Généralités sur les groupes, Notes de Mathématiques

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TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE I

GROUPES

1. Généralités sur les groupes

1.1. Définition. — Un groupe est la donnée d’un ensemble G muni d’une loi de compo- sition

G × G → G ( g 1 , g 2 ) 7 → g 1 g 2

et d’un élément neutre e ∈ G satisfaisant les propriétés suivantes

1° associativité : pour tous g 1 , g 2 , g 3 dans G, on a ( g 1 g 2 ) g 3 = g 1 ( g 2 g 3 ) ; 2° élément neutre (nécessairement unique) ∀ g ∈ G g e = eg = g ; 3° inverse : chaque élément g de G admet un inverse (nécessairement unique), c’est- à-dire un élément g −^1 de G tel que g g −^1 = g −^1 g = e.

On note aussi souvent 1 l’élément neutre. Pour tout élément g d’un groupe G, et tout n ∈ Z , on note

g n^ =

n fois ︷ ︸︸ ︷ g · · · g si n > 0 ; e si n = 0 ; − n fois ︷ ︸︸ ︷ g −^1 · · · g −^1 si n < 0.

Si m , n ∈ Z , on a alors la formule habituelle

g m + n^ = g m^ g n^. On dit que G est abélien (ou commutatif) si, pour tous g 1 , g 2 ∈ G, on a g 1 g 2 = g 2 g 1. Dans ce cas, on note généralement la loi de composition additivement ( g 1 + g 2 ), l’élément neutre 0, et l’inverse de g est appelé l’ opposé , noté − g.

8 CHAPITRE I. GROUPES

On dit que le groupe G est fini si c’est un ensemble fini. On appelle alors son cardinal son ordre, noté |G|. Si G et G′^ sont des groupes, on peut former un groupe G × G′^ appelé produit direct en munissant l’ensemble produit de la loi de composition ( g 1 , g ′ 1 )( g 2 , g ′ 2 ) = ( g 1 g 2 , g (^) 1 ′ g ′ 2 ).

Exemples 1.1. — 1° La paire ( Z , +) est un groupe abélien. 2° Si K est un corps (1)^ (comme Q , R ou C ), ( K , +) et ( K ×, ×) sont des groupes abéliens ; plus généralement, pour un anneau A, on a le groupe abélien (A, +) et le groupe multipli- catif (A×, ×) des unités de A (les éléments de A inversibles dans A). 3° Pour tout entier n ∈ N ∗, la paire ( Z / n Z , +) est un groupe fini d’ordre n. Ces groupes sont dits cycliques. 4° Si X est un ensemble, l’ensemble Bij(X) des bijections de X dans X, muni de la com-

position des applications, est un groupe. En particulier, le groupe symétrique S n des bi-

jections de l’ensemble {1,... , n } est un groupe fini d’ordre n !, non abélien pour n 3. 5° Si K est un corps, les matrices n × n inversibles à coefficients dans K forment le groupe général linéaire GL n ( K ). Si E est un K -espace vectoriel, les applications linéaires bijectives de E dans E forment un groupe GL(E) ; si E est de dimension finie n , le choix d’une base de E fournit un isomorphisme entre GL(E) et GL n ( K ). Les applications affines bijectives de E dans E (c’est-à-dire les applications du type x 7 → u ( x ) + b , avec u ∈ GL(E) et b ∈ E) forment aussi un groupe, le groupe général affine, noté GA(E). 6° Plus généralement, si A est un anneau commutatif, on peut former le groupe GL n (A) des matrices inversibles d’ordre n à coefficients dans A : il s’agit exactement des matrices dont le déterminant est dans A×^ (2). Par exemple, le groupe GL n ( Z ) est constitué des ma- trices n × n à coefficients entiers de déterminant ±1.

Exercice 1.2. — Soit G un groupe tel que g^2 = e pour tout g ∈ G. Montrer que G est abélien.

Exercice 1.3. — Montrer que GL n ( Q ) est dense dans GL n ( R ).

1.2. Sous-groupes, générateurs. — Une partie H d’un groupe G est appelée un sous- groupe (on note H ≤ G, et H < G si de plus H 6 = G) si la loi de composition de G se restreint à H et en fait un groupe, ce qui est équivalent aux propriétés suivantes :

1° e ∈ H ; 2° pour tous h 1 , h 2 ∈ H, on a h 1 h 2 ∈ H ; 3° pour tout h ∈ H, on a h −^1 ∈ H.

