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MPSI 3 - Fermat Le 13.03. 2019-
Devoir surveill´e n◦ 7
CORRECTION
I. Premiers r´esultats
- On a donc u = u^1 = 0.
R´eciproquement, si u = 0, alors u est nilpotent d’indice 0 (car u^0 = idE 6 = 0). Mais, compte-tenu de la question, il semble que cela ne soit pas demand´e
Remarques!
/ Si u est un endomorphisme nilpotent d’indice 1, alors u = 0
A. R´eduction d’une matrice de M 2 (C) nilpotente d’indice 2 Dans toute cette sous-partie A, on suppose que n = 2. Soit u un endomorphisme de E nilpotent d’indice p > 2.
- Puisque u est nilpotent d’indice p, alors up−^1 6 = 0. /
C’est-`a-dire, exactement : il existe un vecteur x de E tel que up−^1 (x) 6 = 0.
- Soient (λk) 06 k 6 p− 1 telle que
p∑− 1
k=
λkuk(x) = 0.
On suppose que {k ∈ [[0, p − 1]] | λk 6 = 0} ⊂ N est non vide. Il existe donc k 0 ∈ [[0, p − 1]] tel que k 0 = min{k ∈ [[0, p − 1]] | λk 6 = 0}.
On a donc
p∑− 1
k=k 0
λkuk(x) =
p∑− 1
k=
λkuk(x) = 0, car pour tout k < k 0 , λk = 0.
On compose alors par up−^1 −k^0 (k 0 6 p − 1, donc p − 1 − k 0 > 0) :
0 = u(p−^1 −k^0 )(0) = up−^1 −k^0
( (^) p− 1 ∑
k=k 0
λkuk(x)
= λk 0 up−^1 (x) +
p∑− 1
k=k 0 +
uk−^1 −k^0 +p(x)
= λk 0 up−^1 (x) +
p−∑ 2 −k 0
h=
uh(
= ︷ ︸︸ ︷ up(x)) ︸ ︷︷ ︸ h=k− 1 −k 0
= λk 0 up−^1 (x)
par lin´earit´e. Or up−^1 (x) 6 = 0, donc λk 0 = 0. Ce qui est absurde. Donc {k ∈ [[0, p − 1]] | λk 6 = 0} = ∅. Ainsi, pour tout k ∈ [[0, p − 1]], λk = 0. /
La famille
uk(x)
06 k 6 p− 1 est libre.
E est de dimension 2, donc
p = card
uk(x)
06 k 6 p− 1
︸︷︷︸^ =
car la famille est libre
rang
uk(x)
06 k 6 p− 1 6 dim^ E^6
Et comme par hypoth`ese, p > 2 : / p = 2.
- Soit x ∈ Im u, il existe a ∈ E tel que u(a) = x et donc u(x) = u^2 (a) = 0 car u^2 = 0. Donc x ∈ Ker u. Ainsi Im u ⊂ Ker u. On a donc rang (u) 6 dim Ker u, puis en ajoutant rang u :
2rang (u) 6 rang (u) + dim Ker u = dim E = 2 ⇒ rang (u) 6 1
d’apres le th´eoreme du rang et en divisant par 2. Or rang (u) = 0 ⇒ u = 0, ce qui est faux. Donc rang (u) = 1, et toujours par th´eor`eme du rang : dim Ker u = 1. Comme les deux espaces sont de mˆeme dimension, l’un inclus dans l’autre : /2,
Ker (u) = Im (u)
- On sait qu’il existe x tel que u(x) 6 = 0. On sait aussi alors que (x, u(x)) libre. C’est donc une base de E. Comme u
u(x)
= u^2 (x) = 0, on a /1,
M(x,u(x)(u) =
= J 2
- Montrons d’abord le r´esultat donn´e. On suppose que A =
a b c d
et B =
e f g h
det(AB) = det /
ae + bg af + bh ce + dg cf + dh
= (ae + bg)(cf + dh) − (af + bh)(ce + dg) = aecf + aedh + bgcf + bgdh − af ce − af dg − bhce − bhdg = ad(eh − f g) + bc(gf − eh) = (ad − bc)(eh − f g) = det(A) × det(B)
Consid´erons une matrice M nilpotente, on note u, l’endomorphisme canoniquement associ´e. Alors u est nilpotent.
