente, cuya resoluci´on se indica a lo largo del propio tema.
Cin´etica de reacciones consecutivas
Algunas reacciones transcurren mediante la formaci´on de un intermediario, como en las reacciones consecutivas de primer orden A → B → C. Las ecuaciones que rigen estas reacciones, y que proporcionan la concentraci´on de cada especie en funci´on del tiempo t, son las siguientes:
[A] = [A] 0 e−k^1 t
[B] = k 1 [A] 0
{ e−k^1 t^ − e−k^2 t k 2 − k 1
}
[C] = [A] 0
{ 1 +
( k 1 e−k^2 t^ − k 2 e−k^1 t k 2 − k 1
)}
donde [A], [B] y [C] son las concentraciones de las respectivas especies, [A] 0 la concentraci´on inicial de A y k 1 y k 2 las constantes de velocidad. Escribe un programa que pida al usuario los valores de [A] 0 , k 1 y k 2 , y calcule las concentra- ciones de las tres especies en funci´on del tiempo. Comprueba el funcionamiento del programa cuando [A] 0 =1 mol/l, k 1 =0.1 s−^1 y k 2 =0.2 s−^1.
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
2-2 Vectores y matrices
- 2.1. Introducci´on 2- Contenidos
- 2.2. Vectores 2-
- 2.2.1. Acceso y modificaci´on de elementos de vectores 2-
- 2.3. Matrices 2-
- 2.4. Matrices predefinidas 2-
- 2.5. Operaciones con matrices 2-
- 2.5.1. Transposici´on 2-
- 2.5.2. Aritm´etica escalar 2-
- 2.5.3. Aplicaci´on de funciones sobre matrices 2-
- 2.6. Aritm´etica matriz-matriz 2-
- 2.6.1. Suma y resta 2-
- 2.6.2. Producto escalar 2-
- 2.6.3. Multiplicaci´on 2-
- 2.6.4. Determinantes 2-
- 2.6.5. Matriz inversa 2-
- 2.7. Aplicaci´on 2-
- 2.8. Ejercicios pr´acticos 2-
2-4 Vectores y matrices
Octave tambi´en tiene definida la funci´on linspace(inicial,final,elementos) que permite crear un n´umero determinado de valores (elementos) distribuidos homo- g´eneamente entre dos l´ımites (inicial y final). Dicho de otra forma, en lugar de especificar el intervalo entre elementos (como se hac´ıa con la notaci´on de dos puntos) se indica el n´umero de elementos que queremos. Por ejemplo,
s = linspace(0,10,6) s = 0 2 4 6 8 10
crea un vector de 6 elementos equiespaciados entre 0 y 10. Tambi´en en este caso se podr´ıa crear un vector de valores decrecientes cambiando el orden de los valores inicial y final:
s = linspace(10,0,6) s = 10 8 6 4 2 0
Ejercicios
b I 1 ¿Qu´e vectores crean las siguientes instrucciones? Pi´ensalo antes de obtener el resultado con Octave.
a) [1:9] b) [-1:9] c) [1:2:9] d) [1:0.5:9]
e) [1:3:9] f) [9:-2:1] g) [9:-3:1] h) [9:-3:-1]
b I 2 Utiliza la funci´on linspace para crear los vectores del ejercicio anterior.
2.2.1. Acceso y modificaci´on de elementos de vectores
En ocasiones, nos interesa acceder a elementos determinados de un vector previamente definido, o bien modificar dichos elementos. Para ello, Octave permite el uso de ´ındices (expresados entre par´entesis), de forma que t(1) ser´ıa el primer elemento de t, t(2) el segundo, etc. Veamos un ejemplo:
t = [6 1 -1 12 4.4 -2.36 2 0.87 48 9 0] ; t(1) ans = 6 t(6) ans = -2.
Tambi´en puede utilizarse la notaci´on de dos puntos para acceder a un conjunto de elementos, en cuyo caso el resultado es un nuevo vector.