Exemples 1.4. — 1° L’intersection d’une famille quelconque de sous-groupes d’un groupe G est un sous-groupe de G. 2° Les sous-groupes de Z sont les n Z pour n ∈ N.

1. Dans ces notes, un corps est toujours commutatif, sauf mention expresse du contraire.
2. Si une matrice M admet un inverse M−^1 à coefficients dans A, on obtient, en prenant les dérteminants dans la formule M · M−^1 = I n , la relation d´et(M) d´et(M−^1 ) = 1, qui entraîne que d´et(M) est inversible dans A. Inversement, si d´et(M) est inversible dans A, la formule M· t^ com(A) = d´et(M)I n entraîne que M admet un inverse à coefficients dans A.

10 CHAPITRE I. GROUPES

Exercice 1.11 (. — Soit G le sous-groupe (de type fini) de GL 2 ( Q ) engendré par les matrices 2 0 0 1

) et

( 1 1 0 1

)

. Montrer que le sous-groupe de G qui consiste en les éléments de G dont les coefficients diagonaux sont tous les deux égaux à 1 n’est pas de type fini (3).

1.3. Morphismes (de groupes). — Un morphisme de groupes est la donnée d’une appli- cation f : G → G′^ entre groupes, satisfaisant

∀ g 1 , g 2 ∈ G f ( g 1 g 2 ) = f ( g 1 ) f ( g 2 ).

Si f est bijective, son inverse f −^1 est aussi un morphisme (de groupes) et on dit que f est un isomorphisme. Si en outre G = G′, on dit que f est un automorphisme de G. Si f : G → G′^ est un morphisme de groupes, le noyau et l’ image de f , ker( f ) = { g ∈ G | f ( g ) = e } , im( f ) = { f ( g ) | g ∈ G}

sont des sous-groupes de G et G′^ respectivement. Plus généralement, l’image inverse par f de tout sous-groupe de G′^ est un sous-groupe de G, et l’image par f de tout sous-groupe de G est un sous-groupe de G′. Le morphisme f est injectif si et seulement si ker( f ) = { e } ; il est surjectif si et seulement si im( f ) = G′.

Exemples 1.12. — 1° Soit n ∈ N. La surjection canonique Z → Z / n Z est un morphisme surjectif. Son noyau est le sous-groupe n Z de Z.

2° La signature ε : S n → {±1} est un morphisme de groupes, surjectif lorsque n 2, dont

le noyau est le groupe alterné A n.

Ce groupe est engendré par les 3-cycles ( abc ), car ( ab )( ac ) = ( acb ) et ( ab )( cd ) = ( acb )( acd ). 3° L’application exponentielle exp : ( C , +) → ( C ×, ×) est un morphisme surjectif. Son noyau est le sous-groupe 2 i π Z de C. 4° Soit K un corps. Le déterminant d´et : GL n ( K ) → K ×^ est un morphisme surjectif. Son noyau est le groupe spécial linéaire des matrices de déterminant 1 ; il est noté SL n ( K ). 5° L’ensemble des automorphismes d’un groupe G, muni de la loi de composition des applications, est un groupe noté Aut(G).

Si g ∈ G, l’application

ι g : G −→ G x 7 −→ g xg −^1

est un automorphisme de G. Un tel automorphisme de G est appelé automorphisme inté- rieur de G et

ι : G −→ Aut(G)

est un morphisme de groupes dont le noyau est le centre Z(G).

3. Un théorème de Higman, Neumann et Neumann dit que les sous-groupes des groupes de type fini sont tous les groupes dénombrables (dont la plupart ne sont pas de type fini !).

1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES 11

1.4. Classes à gauche. — Soit H un sous-groupe d’un groupe G. On définit sur G une

relation d’équivalence R par

g 1 R g 2 ⇐⇒ ∃ h ∈ H g 2 = g 1 h.