M(uk) = M k^ = 0
Si l’indice p est 1, u = 0 et M = 0, donc tr(M ) = 0 et det(M ) = 0. Si l’indice p > 2, alors on a vu que p = 2 et il existe B de E telle que MB(u) = J 2. Donc M est semblable `a J 2 : il existe P ∈ GL 2 (C) tel que M = P J 2 P −^1. On a alors det(M ) = det(P J 2 P −^1 ) = det P det J 2 det P −^1 = det P × 0 det(P −^1 ) = 0. et tr(M ) = tr(P J 2 P −^1 ) = tr(P −^1 P J 2 ) = tr(J 2 ) = 0 + 0 = 0. Donc si M ∈ M 2 (C) est nilpotente, alors det(M ) = 0 et tr(M ) = 0. /1, R´eciproquement, supposons que det(M ) = 0 et tr(M ) = 0. Notons M =
a b c d
. Alors
M 2 =
a^2 + bc ab + bd ca + dc cb + d^2
bc − ad 0 0 bc − ad
+(a+d)
a b c d
= − det(M )M +tr(M )I 2 = 0 2
Donc M est nilpotente. /1,
Les matrices nilpotentes de M 2 (C) sont exactement les matrices de trace et d´eterminant nuls.
B - R´eduction d’une matrice de Mn(C) nilpotente d’indice 2 On suppose que n > 3. Soit u un endomorphisme de E nilpotent d’indice 2 et de rang r.
- u^2 = 0, donc pour tout y ∈ Im u, il existe x ∈ E tel que y = u(x) et donc u(y) = u^2 (x) = 0, donc y ∈ Ker u. /
Im (u) ⊂ Ker (u)
On a donc, en prenant les dimensions : rang u 6 dim Ker u, en additionnant rang (u). : /
2 r = 2rang (u) 6 dim Ker u + rang (u) = dim(E) = n
d’apres le th´eoreme du rang.
- Im u est de dimension r. Il existe f 1 ,... fr ∈ Im u tel que (f 1 , f 2 ,... fr ) base de Im u. Or pour tout i ∈ Nr , fi ∈ Im u, donc il existe ei ∈ E tel que u(ei) = fi.
Soient λ 1 ,... λr , μ 1 ,... μr ∈ C tel que
∑^ r
i=
λiei +
∑^ r
i=
μiu(ei) = 0.
Si l’on compose par u :
∑^ r
i=
λiu(ei) +
∑^ r
i=
μiu^2 (ei) = u(0) = 0.
Or u^2 (ei) = 0 car u^2 = 0.
Donc
∑^ r
i=
λiu(ei) =
∑^ r
i=
λifi = 0 ainsi ∀ i ∈ Nr , λi = 0, car (f 1 ,... fr ) libre.
Puis,
∑^ r
i=
λiei +
∑^ r
i=
μiu(ei) =
∑^ r
i=
μiu(ei) = 0.
Pour les mˆemes raisons que pr´ec´edemment : pour tout i ∈ Nr , μi = 0. Ainsi, la famille
e 1 , u(e 1 ), e 2 , u(e 2 ),... , er , u(er )
est libre.
- Soit A, une matrice triangulaire de Mn(C)
a diagonale nulle. Sans perte de g´en´eralit´e, on suppose que A est triangulaire sup´erieure. Sinon, on considere AT^. Posons, pour tout k ∈ N∗^ :
Pk : ∀ i, j ∈ Nn, i > j − k + 1 =⇒i^ [Ak]j = 0
— Par d´efinition de A, tous les coefficients sous la diagonale (inclus) sont nuls. Donc si i > j = j − 1 + 1, i[A]j = 0. Donc P 1 est vraie. — Soit k ∈ N∗. On suppose que Pk est vraie. Soient i, j ∈ Nn et i > j − (k + 1) + 1 = j − k i.e. j 6 i + k
i[Ak+1] j =
∑^ n
h=
i[Ak] h ×^ h[A] j =
∑^ j−^1
h=
i[Ak] h ×^ h[A] j +
∑^ n
h=j
i[Ak] h ×^ h[A] j
Or
- si h > j, h[A]j = 0, donc
∑^ n
h=j
i[Ak] h ×^ h[A] j = 0
- si h 6 j − 1, alors h 6 i + k − 1, donc i > h − k + 1 et donc d’apr`es Pn : i[Ak]h = 0,
Ainsi
j∑− 1
h=
i[Ak] h ×^ h[A] j = 0
Ainsi, si i > j − (k + 1) + 1, i[Ak+1]j = 0. Donc Pk+1 est vraie. Alors, comme pour tout i, j ∈ Nn, i − j > n − 1, i[An]j = 0. /
Une matrice triangulaire de Mn(C) `a diagonale nulle est nilpotente
On peut aussi faire la d´emonstration avec u, l’endomorphisme canoniquement associ´e (avec l’espace E = Cn et la base canonique). C’est assez classique
Remarques!
