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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Devoir surveillé du samedi 7 mars 2020 (4h)
DEVOIR SURVEILLÉ
Les questions 1) à 4) suivantes sont indépendantes.
1) On note f la fonction x 7 −→
1 − cos( 2 x )
x (e x^ − 1 )
définie sur R∗. Étudier localement f au voisinage de 0 (prolongement par
continuité, dérivabilité, position relative du graphe de f par rapport à sa tangente au voisinage de 0).
2) Calculer : lim n →+∞
n ln
n
n
.
3) Déterminer, en fonction de α ∈ R, un équivalent simple lorsque n tend vers +∞ de :
n
n + 1 n
Arctan
p 4 n^2 + 4 n −
p n
nα
À quelle condition nécessaire et suffisante sur α cette quantité admet-elle 0 pour limite lorsque n tend vers +∞?
4) Montrer que la fonction x
ϕ 7 −→
π − x
sin x
e−^
1 x (^) est bornée sur ]0, π [.
Soit f ∈ Ê 2
[0, 1], R
. On suppose que : f ( 0 ) = f ′( 0 ) = f ( 1 ) = 0.
1) Justifier l’existence des réels : ‖ f ‖∞ = sup [0,1]
| f | et ‖ f ′′‖∞ = sup [0,1]
| f ′′| et d’un réel a ∈ ]0, 1[ pour lequel :
‖ f ‖∞ = f ( a ). Que vaut f ′( a )?
2) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] : f ′( x ) ¶ ‖ f ′′‖∞ min
x , | x − a |.
3) Montrer que :
∫ (^) a
0
min
t , | t − a | d t =
a^2
4
, puis que : f ( a ) ¶
a^2
4
‖ f ′′‖∞.
4) Montrer de même que : f ( a ) ¶
( 1 − a )^2 2
‖ f ′′‖∞ en travaillant sur l’intervalle [ a , 1].
5) Déduire du résultat des questions 3) et 4) que : ‖ f ‖∞ ¶
p 2
‖ f ′′‖∞.
Soit n ∈ N∗^ fixé. On note P n l’ensemble des polynômes trigonométriques réels de degré inférieur ou égal à n , i.e. des fonctions
de la forme x 7 −→ a 0 +
∑^ n
k = 1
ak cos( kx ) + bk sin( kx )
, a 0 ,... , an , b 1 ,... , bn décrivant R.
1) a) Montrer que P n est un sous-espace vectoriel de Ê ∞(R, R).
b) Montrer que P n est stable par dérivation et par translation, i.e. que pour tous f ∈ P n et m ∈ R :
f ′^ ∈ P n et x 7 −→ f ( x + m ) ∈ P n.
c) Montrer que pour tout f ∈ P n , il existe un (vrai) polynôme P ∈ 2 n [ X ] pour lequel pour tout x ∈ R :
f ( x ) = e−i nx^ P
ei x^
2) Soit f ∈ P n.
a) Justifier l’existence des réels : ‖ f ‖∞ = sup R
| f | et ‖ f ′‖∞ = sup R
| f ′| et montrer que | f ′| possède un
maximum sur R.
On note alors m un réel en lequel | f ′| atteint son maximum et ϕ la fonction x 7 −→ f ′( m ) sin( nx ) − n f ( x + m ).
On fait l’hypothèse que : ‖ f ′‖∞ > n ‖ f ‖∞.
b) Montrer que : ϕ ′( 0 ) = ϕ ′( 2 π ) = ϕ ′′( 0 ) = 0.
c) Montrer que ϕ s’annule sur
( 2 k − 1 ) π
2 n
( 2 k + 1 ) π
2 n
pour tout k ∈ Z.
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Devoir surveillé du samedi 7 mars 2020 (4h)
d) En déduire que ϕ s’annule au moins 2 n fois sur [0, 2 π [, puis que ϕ ′′^ s’annule au moins 2 n + 1 fois sur [0, 2 π [.
e) Justifier l’existence d’un polynôme Q ∈ 2 n [ X ] pour lequel pour tout x ∈ R : ϕ ′′( x ) = e−i nx^ Q
ei x^
f) En déduire que ϕ est la fonction nulle.
g) Dénicher une contradiction.
On a ainsi démontré l’ inégalité de Bernstein suivante : ‖ f ′‖∞ ¶ n ‖ f ‖∞, valable pour toute fonction f ∈ P n.
On se donne à présent P ∈ R n [ X ] fixé une fois pour toutes. On ADMET que les réels : ‖ P ‖∞,[−1,1] = sup [−1,1]
| P | et
‖ P ′‖∞,[−1,1] = sup [−1,1]
| P ′| sont bien définis. On souhaite prouver l’inégalité suivante.
Théorème (Inégalité de Markov) ‖ P ′‖∞,[−1,1] ¶ n^2 ‖ P ‖∞,[−1,1].
On ADMET de même que le réel : M = sup x ∈R
P ′(cos x ) sin x est bien défini. On ADMET enfin, pour gagner du temps, que
la fonction x 7 −→ P (cos x ) appartient à P n
3) Montrer que : M ¶ n ‖ P ‖∞,[−1,1].
L’inégalité de Markov sera donc démontrée si on prouve que pour tout x ∈ [0, π ] : P ′(cos x ) ¶ M n.
4) a) Montrer que pour tout x ∈
h 0,
π
2
i : sin x ¾
2 x
π
b) En déduire que pour tout x ∈
π
2 n
( 2 n − 1 ) π
2 n
: P ′(cos x ) ¶ M n.
On note à présent Tn ( X ) le nème^ polynôme de Tchebychev. On rappelle que pour tout x ∈ R : Tn (cos x ) = cos( nx ), que :
deg( Tn ) = n et que si on pose : θk =
( 2 k + 1 ) π
2 n
pour tout k ∈ ¹0, n − 1 º, alors : Tn ( X ) = 2 n −^1
∏^ n −^1
k = 0
X − cos θk
5) a) Montrer que pour tous n ∈ N et x ∈ R : sin( nx ) ¶ n |sin x |.
b) En déduire que n^2 majore | T n ′| sur [−1, 1], puis que : ‖ T (^) n ′‖∞,[−1,1] = n^2.
c) Montrer que pour tout k ∈ ¹0, n − 1 º : T (^) n ′(cos θk ) =
(− 1 ) k^ n
sin θk
6) On note à présent L 0 ,... , Ln − 1 les polynômes de Lagrange de cos θ 0 ,... , cos θn − 1.
a) Montrer que : P ′( X ) =
∑^ n −^1
k = 0
P ′(cos θk ) Lk ( X ) et T (^) n ′( X ) =
∑^ n −^1
k = 0
T n ′(cos θk ) Lk ( X ).
b) Montrer que pour tout k ∈ ¹0, n − 1 º : Tn ( X ) = T (^) n ′(cos θk )
X − cos θk
Lk ( X ).
c) En déduire que pour tout x ∈ [0, π ] \
θ 0 ,... , θn − 1 : P ′(cos x ) =
n
∑^ n −^1
k = 0
(− 1 ) k^ cos( nx )
cos x − cos θk
P ′(cos θk ) sin θk
et T (^) n ′(cos x ) =
∑^ n −^1
k = 0
cos( nx )
cos x − cos θk
d) Montrer enfin que pour tout x ∈
h 0,
π
2 n
h ∪
( 2 n − 1 ) π
2 n
, π
: P ′(cos x ) ¶ M n.