Les trois propriétés caractéristiques des relations d’équivalence (réflexivité, symétrie, transitivité) se vérifient facilement. La classe d’équivalence d’un élément x ∈ G est g H = { g h | h ∈ H}. Les parties g H (pour g ∈ G) sont appelées classes à gauche de G, et

l’ensemble quotient de G par R, c’est-à-dire l’ensemble des classes à gauche, est noté

G/H. Si cet ensemble est fini, son cardinal, noté [G : H], est appelé l’ indice de H dans G. On peut définir aussi les classes à droite comme les ensembles H g = { hg | h ∈ H}, et l’ensemble des classes à droite est noté H\G. Heureusement, il est à peu près indifférent d’utiliser des classes à droite ou à gauche, car l’application inverse φ : G → G, g 7 → g −^1 , envoie g H sur H g −^1 , donc envoie classes à gauche sur classes à droite, induisant ainsi une bijection

G/H −→ H\G. Soit g ∈ G. L’application H → G, h 7 → g h , induit une bijection

H −→ g H.

En particulier, si H est fini, le cardinal d’une classe à gauche g H est égal à l’ordre de H. Les classes à gauche forment donc une partition de G par des classes de même cardinal. On en déduit le résultat suivant.

Théorème de Lagrange 1.13. — Soit H un sous-groupe d’un groupe fini G_. On a_

|G| = |H|[G : H].

En particulier, l’ordre d’un sous-groupe de G divise l’ordre de G_._

Exercice 1.14. — Soit G un groupe de type fini et soit H un sous-groupe d’indice fini de G. Montrer que H est de type fini ( Indication : si a 1 ,... , am engendrent G, et si g 1 H,... , gn H sont les classes à gauche, avec g 1 = e , on pourra montrer que l’ensemble fini H ∩ { g (^) i −^1 ak g (^) j | 1 … k … m , 1 … i , j … n } engendre H).

1.5. Sous-groupes distingués. — On dit qu’un sous-groupe H d’un groupe G est un sous-

groupe distingué , ou sous-groupe normal , et on note H E G (et H C G si de plus H 6 = G), s’il

est stable par tout automorphisme intérieur, c’est-à-dire si

∀ g ∈ G ∀ h ∈ H g hg −^1 ∈ H. Pour tout groupe G, les sous-groupes { e } et G de G sont distingués. Le groupe G est dit simple s’il n’a pas d’autre sous-groupe distingué et si G 6 = { e }.

Si f : G → G′^ est un morphisme de groupes, ker( f ) E G (attention, il est faux en général

que l’image soit un sous-groupe distingué) ; plus généralement, si H′^ EG′, on a f −^1 (H′)EG.

Il est important de noter que si H est distingué dans G, les classes à droite sont égales aux classes à gauche : pour tout g ∈ G, on a g H = H g puisque g H g −^1 = H. Ainsi G/H = H\G. La réciproque est vraie : si H est un sous-groupe de G tel que G/H = H\G, alors H est distingué dans G.

1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES 13

Exemple 1.18. — Le groupe Z / n Z est le groupe quotient de Z par n Z. On peut en déduire les sous-groupes de Z / n Z : leur image réciproque par la surjection p : Z → Z / n Z est un sous-groupe de Z contenant n Z , donc de la forme d Z pour d | n , donc les sous-groupes de Z / n Z sont exactement les sous-groupes cycliques engendrés par les entiers d tels que d | n. En particulier, le groupe Z / n Z est simple si et seulement si n est un nombre premier.

Théorème 1.19 (Propriété universelle du quotient). — Soit G un groupe, soit H un sous- groupe distingué de G et soit f : G → G′^ un morphisme de groupes. Si ker( f ) ⊇ H , il existe un unique morphisme f ˆ : G/H → G′^ tel que f = f ˆ ◦ p, c’est-à-dire que le diagramme suivant est commutatif

G G′

G/H.

f

p f^ ˆ

En outre, ker( f ˆ ) = ker( f )/H et im( f ˆ ) = im( f ).

Démonstration. — On veut poser f ˆ ( x H) = f ( x ). Cela a un sens à condition que f ( xh ) = f ( x ) pour tout h ∈ H, c’est-à-dire f ( h ) = e , ce qui est précisément le cas puisque ker( f ) ⊇ H. L’application f ˆ : G/H → G′^ ainsi définie est manifestement unique. On vérifie que c’est un morphisme, avec le noyau et l’image indiqués.

Corollaire 1.20. — Si f : G → G′^ est un morphisme de groupes, f ˆ : G/ ker( f ) → im( f ) est un isomorphisme.