- Soit P = QXp^ ∈ C[X], un polynˆome (quelconque) multiple de Xp. Alors P (A) = Q(A) × Ap^ = Q(A) × 0 = 0. /
Si A est nilpotente d’indice p, alors pour tout Q polynˆome de C[X], QXp^ est annulateur de A.
R´eciproquement. On suppose que P est un polynˆome annulateur de A nilpotente d’indice p.
- Soit X ∈ Ker A, alors, en notant P =
∑^ d
k=
akXk,
0 = 0 × X = P (A) × X = (
∑^ d
k=
akAk)X = a 0 X +
∑^ d
k=
akAk−^1 × AX ︸︷︷︸ =
(^) = a 0 · X = P (0) · X
Par ailleurs A n’´etant pas inversible, sinon, Ap^ le serait, Ker A 6 = ∅. On peut donc consid´erer X 6 = 0. Donc n´ecessairement : a 0 = P (0) = 0. /
Ainsi 0 est racine de P.
Autre m´ethode : Supposons que P ∧ Xp^ = 1. D’apres le th´eoreme de B´ezout, il existe U, V ∈ C[X] tels que U Xp^ + V P = 1. En appliquant en A : U (A)Ap^ + V (A)P (A) = In. Or Ap^ = P (A) = 0, on a donc 0 = In. Absurde. Donc P ∧ Xp^6 = 1. Comme (P ∧ Xp)|Xp, n´ecessairement il existe a( 6 p) tel que Xa^ = P ∧ Xp^ et donc X|Xa|P.
Remarques!
- Comme Q(0) 6 = 0 alors Q ∧ Xp^ = 1. Donc d’apr`es B´ezout : il existe U, V ∈ C[X] tel que U Q + V Xp^ = 1 En composant en A : U (A) × Q(A) + V (A)Ap^ = In = U (A) × Q(A)
car Ap^ = 0. /2, Donc Q(A) est inversible. Son inverse est un polynˆome en A
On a alors P (A) = 0 = AmQ(A). En multipliant par U (A) `a droite : Am^ = 0. Et donc par d´efinition de p, m > p. /
P = Xp^ × (Xm−pQ), donc P est un multiple de Xp.
- En faisant la synth`ese des deux questions pr´ec´edentes : /1,
{T ∈ C[X] | T (A) = 0} = XpC[X]
D. Racines carr´ees de matrices nilpotentes On se propose d’´etudier l’existence et les valeurs de racines carr´ees ´eventuelles de matrices nilpotentes.
On note A =
(^) et u l’endomorphisme de C^3 canoniquement associ´e `a A.
- C’est imm´ediat, tr(A) = 0. On remarque que C 2 (A) = 3C 1 (A) et C 3 (A) = − 7 C 1 (A). Donc rg(A) 6 1. Par ailleurs, C 1 (A) 6 = 0, donc rg(A) > 1. /
tr(A) = 0 et rg(A) = 1
A^2 = 0, / A est nilpotente ; son indice de nilpotence vaut 2.
- Prenons la colonne X =
. On a alors Y = AX =
(^) et AY = A^2 X = 0.
Puis avec Z =
, on a AZ = 0.
Enfin, notons que (X, Y, Z) est une famille libre donc une base de M 3 , 1 (C).
Soit P =
(^) = (X|Y |Z). Par blocs on a :
A × P = (AX|AY |AZ) = (Y, 0 , 0) = (X|Y |Z) ×
(^) = P × diag(J 2 , J 1 )
Comme P est inversible : /
A est semblable `a la matrice diag(J 2 , J 1 ).
On cherche a d´eterminer l’ensemble des matrices R ∈ M 3 (C) telles que R^2 = A. On note ρ l’endomorphisme canoniquement associ´ea R.
- Notons que R^2 = A, donc AR = R^2 × R = R^3 = R × R^2 = RA Donc R et A commutent, donc /
u et ρ commutent
- Soit x ∈ Ker u. u (ρ(x)) = (u ◦ ρ)(x) = (ρ ◦ u)(x) = ρ (u(x)) = ρ(0) = 0 Donc ρ(x) ∈ Ker u. Ainsi Ker u est stable par ρ. Soit y ∈ Im u. Il existe a ∈ E tel que y = u(a) ρ(y) = ρ (u(a)) = (ρ ◦ u)(a) = (u ◦ ρ)(a) = u (ρ(a)). Donc ρ(y) ∈ Im u. Ainsi Im u est stable par ρ. /
Im (u) et Ker (u) sont stables par ρ
Par ailleurs, ρ^4 = (ρ^2 )^2 = u^2 = 0 / ρ est nilpotent.
