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Prénom :....................... Devoir no 04
Oct. 2022
DS 02.. ./...
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation. Faites des phrases claires et précises. Le barème est approximatif. La calculatrice en mode examen est autorisée.
Attention! Le sujet est recto-verso.
Exercice 1 9 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat complètera le tableau de la page 4 qui sera ramassé 30 minutes apès le début de l’épreuve. On ne demande pas de justification. Il est attribué 1 , 5 point si la réponse est exacte. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
A.Question 1
1.5 pt On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x e x 2 . La fonction dérivée de f est la fonction f ′^ définie sur R par : a. f ′^ ( x ) = 2 x e x
2 b. f ′^ ( x ) = (1 + 2 x )e x
2
c. f ′^ ( x ) =
1 + 2 x^2
e x
2 d. f ′^ ( x ) =
2 + x^2
e x
2 . f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et f ′^ = u ′^ v + v ′^ u
f ′^ ( x ) = 1 × e x
2
2 = e x
1 + 2 x^2
Réponse c.
B.Question 2
1.5 pt On suppose que g est une fonction dérivable sur l’intervalle [−4 ; 4]. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée g ′^.
On peut affirmer que : a. g admet un maximum en −2. b. g est croissante sur l’intervalle [1 ; 2]. c. g est convexe sur l’intervalle [1 ; 2]. d. g admet un minimum en 0. Par lecture graphique g ′^ est croissante sur [1; 2], donc g est convexe sur l’intervalle [1 ; 2].
Réponse c.
C.Question 3
1.5 pt On considère une fonction h continue sur l’intervalle [−1 ; 1] telle que
h (−1) = 0 h (0) = 2 h (1) = 0_._
On peut affirmer que : a. La fonction h est croissante sur l’intervalle [−1 ; 0]. b. La fonction h est positive sur l’intervalle [−1 ; 1]. c. Il existe au moins un nombre réel a dans l’intervalle [0 ; 1] tel que h ( a ) = 1.
d. L’ équation h ( x ) = 1 admet exactement deux solutions dans l’intervalle [−1 ; 1]. h (0) = 2 h (1) = 0 , par ailleurs h est continue sur l’intervalle [−1 ; 1] donc sur [0; 1]. Comme 1 est compris entre h (0)et h (1), d’après le théorème des valeurs intermdiaires, il existe au moins un réel a dans l’intervalle [0 ; 1] tel que h ( a ) = 1.
Réponse c.
D. Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f ( x ) = e^2 x x On donne l’expression de la dérivée seconde f ′′^ de f , définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f ′′^ ( x ) =
2e^2 x (2 x^2 − 2 x + 1) x^3
Question 4 1.5 pt La fonction f ′^ , dérivée de f , est définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
a. f ′^ ( x ) = 2e^2 x^ b. f ′^ ( x ) =
e^2 x ( x − 1) x^2
c. f ′^ ( x ) =
e^2 x (2 x − 1) x^2
d. f ′^ ( x ) =
e^2 x (1 + 2 x ) x^2
f est dérivable comme fonction quotient de fonctions dérivables, le dénominateur étant non nul sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
On a : f ′^ ( x ) =
2e^2 x^ × x − 1 × e^2 x x^2
e^2 x (2 x − 1) x^2
Réponse c.
Question 5 1.5 pt La fonction f : a. est décroissante sur ]0 ; +∞[ b. est monotone sur ]0 ; +∞[ c. admet un minimum en
d. admet un maximum en
Comme sur l’intervalle ]0 ; +∞[, x^2 > 0 et e^2 x^ > 0, le signe de f ′^ ( x ) est celui de 2 x − 1.
- f ′^ ( x ) = 0 ⇐⇒ 2 x − 1 = 0 ⇐⇒ x =
- f ′^ ( x ) < 0 ⇐⇒ 2 x − 1 < 0 ⇐⇒ x <
: la fonction f est décroissante sur
]
[
- f ′^ ( x ) > 0 ⇐⇒ 2 x − 1 > 0 ⇐⇒ x >
: la fonction f est croissante sur
]
1 2 ; +∞
[
Conclusion : f
1 2
est le minimum de la fonction sur ]0 ; +∞[.
Réponse c.
Question 6 1.5 pt La fonction f : a. est concave sur ]0 ; +∞[ b. est convexe ]0 ; +∞[ c. est concave sur
]
]
d. est représentée par une courbe admettant un point d’inflexion. Sur ]0 ; +∞[, x^3 > 0 et 2e^2 x^ > 0, donc le signe de f ′′^ ( x ) est celui du trinôme 2 x^2 − 2 x + 1. Or 2 x^2 − 2 x + 1 = 2
x^2 − x + (^12)
[(
x − (^12)
]
x − (^12)
Donc f ′′^ ( x ) somme de deux nombres positifs est positive sur ]0 ; +∞. La fonction est donc convexe sur ]0 ; +∞[.
Exercice 3 9,5 points
La courbe C ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur l’intervalle [−4; 10]. On note f ′^ la fonction dérivée de f , et f ′′^ sa dérivée seconde. La tangente à la courbe C au point A d’abscisse −2 est parallèle à l’axe des abscisses.
partie a
1 pt 1 Déterminer, en la justifiant, la valeur de f ′^ (−2). La tangente à la courbe C au point d’abscisse -2 est horizontale, donc f ′^ (−2) = 0
0.5 pt 2 Par une lecture graphique, quel semble être le signe de f ′^ (4)? f est décroissante sur [−2; 10], donc pour tout x ∈ [−2; 10], on a f ′^ ( x ) ≤ 0. Comme 4 ∈ [−2; 10]„ on déduit f ′^ (4) ≤ 0.
partie b La fonction f précédente est définie sur l’intervalle [−4; 10] par f ( x ) = ( x + 4)e−^0 ,^5 x.