Démonstration. — On applique le théorème à f ˜ : G → im( f ), coïncidant avec f mais dont on a restreint le but, et à H = ker( f ). On obtient f ˆ : G/ ker( f ) → im( f ), avec ker f ˆ = ker( f )/ ker( f ) = { e } et im f ˆ = im f ˜ = im( f ).

Corollaire 1.21. — Le sous-groupe 〈 g 〉 engendré par un élément g d’un groupe G est iso- morphe à Z s’il est infini, à Z / n Z s’il est fini, avec n ∈ N ∗. On appelle alors n l’ ordre de g.

En particulier, par le théorème de Lagrange (th. 1.13), l’ordre d’un élément d’un groupe fini G divise l’ordre de G, et un groupe d’ordre un nombre premier p est nécessairement isomorphe au groupe cyclique Z / p Z.

Démonstration. — Le morphisme

φ g : Z −→ G n 7 −→ g n

a pour image 〈 g 〉. Soit φ g est injectif, auquel cas il induit un isomorphisme Z −→〈∼ g 〉, soit son noyau est un sous-groupe n Z de Z , avec n ∈ N ∗^ (ex. 1.4.2°), auquel cas φ g induit, par le corollaire précédent, un isomorphisme ˆφ g : Z / n Z −→〈∼ g 〉.

Exemples 1.22. — 1° On a un isomorphisme S n /A n ' Z /2 Z provenant du morphisme

signature (on peut aussi dire que ce groupe quotient a deux éléments, donc il est néces- sairement isomorphe à Z /2 Z ).

14 CHAPITRE I. GROUPES

2° La restriction du déterminant au groupe diédral D n < O 2 ( R ) induit une surjection D n → {±1}. Son noyau est le sous-groupe de D n engendré par la rotation r. Il est d’indice 2 et est isomorphe à Z / n Z. 3° Le morphisme ι : G → Aut(G), défini par ι( g )( x ) = g xg −^1 , a pour noyau le centre Z(G) et image le sous-groupe Int(G) des automorphismes intérieurs de G, donc Int(G) ' G/Z(G). 4° Le groupe Int(G) des automorphismes intérieurs de G est distingué dans Aut(G). On appelle le quotient Out(G) := G/ Int(G) le groupe des automorphismes extérieurs de G.

Proposition 1.23. — Soit G un groupe et soit H un sous-groupe distingué de G_. 1° Si_ G est de type fini (cf. §1.2), G/H est aussi de type fini (4). 2° Si H et G/H sont de type fini, G est de type fini.

Démonstration. — 1° L’image dans G/H d’une partie génératrice finie de G est une partie génératrice finie de G/H. 2° Soit A une partie finie de G dont l’image dans G/H engendre G/H, et soit B une partie génératrice finie de H. Soit x un élément de G. Sa classe dans G/H s’écrit

x = x ε 11 x ε 22 · · · x ε mm = x 1 ε^1 x 2 ε^2 · · · x ε mm ,

avec ε 1... , ε m ∈ {1, −1} et x 1 ,... , xm ∈ A. Cela entraîne

x − m ε m · · · x − 2 ε^2 x − 1 ε^1 x ∈ H.

et on peut donc écrire

x − m ε m · · · x 2 − ε^2 x 1 − ε^1 x = y ε′ 1 1 y

ε′ 2 2 · · ·^ y

ε′ n n , avec ε′ 1... , ε′ n ∈ {1, −1} et y 1 ,... , yn ∈ B. On en déduit

x = x ε 11 x 2 ε^2 · · · x ε mm y ε′ 1 1 y

ε′ 2 2 · · ·^ y

ε′ n n ,

ce qui prouve que A ∪ B engendre G.