(b) Soit n > 3. Soit p = 2, on a bien 2p − 1 = 3 > n. Soit V = diag(J 2 , On− 2 ). V 2 = diag(J 22 , On− 2 ) = diag(O 2 , On− 2 ) = 0. Donc V est nilpotente d’indice p = 2.
Puis en suivant la r´eponse 5., on prend la matrice (β = γ = 1), W = diag
(^) , On− 3
on trouve
W 2 = diag
2 , On− 3
= diag(J 2 , On− 2 ) =^ V
/ Pour toute valeur de n > 3, V = diag(J 2 , On− 2 ) est nilpotente d’indice 2 et admet une racine carr´ee.
II. G´en´eralisations et applications
On cherche dans cette partie `a g´en´eraliser les r´esultats des sous-parties I.A et I.B.
A - R´eduction des matrices nilpotentes On suppose n > 2. Soit u un endomorphisme de E nilpotent d’indice p > 2.
- Soit y ∈ Im u. u(y) ∈ Im u, donc n´ecessairement /0,
Im (u) est stable par u.
On note ˜u : Im u → Im u, x 7 → u(x). Alors pour tout x ∈ Im u, il existe a ∈ E tel que u(a) = x. u˜p−^1 (x) = up−^1 (x) = up(a) = 0. Donc u est nilpotent d’indice 6 p − 1. Par ailleurs, il existe x tel que up−^1 (x) 6 = 0, car up−^1 6 = 0. Et donc ˜up−^2 (u(x)) 6 = 0 et u(x) ∈ Im u. Donc l’indice de ˜u > p − 2. /1,
L’endomorphisme induit par u sur Im (u) est nilpotent, d’indice de nilpotence ´egale `a p − 1.
- Pour tout vecteur x non nul de E, on note Cu(x) l’espace vectoriel engendr´e par les
uk(x)
k∈N. On rappelle que up^ = 0. Donc Cu(x) = vect
x, u(x),... up−^1 (x)
Soit a ∈ Cu(x). Il existe a 0 , a 1 ,... ap− 1 tel que a =
p∑− 1
k=
akuk(x).
Donc u(a) =
p∑− 1
k=
akuk+1(x) ∈ Cu(x).
{k | uk(x) = 0} ⊂ N, non vide (il contient p) donc admet un plus petit ´el´ement : s(x). On a alors, n´ecessairement, pour tout k > s(x), uk(x) = uk−s(x)(us(x)(x)) = 0. /1,
Cu(x) est stable par u et il existe un plus petit entier s(x) > 1 tel que us(x)(x) = 0.
- Nous avons vu que Cu(x) = vect
x, u(x),... up−^1 (x)
Or pour tout k ∈ [[s(x), p − 1]], uk(x) = 0. Donc
x,... , us(x)−^1 (x)
est g´en´eratrice de Cu(x).
Par ailleurs, supposons
s( ∑x)− 1
k=
λkuk(x) = 0.
Supposons que {k ∈ [[0, s(x) − 1]] | λk 6 = 0} est non vide. Il admet un plus petit ´el´ement K.
Alors
s( ∑x)− 1
k=K
λkuk(x) = 0.
En composant par us(x)−K−^1 , on trouve λK us(x)−^1 (x) +
s( ∑x)− 1
k=K+
λk · 0 = 0.
Or λK 6 = 0K et us(x)−^1 6 = 0E. Impossible. Donc {k ∈ [[0, s(x) − 1]] | λk 6 = 0} = ∅. Et la famille
x, u(x),... , us(x)−^1 (x)
est libre. / ( x, u(x),... , us(x)−^1 (x)
est une base de Cu(x)
Le calcul est imm´ediat : /
La matrice, dans cette base, de l’endomorphisme induit par u sur Cu(x) est Js(x).
- On fait la d´emonstration par r´ecurrence, comme indiqu´e. Posons pour tout p ∈ N∗, /0,
Qp : Si u est nilpotente d’indice p sur E, il existe x 1 ,... , xt de E tels que E =
⊕^ t
i=
Cu(xi).