1.5 pt 1 a.Montrer que f ′^ ( x ) = (− 0 , 5 x − 1)e−^0 ,^5 x. f est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables. f = uv, d’où f ′^ = u ′^ v + v ′^ u avec pour tout réel
x , dans Df :
u ( x ) = x + 4 v ( x ) = e−^0 ,^5 x^ ainsi :
u ′^ ( x ) = 1 v ′^ ( x ) = − 0 , 5e−^0 ,^5 x
f ′^ ( x ) = 1 × e−^0 ,^5 x^ − 0 , 5e−^0 ,^5 x ( x + 4) = e−^0 ,^5 x (1 − 0 , 5( x + 4)) = e−^0 ,^5 x (1 − 0 , 5 x − 2) = (− 0 , 5 x − 1)e−^0 ,^5 x
3 pts b.Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [−4; 10]. On étudie le signe de la dérivée : La fonction exponentielle étant strictement positive, f ′^ ( x ) a le signe de (− 0 , 5 x − 1).
f ′^ ( x ) = 0 ⇐⇒ (− 0 , 5 x − 1) = 0 ⇐⇒ − 0 , 5 x = 1 ⇐⇒ x = (^) − 01 , 5 = − 2
- f ′^ ( x ) > 0 ⇐⇒ (− 0 , 5 x − 1) > 0 ⇐⇒ − 0 , 5 x > 1 ⇐⇒ x < (^) −^10 , 5 ⇐⇒ x < − 2
On déduit le tableau de variations de f sur [−4; 10] :
x
f ′^ ( x )
Variations de f
2e2e−−^11
14e14e−−^55
2 On admet que la dérivée seconde de f est définie par f ′′^ ( x ) = 0 , 25 x e−^0 ,^5 x.
2.5 pts a.Étudier la convexité de la fonction f sur l’intervalle [−4; 10]. On étudie le signe de la dérivée seconde sur l’intervalle [−4; 10].
x
signe de 0_._ 25
signe de x
signe de e−^0_._^5 x
signe de f ′′^ ( x )
f ′′^ ( x ) < 0 sur [−4; 0], f est donc concave sur [−4; 0] f ′′^ ( x ) > 0 sur [0; 10], f est donc convexe sur [0; 10]
1 pt b.En déduire que la courbe C admet un unique point d’inflexion I dont on calculera les coordonnées. La dérivée seconde s’annule en changeant de signe en 0.
Le point A (0; 4) est donc un point d’inflexion de la courbe C.
- g réalise donc une bijection de [−3; 2] sur
[
−e−^4 − 1;. 4e − 1
]
0 est compris entre g (−3) et g (2), en effet g (−3) < 0 et g (2) > 0 donc l’équation g ( x ) = 0 a une racine unique α dans [−3; 2].
0.5 pt 3 Donner un encadrement de α à 10−^2 près. g (0 , 20) ≈ − 0 , 01 et g (0 , 21) ≈ 0 , 003 donc
0 , 20 < α < 0 , 21
1 pt 4 En déduire le signe de g sur R.
- Sur ] − ∞; −3], on a x ≤ −3, donc x + 2 ≤ − 1 < 0, par ailleurs e x −^1 > 0, donc par produit ( x + 2)e x −^1 < 0, puis en ajoutant -1 : pour tout x ∈] − ∞; −3], on a ( x + 2)e x −^1 − 1 < − 1 < 0, soit g ( x ) < 0 sur ] − ∞; −3].
- Sur [−3; +∞[
x
g ′^ ( x )
Variations de g
Signe de g ( x )
− 3 α^ +∞
0 +^ +
x
signe de g ( x )
−∞ α +∞
Deuxième partie Etude de la fonction f
2 pts 1 Démontrer que f ′^ ( x ) = xg ( x ). f est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables. f = uv, d’où f ′^ = u ′^ v + v ′^ u
avec pour tout réel x , dans R :
u ( x ) = x^2 v ( x ) =
e x −^1 −
) (^) ainsi :
u ′^ ( x ) = 2 x v ′^ ( x ) = e x −^1
f ′^ ( x ) = 2 x ×
e x −^1 −
= x
[
e x −^1 −
]
= x
[
2e x −^1 − 1 + x e x −^1
]
= x
[
( x + 2)e x −^1 − 1+
]
= xg ( x )
2 pts 2 En déduire le tableau de variation de f sur R.
- On étudie le signe de la dérivée :
x
signe de x
signe de g ( x )
signe de f ′^ ( x )
−∞ 0 α +∞
+ 0 -^ +
- On déduit le tableau de variations de f sur R :
x
f ′^ ( x )
Variations de f
−∞ 0 α +∞
+ 0 −^0 +
ff (( αα ))
2 pts 3 Montrer que f ( α ) = −
α^3 2( α + 2) g ( α ) = 0 ⇐⇒ ( α + 2)e α −^1 − 1 = 0 ⇐⇒ ( α + 2)e α −^1 = 1 ⇐⇒ e α −^1 =
α + 2 Alors f ( α ) = α^2 ×
e α −^1 −
= α^2 ×
α + 2
= α^2 ×
2 − ( α + 2) 2( α + 2)
= α^2 ×
− α 2( α + 2)
α^3 2( α + 2)
2.5 pts 4 Bonus Donner, en le justifiant, un encadrement de f ( α ).
On a f ( α ) = h ( α ) où h ( x ) = −
x^3 (2 x + 4)
On étudie les variations de h :
- Calcul de la dérivée : h est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur R \ {− 2 }.