Exercice 1.24. — Soit F q un corps fini à q éléments. Montrer |GL n ( F q )| = ( qn^ − 1)( qn^ − q ) · · · ( qn^ − qn −^1 ), |SL n ( F q )| = ( qn^ − 1)( qn^ − q ) · · · ( qn^ − qn −^2 ) qn −^1. Exercice 1.25. — On rappelle que GL n ( Z ) est le groupe des matrices carrées d’ordre n à co- efficients entiers, dont le déterminant est ±1. a) Montrer que les éléments de GL 2 ( Z ) qui sont d’ordre fini sont d’ordre 1,2,3,4 ou 6 ( Indica- tion : on pourra considérer les valeurs propres des matrices d’ordre fini). b) Déterminer une fonction f : N → N telle que tous les éléments de GL n ( Z ) qui sont d’ordre fini sont d’ordre … f ( n ) (Attention, c’est beaucoup plus difficile !). Exercice 1.26. — Soient K et H des sous-groupes distingués d’un groupe G avec K ≤ H. Mon- trer que le sous-groupe H/K de G/K est distingué et que (G/K)/(H/K) ' G/H. Exercice 1.27. — Soient H et K des sous-groupes d’un groupe G, avec H E G. Montrer que HK := { hk | h ∈ H, k ∈ K} est un sous-groupe de G, que HK = KH = HKH, que H∩K est distingué dans K et que les groupes HK/H et K/(H ∩ K) sont isomorphes.

4. On a vu dans l’exerc. 1.11 que H n’est pas nécessairement de type fini.

16 CHAPITRE I. GROUPES

2. Groupes opérant sur un ensemble

2.1. Actions de groupe. — Une action (à gauche (5)) d’un groupe G sur un ensemble X est la donnée d’une application

G × X −→ X ( g , x ) 7 −→ g · x

telle que

1° pour tout x ∈ X, on a e · x = x ; 2° pour tout x ∈ X et tous g 1 , g 2 ∈ G, on a g 1 · ( g 2 · x ) = ( g 1 g 2 ) · x.

Il résulte de cette définition que, si on pose Φ g ( x ) = g · x , on a

Φ e = IdX , Φ g 1 ◦ Φ g 2 = Φ g 1 g 2.

Une action du groupe G sur l’ensemble X est donc la même chose qu’un morphisme de groupes

Φ : G −→ Bij(X) (2) g 7 −→ Φ g ,

où Bij(X) est le groupe des bijections de X.

Exemples 2.1. — 1° Pour tout ensemble X, le groupe Bij(X) agit sur X. En particulier, le

groupe symétrique S n agit sur l’ensemble {1,... , n }.

2° Soit K un corps. Le groupe GL n ( K ) opère sur K n^.

3 ° Le groupe SL 2 ( R ) opère sur le demi-plan de Poincaré H = { z ∈ C | Im( z ) > 0} par

a b c d

· z =

az + b cz + d

4° Si H ≤ G, alors G opère sur l’ensemble G/H des classes à gauche par g · ( x H) = ( g x )H. Dans le cas particulier où H = { e }, on obtient l’action de G sur lui-même par translation à gauche.

2.2. Orbites. — Soit G un groupe opérant sur X. On vérifie que la relation

x R y ⇐⇒ ∃ g ∈ G y = g · x

est une relation d’équivalence sur X. La classe d’équivalence d’un élément x de X est son orbite G x := { g · x | g ∈ G},

de sorte que G est réunion disjointes de orbites sous G. On appelle l’ensemble des orbites de X sous G le quotient de X par G , noté G\X (6).

5. On utilise parfois les actions à droite , notées ( g , x ) 7 → x · g , et satisfaisant la relation ( x · g ) · g ′^ = x · ( g g ′). Ce n’est pas une action à gauche, mais une action à droite, notée · d , se ramène à une action à gauche, notée ·, en considérant g · x = x · d g −^1.
6. Dans cette notation, le groupe est placé à gauche pour une action à gauche. Pour une action à droite, l’or- bite de x est en bijection avec G x \G et le quotient est noté X/G.

2. GROUPES OPÉRANT SUR UN ENSEMBLE 17

Le stabilisateur de x est le sous-groupe de G défini par G x := { g ∈ G | g · x = x }.

L’application

G −→ G x g 7 −→ g · x

se factorise en une bijection G/G x −→∼ G x (3)

entre l’espace des classes à gauche de G x et l’orbite de x. En particulier, si G est fini, il résulte du théorème de Lagrange (th. 1.13) que les orbites sont finies et que leur cardinal divise |G|. Les stabilisateurs des points d’une même orbite sont tous conjugués : pour tout x ∈ X et tout g ∈ G, on a G g x = g G x g −^1.

L’action de G est transitive si G n’a qu’une seule orbite dans X. Dans ce cas, par (3), l’action de G induit une bijection de G/G x avec X, pour tout x ∈ X. En particulier, si G est fini, X l’est aussi et son cardinal divise |G|.

