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UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS ESPACIO ACADÉMICO ALBEGRA LINEAL Y GEOMETRÍA VECTORIAL Documento de Lectura y Trabajo en Clase VECTORES EN Rn A Hermann G. Grassmann (1809-1877), se le atribuyen los primeros estudios sobre el algebra vectorial. La palabra vector proviene del latín y significa “el que conduce”. Los elementos fundamentales del análisis vectorial son los vectores y los escalares. Se usa la notación R para denotar la recta numérica que se asocia con el conjunto de números reales, R^2 para denotar el plano cartesiano y R^3 para el espacio ordinario en tres dimensiones. Vectores en el Plano Cartesiano. Escalares. Muchas aplicaciones trata con cantidades mensurables, tales como la temperatura, la longitud, la masa y la rapidez , que pueden describirse por completo mediante su
magnitud. Es frecuente llamar escalares a dichas cantidades para diferenciarles de
los vectores, es de aclarar que los escalares no son más que números reales acompañados de una unidad de medida. Ejemplo: 5,5 kg, 2,7 s, 400 °C y 7,8 km. Los números reales 0 y 1 también forman parte del conjunto de escalares. Vectores. Por otro lado, existen otras cantidades mensurables, como el desplazamiento, la velocidad, la fuerza y la aceleración , para cuya descripción es necesario plantear no sólo una magnitud, sino también una dirección. Estas últimas cantidades se denominan vectores.
Para describir dichas cantidades definimos el concepto de vector como el segmento
de recta 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ que va de un punto P a otro punto Q. Se llama a P el punto inicial u origen de 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ y Q se denomina punto terminal , fin o término del vector. Denotaremos los vectores con letras escritas en negritas, o con letras con una flecha
sobre ellas. Así, el vector 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ puede denotarse con A o con 𝐴.
La magnitud o longitud del vector se denota con: 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ , A, 𝐴o A
Recuerde que el sistema de los números reales puede visualizarse como una línea recta, L, que por lo regular se coloca en posición horizontal. Se elige un punto O en L, llamado origen ; éste corresponde al número 0. Se elige un punto A a la derecha de O, con el cual se fija la longitud OA como 1, y se especifica una dirección positiva. De esta manera, los números reales positivos se encontrarán a la derecha de O, y los negativos a la izquierda de O (vea la figura).
El número real x que corresponde al punto P se denomina coordenada de P, y el punto P cuya coordenada es x se denota mediante P(x). La recta L se denomina eje coordenado. Si P está a la derecha de O, su coordenada es la longitud del segmento OP. Si Q se encuentra a la izquierda de O, su coordenada es el negativo de la longitud del segmento OQ. La distancia entre los puntos P y Q con coordenadas a y b, respectivamente, es |b – a|. En la figura vemos que las coordenadas de los puntos B, C, D y E son, respectivamente, 3, −3, 1.5 y −4.5. La distancia entre B y C es |−3 – 3| = 6. La distancia entre A y B es |
- 1| = 2. La distancia entre C y E es |−4.5 – (−3)| = 1.5. Segmento de recta dirigido Sean P y Q dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q , denotado por 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ , es el segmento de recta que va de P a Q (vea la figura 4.1 a ). Observe que los segmentos de recta dirigidos 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ son diferentes puesto que tienen direcciones opuestas (figura 4.1 b ).
a) calor específico ____________________ b) momento _____________________ c) masa _______________________ d) velocidad ___________________ e) tiempo _________________ f) fuerza_________________ g) desplazamiento_________________ h) temperatura_________________ i) aceleración _________________ i) distancia _________________ j) longitud _________________ k) rapidez _________________ ACTIVIDAD 2. Calcule la magnitud de los vectores: a) v = (2, 2); b) v = (2, 2 √ 3 ); c) v = (- 2 √ 3 , 2); d) v = (-3, - 3); e) v = (6, - 6); f) v = (0, 3). ACTIVIDAD 3. Represente en forma gráfica en el plano cartesiano: (use transportador) a ) una fuerza de 10 lb con dirección 30° al noreste, b ) una fuerza de 15 lb con dirección 30° al este del norte. Defina la unidad a representar : Unidad = 5lb ACTIVIDAD 4. Calcule las direcciones de los vectores de la figura 4.5. a) v se encuentra en el primer cuadrante y como tan = 2 2
entonces tan = 1
= tan-^1 1 = 45 , es decir = 𝜋 4
Operaciones básicas con vectores: Hay dos operaciones básicas con vectores: a ) suma de vectores; b ) multiplicación por un escalar. a ) Suma de vectores Considere los vectores A y B que se ilustran en la figura 1- 2 ª ). La suma o resultante de A y B es el vector C que se forma cuando se coloca el punto inicial de B en el punto terminal de A , para luego unir el punto inicial de A con el punto terminal de B , como se ilustra en la figura 1- 2 b ). La suma C se escribe C = A + B. Esta definición es equivalente a la ley del paralelogramo para la suma de vectores, como se observa en la figura 1- 2 c ). La extensión a sumas de más de dos vectores es inmediata. Por ejemplo, considere los vectores A , B , C y D de la figura 1- 3 a ). En la figura 1- 3 b ) se ilustra la forma de obtener la suma o resultante E de los vectores A , B , C y D , es decir, al conectar el final de cada vector con el principio del siguiente. La diferencia de los vectores A y B se denota con A - B , es aquel vector C que al ser sumado a B da como resultado el vector A. De manera equivalente, A - B puede definirse como A + (- B ). Si A = B , entonces A - B se define como el vector nulo o cero y se representa con el símbolo 0 o 0. Tiene magnitud igual a cero y su dirección no está definida. Un vector que no sea nulo es un vector propio. Supondremos que todos los vectores son propios a menos que se especifique otro caso.
