1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
CALLAO
Funciones Vectoriales
Facultad de Ingeniería Química
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Ejemplos y propiedades relacionadas con el cálculo de límites y continuidad de funciones vectoriales. Se demuestra el cálculo de límites de funciones vectoriales utilizando la definición de límite y las propiedades de límites para funciones vectoriales. Además, se analiza la continuidad de funciones vectoriales en puntos específicos aplicando la definición de continuidad. El documento también aborda la derivación e integración de funciones vectoriales, incluyendo la definición de derivada de una función vectorial, el cálculo de derivadas en puntos específicos y las propiedades de derivación e integración de funciones vectoriales. Los ejemplos y ejercicios proporcionados permiten al lector comprender y aplicar estos conceptos fundamentales del análisis vectorial.
Tipo: Resúmenes
2021/2022
1 / 41
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
CALLAO
Funciones Vectoriales
Facultad de Ingeniería Química
Ejemplos
Demostrar, usando la definición de limite, que
1.- lim
𝑡→ 1
2.- lim
𝑡→ 1
2
, 𝑡 + 1 ) = ( 1 , 1 , 2 )
Demostración
1.- lim
𝑡→ 1
Calculemos la existencia de 𝜕 𝜀 > 0
En efecto
De (𝑡, 𝑡, 𝑡) − ( 1 , 1 , 1 ) = (𝑡 − 1 , 𝑡 − 1 , 𝑡 − 1 )
2
- 𝑡 − 1
2
- (𝑡 − 1 )
2
𝜀
3
Por tanto, existe 𝜕 𝜀 =
3
3
Propiedades de límites para funciones
vectoriales
Propiedades:
Sean las funciones vectoriales 𝑟 1
2
𝑡 tal que
lim
𝑡→𝑡 0
1
1
y lim
𝑡→𝑡 0
2
2
y lim
𝑡→𝑡 0
𝛼 𝑡 = 𝑘 ( k es escalar)
Entonces
1.- lim
𝑡→𝑡 0
1
2
𝑡 ) = lim
𝑡→𝑡 0
1
𝑡 + lim
𝑡→𝑡 0
2
1
2
2.- lim
𝑡→𝑡 0
1
2
𝑡 ) = lim
𝑡→𝑡 0
1
𝑡. lim
𝑡→𝑡 0
2
1
2
3.- lim
𝑡→𝑡 0
1
2
𝑡 ) = lim
𝑡→𝑡 0
1
𝑡 𝑥 lim
𝑡→𝑡 0
2
1
2
4.- lim
𝑡→𝑡 0
1
𝑡 ) = lim
𝑡→𝑡 0
𝛼 𝑡. lim
𝑡→𝑡 0
1
1
Calcular el limite de la función:
f t ( ) ( t 3 , , t 1), t 1, 2 , t 1
t
Solución
0 1
1 1 1
1
1
1
1 1
1
lim ( ) lim( 3 , , 1)
1
(lim 3 , lim , lim 1)
) lim 3 : 1, 2 1 2
2 3 1
3 2
1
) lim : 1, 2 1
) lim 1 : 1, 2 1 2
0 1 1
1 1
1
lim( 3 , , 1) (lim( 2), l
t t t
t t t
t
t
t
t t
f t t t
t
t t
t
a t t t
t
t
b t t
t
c t t t
t
t t
t t
t
→ →
→ → →
→
→
→
→ →
= − −
= − −
−
− − −
− = −
=
−
−
− = −
− − = −
1 1
im(1), lim( 1))
( 2,1, 0)
t t
t
L
→ →
−
= − =
2.- lim
𝑡→ 1
𝑙𝑛𝑡
𝑡
2 − 1
2
Solución
lim
𝑡→ 1
2 − 1
2
= lim
𝑡→ 1
𝑡 𝑡 , lim
𝑡→ 1
2 − 1
, lim
𝑡→ 1
2
En la segunda coordenada aplicando L
’ Hopital se tiene
lim
𝑡→ 1
𝑡 𝑡 , lim
𝑡→ 1
, lim
𝑡→ 1
2
= 1 ,
3.- lim
𝑡→ 0
2
, 3𝑡,
1 −𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑡
Solución
lim
𝑡→ 0
2
, 3𝑡,
= lim
𝑡→ 0
2
, lim
𝑡→ 0
3𝑡 , lim
𝑡→ 0
En la tercera coordenada aplicando L’Hopital se tiene
lim
𝑡→ 0
2 , lim
𝑡→ 0
3𝑡 , lim
𝑡→ 0
= lim
𝑡→ 0
2 , 3lim
𝑡→ 0
𝑡 , lim
𝑡→ 0
Luego