L’action de G est fidèle si l’application Φ de (2) est injective. Dans le cas général, Φ se factorise en

G Bij(X)

G/ ker Φ.

Φ

Φ^ ˆ

On obtient donc une action fidèle du quotient G/ ker Φ sur X : toute action se factorise ainsi en une action fidèle.

Exemples 2.2. — 1° Soit K un corps. Pour n 1, l’action de GL n ( K ) sur K n^ est fidèle et les orbites sont K n^ {0} et {0}. L’action du groupe affine GA( K n^ ) ( cf. ex. 1.1.5°) sur K n^ est fidèle et transitive. 2° Pour l’action (fidèle) du groupe orthogonal O n ( R ) sur R n^ ( cf. ex. II.4.3.2°), les orbites sont les sphères de rayon > 0, ainsi que {0}. Le stabilisateur d’un point non nul est (iso- morphe à) O n − 1 ( R ), donc, par (3), on a une bijection O n ( R )/O n − 1 ( R ) ' S n −^1. 3° L’action décrite plus haut du groupe SL 2 ( R ) sur le demi-plan de Poincaré est transi- tive. Elle n’est pas fidèle (le noyau de l’action est {±I 2 }). 4° Soit K un corps. Le groupe K ×^ agit sur K n^ {0} et le quotient est K ×( K n^ − {0}) = {droites vectorielles de K n^ },

appelé l’espace projectif (sur K ) et noté P n −^1 ( K ).

5° Si σ ∈ S n , on considère l’action du groupe 〈σ〉 sur {1,... , n }. Alors {1,... , n } est la

réunion disjointe des orbites :

{1,... , n } =

⊔^ r 1

O i.

2. GROUPES OPÉRANT SUR UN ENSEMBLE 19

Les classes de conjugaison de S n sont en bijection avec les partitions de n :

n = k 1 + · · · + kr , r ∈ N , 1 … k 1 … · · · … kr.

Démonstration. — Si x ∉ {τ( a 1 ),... , τ( ak )}, alors τ−^1 ( x ) ∉ { a 1 ,... , ak } donc τστ−^1 ( x ) = x. Si en revanche x = τ( ai ), alors τστ−^1 ( x ) = τσ( ai ) = τ( ai + 1 ). Cela prouve la première partie de la proposition. Pour la seconde, écrivons σ = σ 1 · · · σ r comme produit de cycles à supports disjoints de longueurs k 1 ,... , kr , qu’on peut ordonner de sorte que 1 … k 1 … · · · … kr. Alors

τστ−^1 = (τσ 1 τ−^1 ) · · · (τσ r τ−^1 ) (5)

est encore un produit de cycles disjoints de mêmes longueurs k 1 ,... , kr que ceux de σ, donc une classe de conjugaison détermine bien une partition de n = k 1 + · · · + kr. Récipro- quement, compte tenu des formules (4) et (5), on voit que des permutations correspon- dant à la même partition sont conjuguées.

Exemple 2.9. — 1° Les 2 partitions de 2 sont 1 + 1 et 2. Les classes de conjugaison corres-

pondantes dans S 2 sont {Id} et {(1, 2)}.

2° Les 3 partitions de 3 sont 1 + 1 + 1, 1 + 2 et 3. Les classes de conjugaison correspon-

dantes dans S 3 sont {Id}, {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} et {(1, 2, 3), (1, 3, 2)}.

3° Les 5 partitions de 4 sont 1+ 1 + 1 +1, 1+ 1 +2, 2+2, 1+3 et 4. Les classes de conjugaison

correspondantes dans S 4 sont {Id}, les 6 transpositions, les 3 doubles transpositions, les 8

3-cycles et les 6 4-cycles.

De manière générale, la conjugaison préserve les propriétés d’une transformation. Par exemple, si σ ∈ O 3 ( R ) est une rotation autour d’une droite D et τ ∈ O 3 ( R ), alors τστ−^1 est une rotation de même angle autour de la droite τ(D).

