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Reporte de investigación de la materia de dinámica
Tipo: Monografías, Ensayos
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I. OBJETIVOS
Con la construcción de su modelo didáctico indique los elementos que lo constituyen poniéndolos en un listado general, como se indica en esta tabla.
Material requerido Cantidad Madera base (23.5x17cm) 1 Estructura (48 cm) 1 Pijas multiusos 10 Armellas 3 Tornillo 21/2” 1 Resortes 2
Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio.
Una vibración mecánica se produce por lo general cuando un sistema se desplaza de una posición de equilibrio estable.
El sistema tiende a retornar a su posición bajo la acción de fuerzas restauradoras (ya sea fuerzas elásticas, como en el caso de una masa unida a un resorte, o fuerzas gravitacionales, como en el caso del péndulo).
El intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimiento completo recibe el nombre de periodo de la vibración. El número de ciclos por unidad de tiempo define la
Fig. 1
Para analizar la vibración, se considerara la partícula en una posición P en algún tiempo arbitrario t. Denotado por x el desplazamiento OP medido desde la posición de equilibrio O (positivo hacia abajo), se nota que las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte que, en esta posición, tiene una magnitud. Ver figura b) 𝑊 = 𝑘(𝛿 + 𝑥)
Como 𝑊 = 𝑘𝛿 se encuentra la resultante F = W − k(δ + x) = −kx
De tal modo la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la partícula es proporcional al desplazamiento OP medido desde la posición de equilibrio. Recordando la convención de signos, se advierte que F está dirigida siempre hacia la posición de equilibrio O. Sustituyendo F en la ecuación fundamental F=ma y recordando que a es la segunda derivada 𝒙̈ de x con respecto a t , se escribe: 𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0
Se puede verificar que cada una de las funciones constituye dos soluciones particulares de la ecuación diferencial. La solución general de la ecuación se obtiene al multiplicar cada una de las soluciones particulares por una constante arbitraria y sumando. De tal manera, la solución general se expresa como:
Observe que x es una función periódica del tiempo t y que, por lo tanto, representa una vibración de la partícula P. El coeficiente de t en la expresión obtenida se conoce como la frecuencia circular natural de la vibración y se denota por 𝝎𝒏. Se tiene:
Al sustituir √^ 𝑚𝑘 en la ecuación de la solución general, se escribe:
𝒙 = 𝑪𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏 𝒕 + 𝑪𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒏 𝒕
Ésta es la solución general de la ecuación diferencial:
𝑥̈ + 𝜔𝑛^2 𝑥 = 0
Al diferenciar dos veces “ x ” con respecto al tiempo, se obtienen las siguientes expresiones para la velocidad y la aceleración:
Velocidad: 𝒗 = 𝒙̇ = 𝑪𝟏 𝝎𝒏𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒏 𝒕 − 𝑪𝟐 𝝎𝒏𝐬𝐞𝐧 𝝎𝒏 𝒕
Aceleración 𝒂 = 𝒙̈ = −𝑪𝟏 𝝎𝒏𝟐^ 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏 𝒕 − 𝑪𝟐 𝝎𝒏𝟐^ 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒏 𝒕
Los valores de las constantes C1 y C2 dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Por ejemplo, se tiene C =0 si la partícula se desplaza desde su posición de equilibrio y se suelta en t=0 sin ninguna velocidad inicial, y C 2 =0 si la partícula empieza desde O en t=0 con cierta velocidad inicial.
Para la posición: 𝑥 = 𝐶 1 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶 2 cos 𝜔𝑛 𝑡 𝑥 0 = 𝐶 1 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 (0) + 𝐶 2 cos 𝜔𝑛 (0) 𝒙𝟎 = 𝑪𝟐 Para la velocidad:
𝑥 0 ̇ = 𝐶 1 𝜔𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 − 𝐶 2 𝜔𝑛sen 𝜔𝑛 𝑡 𝑥 0 ̇ = 𝐶 1 𝜔𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 (0) − 𝐶 2 𝜔𝑛sen 𝜔𝑛 (0) 𝑥 0 ̇ = 𝐶 1 𝜔𝑛 𝒙𝟎̇ 𝝎𝒏
Entonces la ecuación de la posición con condiciones iniciales se representa como:
𝒙 =
Simplificación Las expresiones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una partícula pueden escribirse en una forma más compacta si se observa que la ecuación:
𝒙 = 𝑪𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏 𝒕 + 𝑪𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒏 𝒕 Expresa que el desplazamiento 𝒙 = 𝑶𝑷
∴ Es la suma de las componentes de dos vectores C 1 y C 2 , de magnitud C 1 y C 2.
V. PROCEDIMIENTO:
Obtenga el valor de la constante de su resorte (k1), anotando el procedimiento para el cálculo de su constante.
Ley de Hooke
La ley de Hooke establece que la fuerza aplicada a un muelle es directamente proporcional a la deformación que se le produce.
Dónde:
𝐹⃗ = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒, 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 (𝑁).
𝑘 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒, 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛/𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 (𝑁/𝑚).
𝑥⃗ = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒, 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 (𝑚).
Cálculo
Para k
Datos Formula Procedimiento
𝑚 = 0. 22 𝑘𝑔
𝑔 = 9. 81 𝑚 𝑠^2
𝑥⃗ = 0. 010 𝑚
𝑘 =?
𝐹⃗ = 𝑘 ∙ 𝑥⃗
𝑘 =
𝐹 𝑥⃗
⃑⃑⃗
𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑔
𝑘 = ( 0. 22 𝑘𝑔)( 9. 81 𝑚/𝑠^2 )
𝑘 = 215. 82
𝑁 𝑚
𝑵 𝒎
Para k
Datos Formula Procedimiento
𝑚 = 0. 12 𝑘𝑔
𝑔 = 9. 81 𝑚 𝑠^2
𝑥⃗ = 0. 020 𝑚
𝑘 =?
𝐹⃗ = 𝑘 ∙ 𝑥⃗
𝑘 =
𝐹 𝑥⃗
⃑⃑⃗
𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑔
𝑘 = ( 0. 12 𝑘𝑔)( 9. 81 𝑚/𝑠^2 )
𝑘 = 58. 86
𝑁 𝑚
𝑵 𝒎
PARTE 1 Dependencia de la frecuencia angular de los parámetros físicos del sistema.
a) Encuentre la posición de equilibrio del sistema masa resorte de su modelo.
Una vez encontrada el punto de equilibrio, indicarlo en su mecanismo.
b) Saque la masa (m1) de la posición de equilibrio una distancia pequeña en relación a la longitud del resorte en equilibrio (5% de la longitud inicial). Registre el tiempo para 5 oscilaciones.
c) Repita el experimento 5 veces y registre los datos en la tabla 1.
Tiempo de 5 oscilaciones (s)
Periodo (s)
Medición m3= 0.24 kg k2= 58.86 N/m
Tiempo de 5 oscilaciones (s)
Periodo (s)
PARTE 2: Restricciones para considerar el sistema masa resorte un m.a.s.
Análisis de datos. Responder las siguientes preguntas
Bibliografía BEER, F. P. (s.f.).
BEER, F. P., E. RUSSELL JOHNSTON, J., & CORNWELL, P. J. (s.f.). MECÁNICA VECTORIAL. En F. P. BEER, Dinámica (págs. 920 - 1003).
Ferdinand P, B., E. Russell, J. J., & Elliot R, E. (2007). Mecánica vectorial para ingenieros. México : The McGraw-Hill Companies, Inc.