lim
𝑡→ 0
2 , 3𝑡,
4.- lim
𝑡→∞
−𝑡
1
𝑡
𝑡
2 − 1
𝑡
2
- 1
Solución
lim
𝑡→∞
−𝑡
,
2
− 1
2
- 1
= lim
𝑡→∞
−𝑡
, lim
𝑡→∞
, lim
𝑡→∞
2
− 1
2
- 1
Luego
lim
𝑡→∞
−𝑡
,
2
− 1
2
- 1
Continuidad de funciones vectoriales
Definición
Sea una función vectorial 𝒓 𝑡 y sea 𝑡 0
Diremos que función vectorial 𝒓 𝑡 es continua en 𝑡 0
si y solo si
0
esta bien definida
2.- lim
𝑡→𝑡 0
𝑟 𝑡 existe
3.- lim
𝑡→𝑡 0
0
Análogamente
Decimos que es continua en 𝑡 0
, si:
( )
0
0
(t)
t t
Lim r r t
→
=
r t ( )
Ejemplo:
Analizar la continuidad de la siguiente función:
cos cot
m n
n m
t t ct t
t
t t sent
f t
t o
^
^
Solución
a)
b)
0 0 0
cos cot cos cot
lim , lim , lim
1
1,
2
m n m n
n m n m t t t
t t ct t t t ct t
t t sent t t sent
L
→ → →
(^) − − (^) − −
=
− −
= − =
c)
0
0
cos cot 1
lim , (0) 1,
2
1
lim ( ) 1,
2
m n
n m t
t
t t ct t
f
t t sent
f t es continua
→
→
(^) − −
= = −
− (^)
= −
0
f t = f = −
2 3
, , , 0
3
2
1, ,3 , 0
3
arcsent sen t
tsen t t
t t
t
^
= ^
2.- r t =
Solución
0
0 0
0 0 0
2
0 0
2
) ( ) (0) 1, ,
3
2 3
) lim ( ) lim , ,
3
2 3
lim , lim , lim
3
1
2
3cos 3 1
0, lim , lim
3 1
2
0, ,
3
) ) )
t t
t t t
t t
a r t r
arcsent sen t
b r t tsen t
t t
arcsent sen t
tsen t
t t
t t
c Pues como a b
→ →
→ → →
→ →
= =
=
=
−
= ^
=
r(t) no es continua.
Se puede hacer continua, redefiniendo la función:
2 3
, , , 0
3
ˆ( )
2
0, ,3 , 0
3
arcsent sen t
tsen t t
t t
r t
t
^
=
= ^
Esta última función es continua.
Ejercicios
Analizar si las siguientes funciones son continuas en el punto
indicado
𝑐𝑜𝑠𝑡− 1
𝑡
2
𝑐𝑜𝑠𝑡− 1
𝑡
ln(𝑡
2
- 1 )
𝑡
2
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
Derivación e Integración de
Funciones Vectoriales
Definición
La derivada de una función vectorial r se define como
𝜕
𝜕𝑡
𝑟 𝑡 = lim
∆𝑡→ 0
𝑟 𝑡+∆𝑡 −𝑟(𝑡)
∆𝑡
para todo t para el cual existe el limite.
Observación
Si
𝜕
𝜕𝑡
𝑟 𝑡 0
existe para todo 𝑡 0
en un intervalo abierto I, entonces r es
derivable en el intervalo I.
Ejemplos
Calcular la derivada de las siguientes funciones vectoriales en el punto
indicado
1.- 𝑟 𝑡 = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡) en 𝑡 =
𝜋
2
2 , 𝑙𝑛𝑡, , 𝑡 − 1 ) en 𝑡 = 1
Solución
1.- 𝑟 𝑡 = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡) en 𝑡 =
𝜋
2
!
= lim
ℎ→ 0
cos
!
= lim
ℎ→ 0
cos
, lim
ℎ→ 0
, lim
ℎ→ 0
Aplicando L!Hopital a cada función coordenada
Aplicando l
! Hopital
𝑟
!
𝜋
2
= lim
ℎ→ 0
−sen
𝜋
2
- ℎ
1
, lim
ℎ→ 0
𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
- ℎ
1
, lim
ℎ→ 0
1
1
Evaluando
𝑟
!
𝜋
2
= − 1 , 0 , 1
2.- 𝑟 𝑡 = (𝑡
2 , 𝑙𝑛𝑡, , 𝑡 − 1 ) en 𝑡 = 1
𝑟
! 1 = lim
ℎ→ 0
1 + ℎ
2 , ln 1 + ℎ , 1 + ℎ − 1 ) − 1 , 0 , 0
ℎ
𝑟
! 1 = lim
ℎ→ 0
1 + ℎ
2 − 1
ℎ
, lim
ℎ→ 0
ln 1 + ℎ
ℎ
, lim
ℎ→ 0
1 + ℎ − 1
ℎ
Aplicando l
! hospital
𝑟
! 1 = lim
ℎ→ 0
2 ( 1 + ℎ)
1
, lim
ℎ→ 0
1
1 + ℎ
1
, lim
ℎ→ 0
1
1
= ( 2 , 1 , 1 )