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Lundi 11 mai 2020
I. Rails de Laplace avec deux barreaux mobiles
Deux barreaux identiques, de masse m, peuvent coulisser sans frottement, sur deux rails fixes parallèles, horizontaux et distants de a.
Ils évoluent dans une zone de l’espace ou règne un champ magnétique uniforme vertical : ^ = avec B 0 > 0.
La résistance électrique du circuit (rails + barreaux) est noté R.
1. Mouvement uniforme du premier barreau
Dans cette première question, le barreau n°1 est mis en mouvement à partir de l’instant t = 0 à vitesse constante = avec v 0 > 0 par un opérateur.
Le deuxième barreau est libre et immobile à l’instant t = 0.
1.a. Faire une hypothèse raisonnable sur l’auto-inductance L du circuit et établir l’équation électrique du circuit. [attention un schéma est indispensable pour introduire le courant i].
1.b. Établir l’équation différentielle mécanique vérifiée par la vitesse = • du barreau n°2.
1.c. Résoudre le système d’équations et donner v 2 (t) ainsi que i(t). Tracer l’allure de v 2 (t) et i(t).
[ne pas hésiter à vérifier l’homogénéité des expressions].
1.d. Énoncer la loi de Lenz et expliquer pourquoi elle est bien vérifiée.
1.e. Déterminer l’expression de la force ^ exercée par l’opérateur au cours du temps sur le barreau n°1.
1.f. Faire un bilan de puissance électrique puis de puissance mécanique pour le barreau n°1 et enfin un bilan pour le barreau n°2.
1.g. Faire apparaitre un terme de couplage et en déduire le bilan électromécanique. Commenter. [le couplage fait intervenir 3 termes]
DEVOIR PAS SURVEILLE N° 7
PHYSIQUE
a
x
y
z
2. Lancement du premier barreau
Dans cette deuxième question, le barreau n°1 est lancé à l’instant t = 0 avec une vitesse constante = avec v 0 > 0. Il n’y a ensuite plus d’action de l’opérateur.
Le deuxième barreau est libre et immobile à l’instant t = 0.
2.a. Établir l’équation électrique du circuit. [on conservera l’hypothèse sur l’auto-inductance faite à la question 1 ].
2.b. Établir les équations différentielles mécaniques vérifiées par les abscisses x 1 et x 2 des barreaux.
2.c. On introduit les variables s = v 1 + v 2 et d = v 1 – v 2 pour découpler le système d’équations. Établir les équations différentielles vérifiées par s et d et les résoudre en tenant compte des CI sur v 1 et v 2 : v 1 (0) = v 0 , v 2 (0) = 0.
2.d. En déduire les expressions de v 1 (t) et v 2 (t). Commenter.
2.e. Déterminer l’énergie dissipée par effet Joule sur l’ensemble de l’évolution [cela nécessite de passer par des bilans de puissance puis de trouver le terme de couplage et enfin d’intégrer sur l’ensemble de l’évolution].
II. Principe de fonctionnement d’un alternateur (d’après Centrale – TSI – 2012)
Dans les centrales électriques, la rotation des turbines entraine des alternateurs dont le principe simplifié de fonctionnement est étudié dans ce problème.
On donne l’expression du champ magnétique créé par un dipôle magnétique situé en O :
=
4^ × 2 ^ + ! "
Le point M où est exprimé le champ ^ est repéré par ses coordonnées polaires (r,θ) en prenant la direction de comme axe fixe définissant θ.
On considère un aimant permanent de dipôle magnétique situé en O, animé d’un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire ω. Le dipôle fait à chaque instant l’angle α = ωt avec l’axe des x.
En un point A de l’axe (Ox) et tel que OA = d, est placée une bobine plate d’axe (Ox), de rayon a et comportant N spires.
On négligera l’épaisseur de la bobine devant d. On supposera également que le rayon a est suffisamment faible pour pouvoir considérer que le champ créé par le moment dipolaire est uniforme et en tout point égal à sa valeur en A.
y
III. Millefeuille magnétique
Un cadre conducteur carré et vertical ABCD de coté a, de masse m et de résistance R tombe dans le champ de pesanteur. Il rencontre une succession de n zones horizontales d’épaisseur a dans
lesquelles règne un champ magnétique ^ horizontal, uniforme et constant. Chaque zone est séparée de ses voisines par des zones sans champ magnétique, également d’épaisseur a. L’ensemble forme ainsi une sorte de millefeuille magnétique.
Répondre en trois lignes maximum :
quelle vitesse v 0 doit avoir le cadre lors de son entrée dans le millefeuille magnétique pour qu’il le traverse à vitesse constante?