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2.2. Vectores 2-
r = t(1:3) r = 6 1 - s = t(10:-1:7) s = 9 48 0.87 2
En el ejemplo anterior, el vector r incluye los elementos de las posiciones 1-2-3 de t, y el vector s los elementos de las posiciones 10-9-8-7, en ese orden. De hecho, es posible acceder a elementos cualesquiera y en cualquier orden del vector mediante el uso de una lista de elementos. Por ejemplo, en las siguientes l´ıneas se crea un nuevo vector u eligiendo los elementos de las posiciones 3, 8, 1 y 6 de t, en este orden:
u = t([3 8 1 6]) u = -1 0.87 6 -2.
Mediante esta selecci´on de elementos de un vector, tambi´en podemos modificar vectores ya creados, mediante ´ordenes de asignaci´on. A continuaci´on se muestra un ejemplo a partir del vector t:
t(1) = 2 t = 2 1 -1 12 4.4 -2.36 2 0.87 48 9 0 t(4:6) = [5 4 3] t = 2 1 -1 5 4 3 2 0.87 48 9 0 t([11 7 10 8 9]) = [0 1 2 3 4] t = 2 1 -1 5 4 3 1 3 4 2 0
Fij´emonos en que en algunas de las instrucciones anteriores se realizan asignacio- nes m´ultiples. As´ı, en la segunda instrucci´on se asignan simult´aneamente 3 valores a 3 posiciones del vector t, mientras que en la tercera se realizan 5 asignaciones. Obvia- mente, si el n´umero de elementos a ambos lados del operador de asignaci´on es distinto, Octave no realizar´a ninguna asignaci´on, indic´andolo con un error.
t(4:6) = [5 4 3 2] error: A(I) = X: X must be a scalar or a vector with the same length as I ...........
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2.3. Matrices 2-
A = [1 2 3 4
9 10 11 12]
A =
La funci´on size aplicada sobre una matriz (o vector) devuelve un vector de dos componentes con sus dimensiones en filas y columnas:
size(A) ans= 3 4
Podemos acceder a los elementos individuales de esta matriz indicando entre pa- r´entesis la fila y columna del elemento separadas por comas. As´ı,
A(2,3)
ans = 7
De nuevo, la potente notaci´on de dos puntos de Octave puede utilizarse para crear submatrices a partir de una matriz original. Considera los siguientes ejemplos, en los que se utiliza la matriz A definida anteriormente:
b = A(2:3,3) b = 7 11 c = A(3,:) c = 9 10 11 12 d = A([2 3],[2 4]) d = 6 8 10 12
En la primera expresi´on, se crea un nuevo vector columna b tomando de las filas 2 y 3 los elementos de la tercera columna. En la segunda orden, utilizamos el operador ’:’ sin n´umeros que lo delimiten para indicar que nos interesan todos los elementos de la fila 3 de A. Por ´ultimo, en la expresi´on final creamos una nueva matriz tomando los elementos de las posiciones 2 y 4 de las filas 2 y 3.
Al igual que se vi´o en el caso de vectores, tambi´en podemos modificar los elementos de una matriz con la instrucci´on de asignaci´on =, siempre que las dimensiones a ambos lados del signo igual sean las mismas:
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2-8 Vectores y matrices
A([2 3],[2 4]) = [0 1; 2 3]
A =
Por ´ultimo, tambi´en podemos construir nuevas matrices yuxtaponiendo matrices ya existentes, siempre que ´estas tengan las dimensiones adecuadas. F´ıjate en los si- guientes ejemplos:
X = [1 2 ; 3 4]
X =
Y = [5 6 ; 7 8]
Y =
Z = [3 4 5 6 ; 7 8 9 10]
Z =
B = [X Y]
B =
C = [X ; Y]
C =
D = [X Z]
D =
E = [X ; Z]
error: number of columns must match (4 != 2)
Ejercicios
I 5 Define con Octave las siguientes matrices y comprueba sus dimensiones con la funci´on size.
A =
[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
] B =
1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12
C =
- 6 1. 5 2. 3 − 0. 5
- 2 0. 5 − 0. 1 − 2. 0
- 7 8. 2 9. 0 1. 5
- 5 0. 5 2. 4 0. 5
- 2 − 2. 3 − 4. 5 0. 5
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2-10 Vectores y matrices
A = ones(3,2) A = 1 1 1 1 1 1
Matriz identidad : La funci´on eye crea una matriz en la que todos los ele- mentos son ceros a excepci´on de los elementos diagonales (aquellos en que los ´ındices de filas y columnas son iguales) que son unos. A esta matriz se le conoce como matriz identidad y se denota matem´aticamente como I. Los argumentos de esta funci´on son similares a los de las funciones anteriormente definidas. Aun- que, formalmente, las matrices identidad son cuadradas, esta funci´on de Octave permite la creaci´on de matrices identidad rectangulares.
