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SEQUENCE 9
Produit scalaire
1. Rappels de seconde
1.1. Notion de vecteur
➢ On caractérise un vecteur non nul 𝐴𝐵
par :
- sa norme (ou longueur), notée ‖𝐴𝐵
- sa direction : celle de la droite (𝐴𝐵) ;
- son sens : de A vers B.
➢ Soit 𝐴
𝐴
𝐴
et 𝐵
𝐵
𝐵
deux points du plan muni d’un repère orthonormé.
𝑥
𝐵
−𝑥
𝐴
𝑦
𝐵
−𝑦
𝐴
) et ‖𝐴𝐵
𝐵
𝐴
2
𝐵
𝐴
2
Exemple : Soit 𝐴(− 1 ; 2 ) et 𝐵( 0 ; 1 ) deux points du plan muni d’un repère
orthonormé.
0 −(− 1 )
1 − 2
) ou encore 𝐴𝐵
1
− 1
2
2
1.2. Opérations sur les vecteurs
➢ Addition de deux vecteurs :
- Avec les coordonnées : Si 𝑢⃗ (
𝑥
𝑦
et 𝑣 (
𝑥′
𝑦′
, alors 𝑢⃗ + 𝑣 (
𝑥+𝑥′
𝑦+𝑦′
- Règle du parallélogramme : 𝐴𝐵
➢ Produit d’un vecteur par un nombre réel :
- Le produit d’un vecteur non nul par un nombre réel 𝑘 non nul est un
vecteur de norme |𝑘| × ‖𝑢⃗ ‖ et de même direction que 𝑢⃗.
Si 𝑘 > 0 , ce vecteur est de même sens que 𝑢⃗.
Si 𝑘 < 0 , ce vecteur est de sens contraire à 𝑢⃗.
- Si 𝑣 = 𝑘𝑢⃗ , les vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 sont dits colinéaires.
- Si 𝑢⃗ (
𝑥
𝑦
), alors 𝑘𝑢⃗ (
𝑘𝑥
𝑘𝑦
Exemple : Les vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ sont
colinéaires.
2. Qu’est-ce que le produit scalaire?
2.1. Une première définition : formule trigonométrique
Définition :
Soit 𝑢⃗ un vecteur du plan et A et B deux points du plan tels que 𝑢⃗ = 𝐴𝐵
On appelle norme du vecteur 𝑢⃗ , notée ‖𝑢⃗ ‖, la longueur du segment [𝐴𝐵] :
Définition : Soit 𝑢⃗ et 𝑣 deux vecteurs du plan.
On appelle produit scalaire des vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣, noté 𝑢⃗ ∙ 𝑣, le nombre réel défini
par :
- 𝑢⃗. 𝑣 = ‖𝑢⃗ ‖ × ‖𝑣‖ × cos(𝑢⃗ , 𝑣) si 𝑢⃗ et 𝑣 sont non nuls ;
- 𝑢⃗. 𝑣 = 0 si 𝑢⃗ et 𝑣 sont nuls.
Remarque : Cette expression du produit scalaire modélise le travail d’une force en
physique.
Propriété : Pour tout vecteur 𝑢⃗ du plan, 𝑢⃗
2
2
Ce réel positif 𝑢⃗
2
est appelé carré scalaire du vecteur 𝑢⃗.
Exemples :
Soit 𝑢⃗ et 𝑣 deux vecteurs du plan tels que
= 3 et
𝜋
4
𝜋
4
) = 6 ×
√ 2
2
2
2
2
2.2. Une deuxième définition : formule du projeté orthogonal
Théorème : Soit A, B et C trois points non alignés, et H le projeté orthogonal du
point C sur la droite (AB).
Alors 𝐴𝐵
. C’est-à-dire :
et 𝐴𝐻
sont colinéaires de même sens,
alors 𝐴𝐵
= 𝐴𝐵 × 𝐴𝐻.
et 𝐴𝐻
sont colinéaires de sens opposés,
alors 𝐴𝐵
= −𝐴𝐵 × 𝐴𝐻.
Remarque : On dit que le vecteur 𝐴𝐻
est le projeté orthogonal du vecteur 𝐴𝐶
sur
le vecteur 𝐴𝐵
3. Quelles sont les propriétés du produit scalaire?
3.1. Caractérisation de l’orthogonalité
Définition : Deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 du plan sont dits orthogonaux si l’un d’eux est
nul ou si leurs directions sont perpendiculaires.
Propriété : Deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 du plan sont orthogonaux si, et seulement si,
leur produit scalaire est nul.
Exemple : Dans le carré ABCD, 𝐴𝐵
et 𝐴𝐷
sont des vecteurs orthogonaux.
Ainsi, 𝐴𝐵
3.2. Symétrie et bilinéarité du produit scalaire
Propriétés : Pour tous vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ et pour tout réel 𝑘, on a :
• 𝑢⃗ ∙ (𝑘𝑣) = (𝑘𝑢⃗ ) ∙ 𝑣 = 𝑘 × (𝑢⃗ ∙ 𝑣).
On dit que le produit scalaire est symétrique (propriété n°1) et bilinéaire
(propriété n°2).
Application : Reprenons le carré ABCD de côté 4 et de centre O.
Or, 𝐴𝐵
2
et 𝐴𝐵
= 0 car les vecteurs 𝐴𝐵
et 𝐵𝐶
sont orthogonaux.
Donc 𝐴𝐵
2
2
3.3. Développement de ‖𝒖⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ ‖
𝟐
Propriété : Pour tous vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣,
2
2
2
(analogue à l’identité remarquable (𝑎 + 𝑏)
2
2
2
➢ Savoir-faire n°2 : utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité,
pour calculer un angle, une longueur
