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Intégration
Introduction
Le calcul intégral est une branche des mathématiques qui permet de mesurer quantité de choses : des grandeurs (longueur
d’une courbe, aire, volume…), des probabilités et des statistiques, de résoudre également des équations différentielles
(très présentes en physique)
Cette année, on s’intéressera particulièrement au calcul d’aires.
Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthogonal (𝑂; 𝑖⃗; 𝑗⃗ )
En posant, 𝑂𝐼
= 𝑗⃗ et 𝑂𝐾
l’aire du rectangle 𝑂𝐼𝐾𝐽 définit l’unité d’aire (𝑢. 𝑎. en abrégé).
Remarque : le fait que le repère (𝑂; 𝐼; 𝐽) soit orthogonal
signifie que (𝑂𝐼) est perpendiculaire à (𝑂𝐽) mais on n’a
pas forcément 𝑂𝐼 = 𝑂𝐽.
Par exemple, si l’énoncé donne 𝑂𝐼 = 4 𝑐𝑚 et 𝑂𝐽 = 2 𝑐𝑚
alors l’unité d’aire vaut 8 𝑐𝑚²
I Intégrale d’une fonction continue positive
Exemple : Voici la courbe d’une fonction 𝑓.
On a coloré la partie 𝐸 du plan située entre les
…… la …………………………………. et
l’……………………………………
Quelle est la valeur approchée de cette aire en 𝑢. 𝑎.
parmi les réponses suivantes : 9 ; 19 ; 29 ou 39?
Définition
Soit 𝑓 une fonction continue et positive sur un intervalle
[
]
(𝑎 < 𝑏) et 𝐶 sa courbe représentative dans un repère
orthogonal du plan. Soit 𝐸 la partie du plan située entre l’axe des abscisses, la courbe 𝐶 et les droites d’équation 𝑥 = 𝑎 et
𝑥 = 𝑏. On appelle intégrale de 𝑎 à 𝑏 de la fonction 𝑓 la mesure de l’aire de cette partie 𝐸, en unités d’aire.
Notation : ∫
𝑏
𝑎
: intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓.
Remarques :
- 𝑎 et 𝑏 sont appelées les bornes de l’intégrale. Quant à la variable 𝑥, elle n’a aucun rôle, (elle est muette), le
calcul ne dépend pas de 𝑥. On peut donc noter indifféremment ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
ou ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
- Dans le cas très particulier où 𝑎 = 𝑏, la partie 𝐸 du plan est réduite à un segment et ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑎
𝑎
- L’intégrale d’une fonction 𝑓, continue et positive, est un nombre positif.
Premières propriétés :
Dans toute cette partie 𝑓 est une fonction continue et positive sur ℝ
- Propriété d’additivité des aires
On peut conclure du schéma ci-contre que
8
− 2
Plus généralement si 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏 on a :
- Conservation par symétrie
Si 𝐶 est symétrique par rapport à (𝑂𝐽) (c'est-à-dire si 𝑓
est ……….) alors pour tout 𝑎 > 0 , on a :
D’où ∫ 𝑓
𝑎
−𝑎
- Conservation par translation
On reconnaît ci-contre la courbe de la fonction ……
Comme cette la fonction admet 2 𝜋 pour période, alors
sa courbe est invariante par translation de vecteur …......
Donc ∫
sin(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
Exos 11 et 12 p 249
Exercice 1
a) Déterminer l’aire sous la courbe de la fonction 𝑓 définie par 𝑓
= 5 pour 𝑥 entre 2 et 9
b) Déterminer l’aire sous la courbe de la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 pour 𝑥 entre 3 et 7.
Exo 7 p 248 Exo 18 p 250
II Primitives
1) Primitive d’une fonction continue positive sur un intervalle
Théorème : Soit 𝑓 une fonction continue et positive sur [𝑎; 𝑏]. La fonction 𝐹 définie sur [𝑎; 𝑏] par 𝐹(𝑥) = ∫
𝑥
𝑎
est
dérivable sur [𝑎; 𝑏] et a pour dérivée 𝑓.
Remarque bête mais importante, valable tout le chapitre : le fait même de parler de l’intervalle
[
]
signifie que 𝑎 ≤ 𝑏.
Démonstration (exigible) : on se limitera au cas où 𝑓 est croissante conformément au programme
Soit 𝑥
0
[
]
, montrons que 𝐹………………
……………………………. et que 𝐹
′
0
Rappelons que, par définition, 𝐹
′
0
Soit ℎ ∈ ℝ
tel que 𝑥
0
+ ℎ ∈ [𝑎; 𝑏],
0
0
𝑥 0
𝑎
𝑥 0
+ℎ
𝑎
𝑥 0
+ℎ
𝑥
0
représente l’aire de la partie colorée.
