Lugar Geométrico de las Raíces o Método de Evans: Apuntes de Control Automático - Prof. Ba, Diapositivas de Física

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Lugar Geométrico de las Raíces

o

Método de Evans

Lugar de la Raíz

• El lugar de la raíz (root locus) es un método

gráfico de encontrar la posición de los polos

de lazo cerrado de la función de transferencia:

• Para un conjunto dado de polos y ceros de lazo

abierto, p

j

y z

i

, la posición de los polos de lazo

cerrado depende del valor de la ganancia K.

• Por simple inspección de se puede concluir que

cuando la ganancia es cero o tiene un valor muy

pequeño la posición de los polos de lazo cerrado es la

misma que los polos de lazo abierto.

• Cuando la ganancia K→ ∞ los polos de lazo cerrado

están en la misma posición que los ceros de lazo

abierto.

• No se debe confundir los polos de lazo abierto con

los de lazo cerrado. Los polos de lazo abierto son los

que se encuentran en la función de lazo abierto

G(s)H(s). Los polos de lazo cerrado son las soluciones

de la ecuación característica.

• Utilizando la ecuación característica se puede

demostrar que existe un polo de lazo cerrado

cuando se cumple la condición de módulo y la

condición de ángulo.

• Estas condiciones se expresan en las siguientes

ecuaciones:

Lugar de la Raíz

Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) = 180 ± 𝑛

Lugar de la Raíz

-10 -8 -6 -4^ -2 0 2

0

2

4

a b c

Eje J



Eje Real

D

En la figura se muestra el lugar de la raíz

correspondiente a la función de transferencia:

( 3 )

( 5 ) ( ) ( )



 

s s

K s G s H s

• Para ubicar el lugar de la raíz en el punto

mostrado en la figura, la ganancia K a utilizar

debe ser calculada utilizando

• Sin embargo puede demostrarse que esto es

equivalente a utilizar:

Lugar de la Raíz

1

( )

( )

( ) ( )

1

1 

 

 



s   j 

j

l n

i

m

s s p

s z

G s H s K

distancia del puntoalos ceros

distancia del puntoalos polos

K

Lugar de la Raíz

• La condición de ángulo es la mas importante

debido a que entrega el conjunto de puntos en

que pueden ubicarse los polos de lazo cerrado si

se ajusta correctamente la ganancia del sistema

(o controlador).

• Si es que punto cualquiera no cumple con la

condición de ángulo entonces un polo de lazo

cerrado no puede ubicarse en esa posición

aunque se varíe la ganancia K entre cero e

infinito. Esto se muestra en la siguiente figura:

Lugar de la Raíz

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

0

2

4

Real Axis

b a

Eje j



Ceros de lazo cerrado

• Si se define G(s)H(s) como:

Hl

Hk H Gj

Gi G s p

s z H s K s p

s z G s K  

(s p )

(s z )

(s p )

(s z )

1 K K

(s p )

(s z )

K

y

y

Hl

Hk

Gj

Gi G H

Gj

Gi G

(s p ) (s p ) K K (s z ) (s z )

K (s z ) (s p )

y

y

Gj Hl G H Gi Hk

G Gi Hl

• (^)         

• Finalmente

Ceros

Ceros de lazo cerrado

• En un sistema SISO convencional, los ceros de

lazo cerrado se pueden encontrar por simple

inspección de las funciones de transferencia

G(s) y H(s). Si el sistema de control tiene

realimentación unitaria, entonces los ceros de

lazo cerrado son los ceros de lazo abierto. Si el

sistema tiene realimentación no unitaria

entonces los ceros de lazo cerrado son los

ceros de G(s) y los polos de H(s).

Sistema de control considerando

perturbaciones y ruidos.

G 1 (s) G 2 (s)

H 1 (s) H 2 (s)

y*(s) y(s)

P(s)

N(s)

• El sistema de control que se muestra en la figura, esta

sujeto a la perturbación P(s) y ruido N(s). La función

directa es G(s)=G

(s)G

(s) y la función de realimentación

es H(s)=H

(s)H

(s). Utilizando álgebra de bloques y

aplicando superposición puede demostrarse que:

Sistema de control considerando

perturbaciones y ruidos.

N(s) 1 G (s)G (s)H (s)H (s)

G (s)G (s)H (s) P(s) 1 G (s)G (s)H (s)H (s)

G (s) y (s) 1 G (s)G (s)H (s)H (s)

G (s)G (s)

y(s)

1 2 1 2



 

 



• La conclusión principal es que los polos a lazo cerrado son

los mismos para todas las entradas que se encuentran en el

sistema.

• Esto es un resultado interesante ya que si se asegura que los

polos dominantes de y

(s)/y(s) están ubicado con la

frecuencia natural correcta y un coeficiente de

amortiguamiento apropiado, entonces el sistema es estable

con respecto a todas las otras posibles entradas del sistema

como ruidos y perturbaciones.

• Sin embargo debe tenerse presente que los ceros, que

afectan a las otras entradas, son distintos.

Las reglas más importantes del lugar

de la raíz

• No es necesario memorizar todas las reglas ya

que un computado con el software adecuado

realiza el lugar de la raíz.

• Sin embargo es necesario entender las reglas.

El computador solo dibuja el lugar de la raíz

pero el diseño lo hace usted.