A = eye(3) A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B = eye(3,2) B = 1 0 0 1 0 0 C = [ 1 2 3 ; 4 2 5] C = 1 2 3 4 2 5 D = eye(size(C)) D = 1 0 0 0 1 0
Matriz diagonal: Se denomina as´ı a aquella matriz en la que todos los elemen- tos extradiagonales son ceros, es decir, ´unicamente presentan valores distintos de cero los elementos de la diagonal. Octave nos permite crear una matriz dia- gonal a partir de un vector, que situa en la diagonal de la matriz. Para ello utilizaremos la funci´on diag como sigue:
X = [4 3 2 1];
Y = diag(X) Y = 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1
Por el contrario, si el argumento de la funci´on es una matriz, diag extrae el vector que contiene los elementos diagonales:
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2.5 Operaciones con matrices 2-
A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =
diag(A) ans = 1 5 9
Matriz aleatoria: La funci´on rand(n) crea una matriz de dimensi´on n × n con elementos aleatorios distribuidos uniformemente entre 0 y 1, mientras que con dos argumentos (rand(m,n)) crea una matriz de dimensiones m × n.
A = rand(4,5) A = 0.722684 0.678103 0.228702 0.648577 0. 0.336018 0.976399 0.458428 0.525437 0. 0.651192 0.483592 0.744526 0.952700 0. 0.464437 0.166825 0.163426 0.568459 0.
Ejercicios
I 7 Haciendo uso de las funciones vistas hasta ahora, define las siguientes matrices:
a)
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
b)
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
c)
7 0 0 0 0 9 0 0 0 0 11 0 0 0 0 13
d)
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
b I 8 Dada una matriz A cualquiera, ¿a qu´e es igual la operaci´on diag(diag(A))? Para comprobar tu respuesta, apl´ıcalo a una matriz A aleatoria de dimensiones 3 × 3 creada con la funci´on rand.
2.5. Operaciones con matrices
2.5.1. Transposici´on
La matriz transpuesta de una matriz A de dimensi´on m × n es una matriz de n × m en la que el elemento (i, j) ha pasado a la posici´on (j, i), o dicho coloquialmente, se han intercambiado las filas y columnas de A. Por ejemplo, la matriz transpuesta de
[
]
es
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2.5 Operaciones con matrices 2-
La matriz B se construye multiplicando por 2 cada uno de los elementos de A, mientras que C se define restando 2 a los elementos de B.
Pero, ¿qu´e ocurre si queremos multiplicar dos matrices de dimensiones semejantes elemento a elemento?. En ese caso no podemos utilizar el operador ’*’, ya que ´este realizar´ıa un producto matricial (explicado en una secci´on posterior), cuyo resultado ser´ıa distinto al esperado. En general, para realizar operaciones escalares con matrices utilizaremos los operadores antecedidos de un punto. Para entenderlo mejor, vamos a seguir una serie de ejemplos utilizando vectores:
A = [2 5 6] ;
B = [2 3 5] ;
C= A.*B
C =
D = A./B
D =
Las sumas y restas de matrices (siempre que sus dimensiones sean las mismas) se consideran en el algebra matricial como operaciones elemento a elemento (al con- trario que las multiplicaciones y divisiones) por lo que, aunque podemos utilizar los operadores .+ y .-, el punto no es necesario.
A + B
ans = 4 8 11 A - B ans = 0 2 1
Tambi´en pueden realizarse exponenciaciones elemento a elemento, como se muestra en el siguiente ejemplo:
C= A.∧ 2
C =
D= 3.∧A
D =
E = A.∧B
E =
As´ı pues, en general, s´olo ser´a necesario anteceder el operador con un punto en el caso de multiplicaciones, divisiones y exponenciaciones cuando se pretenda realizar una operaci´on elemento a elemento.