— Pour p = 1, on consid`ere u nilpotent d’indice 1. Alors u = 0. En prenant une base quelconque de E : (e 1 ,... en), on trouve, pour tout i ∈ Nn : Cu(ei) = {ei} car u(ei) = 0. Ainsi E =
⊕n i=1 Cu(ei). Donc Q 1 est vraie. / — Soit p ∈ [[1, n − 1]]. Supposons que Qp est vraie. Soit u, nilpotente d’indice p + 1. Im u est stable par u. On note ˜u : Im u → Im u, x 7 → u(x). Alors ˜u est lin´eaire. Pour tout x = u(a) ∈ Im u, ˜up(x) = up(x) = up+1(a) = 0 car up+1^ = 0. Par ailleurs, il existe b ∈ E tel que up(b) 6 = 0, donc ˜up−^1 (u(b)) 6 = 0. Ainsi, ˜u est nilpotente d’indice p. On peut donc appliquer Pp. Et donc il existe x 1 ,... xt ∈ Im u tel que Im u =
⊕t i=1 Cu˜(xi). Or pour tout i ∈ Nt, il existe ai ∈ E tel que xi = u(ai) et par suite
Cu(ai) = {uk(ai); k ∈ N} = {ai, xi, u(xi).. .} = vect
{ai} ∪ Cu˜(xi)
= vect(ai) + C˜u(xi)
Or cette somme est directe car une base de Cu(ai) est (ai, u(ai),... us(ai)−^1 (ai) ︸ ︷︷ ︸ g´en´erateurs de Cu˜(xi)
Donc Cu(ai) = vect(ai) ⊕ Cu˜(xi) Soit, pour tout i ∈ Nt yi ∈ Cu(ai) tel que
∑^ t
i=
yi = 0.
Alors
∑^ t
i=
u(yi) = u(0) = 0. Or chaque u(yi) ∈ Cu˜(xi),
donc comme la somme est directe : pour tout i ∈ Nt, u(yi) = 0. yi ∈ Ker u ∩ Cu(ai).
Puis yi =
s( ∑ai)− 1
k=
λkuk(ai), donc u(yi) = 0 =
s( ∑ai)− 1
k=
λk− 1 uk(ai).
Or la famille (ai, u(ai),... us(ai)−^1 (ai)) est libre, donc pour tout k 6 s(ai) − 1, λk− 1 = 0. Par cons´equent yi = λs(ai)− 1 us(ai)−^1 (ai) ∈ C˜u(xi). Or, `a nouveau la somme
⊕t i=1 C˜u(xi) est directe, donc^ ∀^ i^ ∈^ Nt,^ yi^ = 0. On a donc la somme directe
⊕t i=1 Cu(ai). Egalement, pour tout i ∈ Nt, us(ai)−^1 (ai) 6 = 0 et u(us(ai)−^1 (ai)) = us(ai)−^1 (ai) = 0. Donc us(ai)−^1 (ai) ∈ Ker u. On applique le th´eoreme de la base incomplete, comme dim(Ker u) = n − r, il existe n − r − t vecteurs at+1,... an−r tels que (us(a^1 )−^1 (a 1 ),... , us(at)−^1 (at), at+1,... an−r ) soit une base de Ker u. Pour tout i > t + 1, Cu(ai) = {ai} (car u(ai) = 0). Puis, comme pr´ec´edemment, la somme est directe :
⊕n−r i=1 Cu(ai). En effet : n∑−r
i=
yi = 0 ⇒
∑^ t
i=
u(yi) + 0 = 0 ⇒ u(yi) = 0 ⇒ yi ∈ vect
us(ai)−^1 (ai)
Or la famille (us(a^1 )−^1 (a 1 ),... , us(at)−^1 (at), at+1,... an−r ) est libre donc pour tout i, yi = 0. Et par ailleurs, (sommes directes)
dim
⊕n−r i=1 Cu(ai)^ =
n∑−r
i=
dim(Cu(ai)) =
∑^ t
i=
(1 + dim(Cu˜(xi)) +
n∑−r
t+
1 = t +
∑^ t
i=
dim(Cu˜(xi)) + n − r − t
= n − r + dim(⊕ti=1Cu˜(xi)) = n − r + dim(Im u) = n = dim(E)
Donc E =
⊕n−r i=1 Cu(ai). Donc^ Pp+1^ est vraie.^ /3,
Si u est nilpotente d’indice p, il existe des vecteurs x 1 ,... , xt de E tels que E =
⊕^ t
i=
Cu(xi).
car si i ∈ Λj− 1 \ Λj , alors αi > j − 1, et αi < j, donc αi = j − 1. On a donc par d´efinition de Λj = {i ∈ Nk| αi ≥ j}, /
dj est ´egal au nombre de blocs Jα dont la taille α est sup´erieure ou ´egale `a j.