Cette aire est supérieure à l’aire du rectangle …………
et elle est inférieure à l’aire du rectangle ………
L’aire du rectangle 𝐴𝐵𝐹𝐶 vaut ………………
Celle du rectangle 𝐴𝐵𝐷𝐸 vaut ………………
Donc on a pour tout ℎ ≠ 0 tel que 𝑥
0
+ ℎ ∈ [𝑎; 𝑏],
0
0
0
0
Comme on a ℎ …… on obtient :
0
0
0
0
On refait le même raisonnement avec ℎ ∈ ℝ
−
. On obtient le même encadrement (par rapport au cas ℎ > 0 , il y a deux
endroits où les inégalités sont changées de sens, donc on aboutit au même résultat)
Donc pour tout ℎ ∈ ℝ
∗
tel que 𝑥
0
[
]
on a :
2) Cas des fonctions continues de signe quelconque
Définition : Pour toute fonction 𝑓 continue sur un intervalle 𝐼, on définit pour 𝑎 et 𝑏 dans 𝐼 l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 par
𝑏
𝑎
(ici 𝑎 n’est pas forcément inférieur à 𝑏), où 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur
[
]
Exemple : Calculer ∫ 2 sin
cos
𝜋
2
−
𝜋
2
(il y a deux manières différentes de calculer suivant la primitive choisie…)
Remarques :
- Si 𝑓 est positive, et si 𝑎 ≤ 𝑏 on retrouve le calcul d’aire de la propriété du 1)
- Justifions que le calcul ne dépend pas de la primitive 𝐹 choisie : soit 𝐺 une autre primitive de 𝑓, on sait alors que
𝐺 = et alors ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
𝑥
𝑎
est la primitive de 𝑓 sur 𝐼 qui s’annule en …
Propriétés : Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions continues sur un intervalle 𝐼 et 𝑎, 𝑏 et 𝑐 des réels de 𝐼
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
(car par définition ∫
𝑎
𝑏
- Relation de Chasles : ∫ 𝑓
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
(propriété déjà vue dans le calcul d’aires, appelée
propriété d’additivité des aires)
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Pour tout 𝜆 réel, on a : ∫
𝑏
𝑎
Exercice 6
PARTIE A : On considère la fonction définie sur l’intervalle [− 2 ; 4 ] par 𝑓
a) Tracer la courbe représentative de 𝑓 dans un repère orthonormal, puis vérifier que cette fonction est continue et
positive sur [− 2 ; 4 ].
b) Calculer l’intégrale de 𝑓 entre − 2 et 4.
PARTIE B : Calculer ∫ |𝑥
2
3
− 3
Exercice 7
PARTIE A : Soit 𝐼 = ∫ 𝑐𝑜𝑠
2
2 𝜋
0
et 𝐽 = ∫ 𝑠𝑖𝑛²(𝑥)𝑑𝑥
2 𝜋
0
a) Calculer 𝐼 + 𝐽 puis 𝐼 − 𝐽 (Rappel : cos
2
− 𝑠𝑖𝑛²(𝑥) pour tout réel 𝑥 )
b) En déduire 𝐼 et 𝐽
PARTIE B : Soit 𝐼 = ∫
1
𝑒
𝑥
1
0
et 𝐽 = ∫
𝑒
𝑥
𝑒
𝑥
1
0
a) Calculer 𝐼 + 𝐽
b) Calculer la plus facile des deux intégrales entre 𝐼 et 𝐽 puis en déduire l’autre.
Propriétés de comparaison : Attention, ici il est primordial que 𝑎 ≤ 𝑏
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions continues sur un intervalle 𝐼 et 𝑎, 𝑏 deux réels de 𝐼 tels que 𝒂 ≤ 𝒃
- Si 𝑓 est positive sur 𝐼, alors ∫
𝑏
𝑎
- Si 𝑓 est négative sur 𝐼, alors ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
- Si 𝑓 ≤ 𝑔 sur I alors ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Preuves : On note comme d’habitude 𝐹 une primitive de 𝑓 sur 𝐼
- On suppose 𝑓 positive sur 𝐼, donc comme 𝐹
′
= …, on en déduit que 𝐹 est ………………………
Ainsi comme 𝑎 ≤ 𝑏, on a : ………………… Donc ∫
𝑏
𝑎
- On suppose 𝑓 négative sur 𝐼, donc comme 𝐹
′
= …, on en déduit que 𝐹 est ……………
Ainsi comme 𝑎 ≤ 𝑏, on a : ………………… Donc ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
- 𝑓 ≤ 𝑔 sur I donc ……… ≥ 0 sur 𝐼, donc ∫
𝑏
𝑎
≥ 0 d’où …………………… on obtient
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
0 soit
Application :
Soit 𝐼 = ∫ 𝑥 ln
0 , 5
0 , 4
a) Quel est le signe de 𝐼?