Exercice 2.10. — Soit p un nombre premier impair et soit q une puissance de p. Le but de cet exercice est de décrire les classes de conjugaison de G := SL 2 ( F q ). On rappelle |G| = q ( q^2 − 1) (exerc. 1.24). Pour tout a ∈ F q et tout λ ∈ F × q , on pose

U a :=

( 1 a 0 1

) Vλ :=

( λ 0 0 λ−^1

) .

a) Si a ∈ F × q , calculer le cardinal de la classe de conjugaison de U a. b) Si a , b ∈ F × q , donner une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que U a et U b soient conjuguées dans G. c) Mêmes questions pour les matrices Vλ, pour λ ∈ F q {0, 1, −1}. Soit M ∈ G_. On note_ λ et λ−^1 ses valeurs propres, c’est-à-dire les racines de son polynôme caractéristique, avec λ + λ−^1 = tr(M). Elles sont a priori dans une extension quadratique de F q , c’est-à-dire dans F q 2_. Si e_ ∈ F q F^2 q , une telle extension est donnée par F q 2 = F q [

p e ] : tout élément de F^2 q s’écrit de façon unique a + b p e, avec a , b ∈ F q. d) On suppose λ = 1. Montrer que M est conjuguée dans G à une matrice U a , avec a ∈ F q. e) On suppose λ ∈ F q {0, 1, −1}. Montrer que M est conjuguée dans G à Vλ. f) On suppose enfin λ ∉ F q et on écrit λ = a + b p e , avec a , b ∈ F q , b 6 = 0. Montrer que a^2 − eb^2 = 1 et que M est conjuguée dans G à la matrice R a , b :=

( a eb b a

) ou à la matrice R a ,− b.

20 CHAPITRE I. GROUPES

f) Montrer que dans G, il y a 2 classes de conjugaison avec 1 seul élément, puis 4 classes de conjugaison, chacune avec 12 ( q^2 − 1) éléments, puis 12 ( q − 3) classes de conjugaison, chacune avec q ( q + 1) éléments, puis 12 ( q − 1) classes de conjugaison, chacune avec q ( q − 1) éléments, soit au total

2 × 1 + 4 × 1 2 ( q^2 − 1) + 1 2 ( q − 3) × q ( q + 1) + 1 2 ( q − 1) × q ( q − 1) = q ( q^2 − 1) = |G|

éléments.

2.4. Formule des classes et p -groupes. — La formule des classes n’est que la reformula- tion du fait qu’un ensemble sur lequel un groupe G agit est réunion disjointe des orbites. Son intérêt provient du fait que lorsque G est fini, le cardinal de chaque orbite divise |G|.

Proposition 2.11 (Formule des classes). — Soit G un groupe fini agissant sur un en- semble fini X_. On a_

card(X) =

x ∈R

[G : G x ],

où R ⊆ X est un ensemble contenant exactement un point de chaque orbite.

Démonstration. — La démonstration est facile : X est la réunion disjointe des orbites et par (3), chaque orbite est en bijection avec G/G x pour un élément x de l’orbite.

Un point x ∈ X est un point fixe de l’action de G si g · x = x pour tout g ∈ G, c’est-à-dire si l’orbite de x est réduite à { x }. On note XG^ l’ensemble des points fixes de X sous G.

Exemple 2.12. — Soit K un corps. Le groupe K ×^ agit sur K n^ par multiplication. L’origine 0 est le seul point fixe ; les autres points ont un stabilisateur trivial. Si K est un corps fini F q avec q éléments, le cardinal de K n^ est qn^ et la formule des classes s’écrit donc ( cf. ex. 2.2.4°)

qn^ = 1 + ( q − 1) card( P n −^1 ( F q )).

Proposition 2.13. — 1° Si un p -groupe G (c’est-à-dire un groupe fini non trivial d’ordre une puissance du nombre premier p) agit sur X , alors

card(XG) ≡ card(X) (mod p ).

En particulier, si p - card(X) , l’action de G sur X a au moins un point fixe.

2° Si G est un p-groupe, le centre de G n’est pas réduit à { e }.

Démonstration. — Par la formule des classes, on a

card(X) = card(XG) +

x ∈R−XG

[G : G x ].

Si x n’est pas un point fixe, G x < G, donc [G : G x ] > 1 et divise |G| qui est une puissance de p , donc p |[G : G x ]. La première partie de la proposition en résulte. La seconde partie s’obtient en appliquant le résultat à l’action de G sur lui-même par conjugaison : dans ce cas, on a GG^ = Z(G), donc |Z(G)| ≡ |G| (mod p ), ce qui impose |Z(G)| > 1.