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2-14 Vectores y matrices
Estas operaciones, adem´as de ser v´alidas para vectores, tambi´en lo son para ma- trices, como se observa en los siguientes ejemplos:
d = [1:5; -1:-1:-5] d = 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 - p = d.* p = 5 10 15 20 25 -5 -10 -15 -20 - q = d.∧ 3 q = 1 8 27 64 125 -1 -8 -27 -64 -
Ejercicios
I 9 Calcula los valores del vector C tras ejecutar las ´ordenes que se indican, utilizando los vectores A = [2 -1 5 0] y B = [3 2 -1 4]. Comprueba tus respuestas con Octave. a) C = B + A -3; b) C = A./B; c) C = A.∧B; d) C = 2A + A.∧B; e) C = 2.∧B + A; f) C = 2B/3.*A;
b I 10 Crea un vector x con los siguientes elementos: a) 1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , 1 / 5 , 1 / 6 b) 0, 1 / 2 , 2 / 3 , 3 / 4 , 4 / 5
2.5.3. Aplicaci´on de funciones sobre matrices
Las funciones matem´aticas de Octave actuan sobre las matrices del mismo modo que las operaciones escalares, es decir, se aplican elemento a elemento. Veamos un ejemplo:
x = pi*[0:0.1:0.9]; y = cos(x) y = Columns 1 through 5: 1.0000e+00 9.5106e-01 8.0902e-01 5.8779e-01 3.0902e- Columns 6 through 10: 6.1230e-17 -3.0902e-01 -5.8779e-01 -8.0902e-01 -9.5106e-
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2-16 Vectores y matrices
Utilicemos vectores y matrices concretos para entender mejor la acci´on de estas funciones.
v = [3 4 1 9 5 6] v = 3 4 1 9 5 6 M = [0.6 1.5 2.3 -0.5 ; 8.2 0.5 -0.1 -2.0; 5.7 8.2 9.0 1.5 ; ... 0.5 0.5 2.4 0.5 ; 1.2 -2.3 -4.5 0.5] M = 0.6 1.5 2.3 -0. 8.2 0.5 -0.1 - 5.7 8.2 9 1. 0.5 0.5 2.4 0. 1.2 -2.3 -4.5 0. max(v) ans = 9 max(M) ans = 8.2 8.2 9 1.
La funci´on max devuelve, al ser aplicada a un vector, el valor m´aximo del mismo, en este caso 9. Sin embargo, al tener como argumento una matriz devuelve un vector fila en el que cada elemento es el m´aximo de la columna correspondiente de la matriz original. La funci´on sum presenta un comportamiento similar con vectores y matrices, sumando las componentes de un vector y las componentes de cada columna en una matriz, como se muestra en el siguiente ejemplo:
sum(v) ans = 28 sum(M) ans = 16.2 8.4 9.1 0
La funci´on length calcula la longitud del vector, o sea, el n´umero de elementos que contiene. En el caso de una matriz, devuelve el n´umero m´aximo de filas o columnas, es decir, la dimensi´on de la matriz de mayor valor.
length(v) ans = 6
length(M) ans = 5
La funci´on mean calcula la media de los elementos del vector, es decir, la suma de sus elementos dividida por el n´umero de ellos. Esto se aplica sobre las columnas al tener como argumento una matriz.
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2.5 Operaciones con matrices 2-
mean(v) ans =
mean(M) ans = 3.24 1.68 1.82 0
Por ´ultimo, la funci´on sort ordena los elementos de un vector, mientras que en el caso de matrices ordena de forma independiente cada una de sus columnas.
sort(v) ans = 1 3 4 5 6 9 sort(M) ans = 0.5 -2.3 -4.5 - 0.6 0.5 -0.1 -0. 1.2 0.5 2.3 0. 5.7 1.5 2.4 0. 8.2 8.2 9 1.