b) Montrer que pour 𝑥 appartenant à [ 0 , 4 ; 0 , 5 ], on a : ln( 0 , 4 ) ≤ ln 𝑥 ≤ − ln( 2 )
c) Calculer 𝐽 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥
0 , 5
0 , 4
d) Montrer que
9
200
ln (
2
5
9
200
ln ( 2 )
Corollaire : si 𝑓 est continue sur un intervalle [𝑎; 𝑏] et si pour tout 𝑥 de [𝑎; 𝑏] on a : 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀
Alors : 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫
𝑏
𝑎
Preuve : il suffit de poser
Exercice 8 Voici le tableau de variations d’une fonction f.
a) Déterminer les signes des intégrales ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
− 2
− 5
et ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
3
0
puis ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
−∞
− 1
b) Donner une intégrale de 𝑓 dont on ne puisse pas donner directement le signe.
c) Déterminer un encadrement par deux entiers des intégrales ∫ 𝑓
1
0
et ∫ 𝑓
3
1
Lien avec le calcul d’aires
𝑓 est une fonction continue sur un intervalle
[
]
𝐷 est la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe de 𝑓 et les droites verticales d’équation 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏
Si 𝑓 change de signe sur
[
]
, on partage 𝐷 en sous parties situées au dessus ou en dessous de l’axe des abscisses (sur
lesquelles 𝑓 est de signe constant).
𝑏
𝑎
Ceci est nécessaire car le calcul de l’intégrale de 𝑓 correspondant à la partie 𝐷 1 donne un résultat négatif, ce qui est gênant
pour une aire… On parle alors d’aire algébrique, puisqu’on fait intervenir le signe.
- Intégration par parties
Propriété : Soit 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables sur un intervalle 𝐼 et dont les dérivées 𝑢
′
𝑒𝑡 v’ sont continues sur 𝐼. Soit 𝑎
et 𝑏 deux réels de 𝐼
′
[
]
𝑎
𝑏
′
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Démonstration :
Les fonctions 𝑢 et 𝑣 sont dérivables sur 𝐼 donc la fonction 𝑢𝑣 l’est aussi et (𝑢𝑣)
′
′
′
Donc pour tout réel 𝑥 de 𝐼, 𝑢(𝑥)𝑣
′
′
Or, les fonctions 𝑢 et 𝑣 sont continues sur 𝐼 car elles sont dérivables sur 𝐼. De plus 𝑢′ et 𝑣′ sont continues sr 𝐼 donc les
fonctions 𝑢𝑣
′
et 𝑢′𝑣 le sont également.
Donc ∫ 𝑢(𝑥)𝑣
′
′
′
𝑏
𝑎
′
′
𝑏
𝑎
′
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
par linéarité
Or une primitive de la fonction (𝑢𝑣)′ est la fonction 𝑢𝑣
Donc ∫ 𝑢(𝑥)𝑣
′
𝑏
𝑎
[𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)]
𝑎
𝑏
′
𝑏
𝑎
Exemple : calcul de ∫ 𝑥 sin
𝜋
0
On pose 𝑢(𝑥) = 𝑥 et 𝑣′(𝑥) = sin (𝑥) donc 𝑢
′
(𝑥) = 1 et 𝑣(𝑥) = −cos (𝑥)
Les fonctions 𝑢 et 𝑣′ sont dérivables sur [ 0 ; 𝜋] et les fonctions 𝑢′ et 𝑣′ sont continues sur [ 0 ; 𝜋]
Donc ∫
𝑥 sin(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
= [−𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥)]
0
𝜋
− cos(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝜋 cos(𝜋) + 0 cos( 0 ) + [ 𝑠𝑖𝑛(𝑥)]
0
𝜋
𝜋
0
∫ 𝑥 sin
𝜋
0
= 𝜋 + sin
− sin
Le choix doit être fait pour simplifier le calcul : si on choisit l’autre possibilité 𝑢(𝑥) = sin (𝑥) et 𝑣′(𝑥) = 𝑥 on propose
alors : 𝑢
′
(𝑥) = cos (𝑥) (même complexité que 𝑢(𝑥)) et 𝑣(𝑥) = 𝑥
2
/ 2 qui est plus compliqué que 𝑣
′
Exercice 9
Calculer les intégrales en utilisant la méthode d’intégration par parties
𝑥
3
− 2
2 𝑥
1
0
ln(𝑥) 𝑑𝑥
𝑒
1
𝑥 cos(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋/ 2
0
