Nombre dérivé – Tangente
Taux d'accroissement et nombre dérivé
Le taux d'accroissement mesure la variation moyenne d'une fonction entre deux points. Géométriquement,
c'est le coefficient directeur de la droite sécante passant par ces deux points. Lorsque l'écart entre les
points tend vers 0, ce taux tend vers une limite appelée le nombre dérivé.
Taux d'accroissement : f(a + h) − f(a)
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h
ou bien :
f(b) − f(a)
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b − a
Exemple de calcul
Pour la fonction f(x) = x² en x = 2, le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement :
f′(2) = limh → 0
(2 + h)² − 4
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h
= lim (4 + h) = 4
Interprétation géométrique
Le nombre dérivé f′(a) correspond au coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point
d'abscisse a.
1• f′(a) > 0 : la fonction est croissante en a.
2• f′(a) < 0 : la fonction est décroissante en a.
3• f′(a) = 0 : la tangente est horizontale (extrémum possible).
Pour lire un nombre dérivé à partir d'une tangente, on calcule le rapport entre la variation verticale et la
variation horizontale.
Équation de la tangente
L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est donnée par :
y = f′(a)(x − a) + f(a)
Exemple : Pour f(x) = x² en x = 1, on a f(1) = 1 et f′(1) = 2. L'équation de la tangente est y = 2(x − 1) + 1,
soit y = 2x − 1.