Ejercicios
I 12 Determina las matrices devueltas por las siguientes llamadas a funci´on, verificando posteriormente tus respuestas con Octave. Deber´as definir previamente las siguientes variables:
w =
[ 0 3 − 2 7
] x =
[ 3 − 1 5 7
] y =
1 3 7 2 8 4 6 − 1 − 2
a) max(w) b) min(y) c) mean(y) d) median(w)
e) sort(2*w+x) f) sort(y) g) length(w) h) length(y)
I 13 En Octave, ¿es equivalente mean(x) y sum(x)/length(x)? Compru´ebalo con los si- guientes vector y matriz y trata de dar una explicaci´on a tus observaciones.
w =
[ 0 3 − 2 7
] y =
[ 1 3 7 2 8 4
]
b I 14 ¿C´omo calcular´ıas el valor m´aximo de entre todos los elementos de una matriz?
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2.6. Aritm´etica matriz-matriz 2-
antes del producto para convertirlo en un vector columna. Si no lo hubi´eramos hecho, habr´ıamos obtenido un mensaje de error^3 :
A*B
??? Error using ==>* Inner matrix dimensions must agree.
El producto escalar de dos vectores es muy importante en algebra vectorial y en f´ısica. Ejercicios
b I 15 A partir de los siguientes vectores, indica cu´ales de las siguientes operaciones son correctas, calculando su valor. A =
[ 5 3 − 1
] B = ones(1, 3) C =
[ 9 4 0
]
D = eye(1, 4) E =
[ − 1 3 − 5 7
]
a) AB b) AB’ c) BA’ d) AC’
e) B*C’
f) B*D’
g) E*D’
2.6.3. Multiplicaci´on
La multiplicaci´on de matrices no es una operaci´on elemento a elemento, es decir, no se efect´ua multiplicando los elementos correspondientes de las matrices operando. Si realizamos la multiplicaci´on C = A × B, el elemento cij no se calcula como aij × bij , sino como el producto escalar de los vectores correspondientes a la fila i de la matriz A y la columna j de la matriz B. En la figura 2.1 se muestra gr´aficamente esta operaci´on (^4). Aqu´ı se observa que si queremos multiplicar dos matrices A (m × n) y B (p × q), el n´umero de columnas de A debe coincidir con el n´umero de filas de B, es decir, n = p.
ij c fila i m
n
p
q
columna j m
q
= x
C = A x B
Figura 2.1: Multiplicaci´on de matrices.
Una forma sencilla de decidir si podemos multiplicar dos matrices es escribir las tallas de las dos matrices juntas. De esta forma, si las dos dimensiones interiores coinci- den, las matrices se pueden multiplicar y la dimensi´on de la matriz resultante coincide (^3) Podr´ıamos haber obtenido el resultado correcto utilizando la siguiente expresi´on: sum(A.*B). (^4) ¡Cuidado!. De esta definici´on se infiere que el producto de matrices no es conmutativo, es decir, A × B 6 = B × A.
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2-20 Vectores y matrices
con las dimensiones externas. Por ejemplo, supongamos que queremos multiplicar una matriz de 2 × 3 por otra de 3 × 3 (en ese orden). ︷ ︸︸ ︷ 2 × (^3) ︸︷︷︸ , 3 × 3
Al ser los dos n´umeros internos iguales, la multiplicaci´on es v´alida, y las dimen- siones de la matriz resultante son los n´umeros externos, es decir, 2 × 3. Consideremos las matrices siguientes:
A =
[
]
B =
El producto de estas matrices se realizar´ıa como sigue:
C = A × B =
[
]
[
]
[
]
En Octave, esta operaci´on se realizar´ıa de forma sencilla con el operador de multipli- caci´on:
A = [2 5 1; 0 3 -1];
B = [1 0 2; -1 4 -2; 5 2 1] ;
C = A*B
C =
D = B*A
??? Error using ==>* Inner matrix dimensions must agree.
Fij´emonos en que Octave no permite el producto B × A por no ser adecuadas las dimensiones de las matrices. Recordemos que si A es una matriz, A.∧ 2 es la operaci´on que eleva al cuadrado cada elemento de la matriz. Si queremos calcular propiamente el cuadrado de la matriz, es decir, AA, podemos ejecutar la orden A∧ 2. De este modo, A∧ 4 es equivalente a AAAA. Si tenemos en cuenta que en el producto de matrices el n´umero de columnas del primer operando ha de ser igual al n´umero de filas del segundo, deducimos que unicamente podemos obtener potencias de matrices cuadradas.´
B∧ 3
ans = 27 24 18 − 87 24 − 66 33 54 3
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