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Exercices : Limites et continuité
Exercice 1
Étudier la limite, lorsque n tends vers ∞, des suites suivantes.
- un = n ; 2) un = 1 ; 3) un = 3 n ; 4) un =
n
n^2 + 1
; 5) un =
n
2 n^2
n^2 + 1
Exercice 2
Déterminer la limite de
(−1)n
n
, en rédigeant de façon détaillée la démonstration (revenir à la dé nition
de la limite d'une suite).
Exercice 3
La courbe ci-contre représente une fonction f dé nie et
dérivable sur R − {1; 2}.
Déterminer les limites de f aux bornes du domaine de dé nition.
Dresser le tableau de signe de f ′ et le tableau de variations de f.
Donner les équations des droites D 1 , D 2 et D 3 , asymptotes de la courbe représentative de la fonc- tion f.
Sachant que f est une fonction de la forme
f (x) = ax + b −
(x − c)(x − d)
déterminer a, b, c et d. Justi er.
O x
f (x)
D 1
D 2
D 3
Exercice 4
Soit f (x) =
− 2 x 2 − 3 x + 5
x + 2
Quel est l'ensemble de dé nition de f?
Étudier la limite de f en chacune des bornes de son ensemble de dé nition.
Déterminer les réels a, b, c tels que, pour tout x 6 = − 2 ,
f (x) = ax + b +
c
x + 2
Donner une équation des asymptotes éventuelles, justi er.
Pour tout x 6 = − 2 , étudier le signe de f (x) + 2x − 1. Interpréter graphiquement le résultat.
Dresser le tableau de variations de f.
Montrer que le point I(−2; 5) est un centre de symétrie de la courbe représentative de f.
Exercice 5
Étudier la limite, lorsque x tends vers +∞ et −∞, des fonctions suivantes.
- f (x) =
2 x 3
−x^2 + 3x − 2
; 2) f (x) =
1 − 4 x 2
x^2
; 3) f (x) =
2 x − 3
(x + 1)(x − 2)
- f (x) =
x^2 + 2 −
x^2 − x ; 5) f (x) =
4 x^2 + 1 − 2 x ;
Pour les questions 4 et 5, on pourra utiliser la quantité conjuguée.
Exercice 6
Déterminer le domaine de dé nition des fonctions de l'exercice 5.
Exercice 7
Soit f la fonction dé nie sur R ∗ par f (x) =
cos(x)
x^2
- Démontrer que, pour tout réel x 6 = 0, on a −
x^2
≤ f (x) ≤
x^2
- En déduire la limite de f en +∞ et −∞.
Exercice 8
Soit f la fonction dé nie sur ]1; +∞[ par f (x) =
2 x + sin(x)
x − 1
Trouver un encadrement de la fonction f sur ]1; +∞[.
En déduire la limite de f en +∞.
Exercice 9
Dans chacun des cas suivants, étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de dé nition.
- Soit f la fonction dé nie sur R ∗ par f (x) = x cos
x
- Soit f la fonction dé nie sur [1/5; 1[∪]1; +∞[ par f (x) =
5 x − 1 − 2
x − 1
Exercice 10
Donner des exemples de fonctions f et g telles que
- lim x→+∞
f (x) = 3
- lim x→−∞
f (x) = +∞ et lim x→ 1
f (x) = +∞.
- lim x→+∞
f (x) = +∞, lim x→+∞
g(x) = −∞, et lim x→+∞
f (x) + g(x) = 1, (remarque : on peut remplacer
1 par un nombre réel arbitraire).
- lim x→+∞
f (x) = +∞, lim x→+∞
g(x) = −∞, et lim x→+∞
f (x) + g(x) n'existe pas.
Exercice 11 (Vrai / Faux)
Pour chaque a rmation, on demande une justi cation (contre-exemple ou preuve). Il peut être utile,
pour aider à la ré exion, de chercher des exemples graphiquement. Soit f une fonction dé nie sur
[0; +∞[.
- Si f n'est pas majorée, alors lim x→+∞
f (x) = +∞
- Si f est une fonction croissante sur [0; +∞[, alors lim x→+∞
f (x) = +∞.
- Si lim x→+∞
f (x) = +∞, alors f n'est pas majorée.
- Si lim x→+∞
f (x) = +∞, alors il existe au moins un intervalle de la forme ]A; +∞[, avec A ∈ R,
sur lequel f est croissante.