- Le nombre de blocs Jα est ´egale au nombre de blocs dont la taille est sup´erieure ou ´egale
a 1. Il est donc ´egala d 1 = rg(u^0 ) − rg(u^1 ) = rg(id) − rg(u) = n − r /1,
k = n − r
- On note ∆j = {i ∈ Nk | αi = j} On a la r´eunion disjointe : ∆j
Λj+1 = Λj , donc
card(∆j ) + card(Λj+1) = card(Λj ) ⇒ card(∆j ) = card(Λj ) − card(Λj− 1 ) = dj − dj+
/ card(∆j ) = dj − dj+1 = rg(uj−^1 ) − 2rg(uj^ ) + rg(uj+1)
C’est le nombre de blocs Jαi de taille exactement ´egale `a j.
- N´ecessairement, σ et σ′^ ont toute deux k = n − r termes. Puis n´ecessairement, il y a autant de blocs de taille j pour tout j. Enfin, les blocs ´etant rang´es par ordre d´ecroissants : /
σ = σ′
- A chaque matrice nilpotente, on peut associer une unique partition σ de n tel que M est semblable `a Nσ. Il y a donc au plus autant de matrices nilpotentes non semblables que card(Γn). R´eciproquement, pour deux permutations distinctes, on obtient deux matrices non semblables, /
Le cardinal maximal d’un ensemble de matrices nilpotentes, toutes de mˆeme taille n, telles qu’il n’y ait pas dans cet ensemble deux matrices semblables est card(Γn)
C - Applications
- Soient A la matrice
et u l’endomorphisme canoniquement associ´e `a
A.
On note que, par r´eduction li´ee :
Im (A) = vect
C 1 (A), C 2 (A), C 3 (A), C 4 (A), C 5 (A)
= vect
C 2 (A), C 4 (A), C 5 (A)
Or cette derni`ere famille est libre donc r = rg(A) = 3. Egalement :
A^2 =
A^3 =
Ainsi p = 3, indice de nilpotence de A. D’apres la question B.6., il y a donc n − r = 5 − 3 = 2 blocsa determiner. D’apr`es la question B.3., le premier bloc est de taille 3. Le second est n´ecessairement de taille 2, pour qu’on puisse avoir une partition de 5. /
On a σ = (3, 2) et Nσ = diag(J 3 , J 2 )
- Soit M ∈ Mn(C) nilpotente. On note u l’endomorphisme canoniquement associ´e. Alors, d’apr
es II.A.5., il existe une base B′, t ∈ N α 1 ,... αt tels que MB′ = diag(Jα 1 ,... Jαt ). Donc M est semblablea M := diag(Jα 1 ,... Jαt ). Et donc 2M est semblable avec 2M et M T^ semblable `a M
T . Supposons que B′^ = (e′ 1 ,... e′ n).
Notons B′′^ = (e′ 1 , 12 e′ 2... (^2) n^1 − 1 e′ n) = (f 1 ,... fn). Alors B′′^ est une famille libre maximale de E, donc c’en est une base.
u(fi) = u(
2 i−^1
e′ i) =
2 i−^1
u(e′ i) =
0 si u(e′ i) = 0 1 2 i−^1 e
′ i+1 = 2^
1 2 i^ ei+1^ = 2f^ (fi+1)^ sinon
Donc MB′′ (u) = 2MB′ (u) = 2M. Donc M est semblable avec 2M , elle mˆeme semblable avec 2M. /
Par transitivit´e : M est semblable avec 2M.
Consid´erons maintenant la base
B(3)^ =
eα 1 , eα 1 − 1 ,... e 1 , eα 2 +α 1 ,... eα 1 +1, · · · , en,... eα 1 +···+αt− 1 +
= (g 1 ,... gn)
(On inverse l’ordre des vecteurs par paquets de Cu(xi).) Alors pour i ∈ Nt, M(eα 1 +···+αi ,eα 1 +···+α 1 − 1 ,...eα 1 +···+αi− 1 +1)(u|Cu(xi)) = JαTi. Et donc par blocs : MB(3) (u) = M T . Ainsi M est semblable a M T , elle mˆeme semblablea M T^. /
Par transitivit´e : M est semblable avec M T^.
