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Les exercices sont indépendants.
Durée : 4 heures. On s’efforcera d’argumenter rigoureusement ses raisonnements en évitant le style télégraphique et en rédigeant de vraies phrases (sujet, verbe et compléments éventuels !). On encadrera la réponse finale de chaque question. Si on est amené à admettre la réponse à une question, on l’indiquera clairement sur la copie. NPNPN
Exercice 1 – Intégrales de Wallis, formule de Stirling et intégrale de Gauss
L’objectif de cet exercice est de démontrer des résultats fondamentaux en analyse. La partie I étudie les intégrales de Wallis, qui permettront dans les parties II et III d’établir le formule de Stirling et de calculer l’intégrale de Gauss. Il est par conséquent interdit d’utiliser la formule de Stirling pour justifier les résultats des parties I et II. Les parties II et III sont complètement indépendantes entre elles et utilisent la conclusion de la question 8 de la première partie. La partie IV est indépendantes des autres, à l’exception de sa dernière question qui exploite la conclusion de la partie III. Partie I – Étude des intégrales de Wallis On considère, pour tout n de N,
Wn =
∫ (^) π/ 2
0
cosn^ tdt.
- Calculer W 0 et W 1.
- Montrer, à l’aide d’un changement de variable affine que, pour tout n de N,
Wn =
∫ (^) π/ 2
0
sinn^ udu.
- Justifier que, pour tout n de N, Wn > 0.
- Montrer que la suite (Wn)n∈N est décroissante et convergente.
- À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout n de N, (n + 2)Wn+2 = (n + 1)Wn.
- Montrer que la suite
(n + 1)Wn+1Wn
n∈N est constante et préciser sa valeur.
- On pose, pour tout n de N, an =
(2n)! 4 n(n!)^2. Montrer que, pour tout n de N, W 2 n = π 2
an et W 2 n+1 = 1 (2n + 1)an
- a) Montrer que, pour tout n de N avec n > 2 , 1 6 Wn−^1 Wn
6 Wn−^2 Wn
b) Calculer la limite des suites de terme général : Wn−^2 Wn
, Wn−^1 Wn
et nW^2 n. c) Montrer finalement que
Wn (^) n→∼+∞
π 2 n.
- a) Montrer que pour tout n de N∗,
π
n + 1
6 an 6
√^1
π
n. b) En déduire que an (^) n→∼+∞ √^1 πn. c) Déterminer la nature de la série de terme général an. d) Déterminer, en énonçant très précisément le théorème employé, la nature de la série de terme général (−1)nan.
Partie II – Formule de Stirling On pose, pour tout n de N∗,
un = n!e
n nn
n
et vn = ln un+1 − ln un.
- a) Exprimer simplement vn en fonction de n, et en déduire que, lorsque n tend vers +∞, vn = O
n^2
b) En déduire la convergence de la suite (un)n> 1 puis l’existence d’une constante réelle K telle que
n! (^) n→∼+∞ K
n
( (^) n e
)n .
- a) En utilisant cet équivalent, calculer un équivalent simple de W 2 p.
b) En déduire la valeur de K et énoncer la formule de Stirling. Partie III – Intégrale de Gauss On note, sous réserve d’existence,
G =
−∞
exp(−x^2 )dx.
- Justifier l’existence de G. G s’appelle l’intégrale de Gauss.
- a) Justifier que, pour tout réel u, on a eu^ > 1 + u. b) Soit n un entier naturel non nul. Montrer que :
(1 − u)n^6 e−nu^ si u 6 1 , e−nu^6
(1 + u)n^ si^ u >^ −^1.
- a) Démontrer que pour tout n de N∗, on a :
∫ (^1)
0
(1 − x^2 )ndx 6
0
e−nx^2 dx 6
0
dx (1 + x^2 )n^. b) En déduire, à l’aide de changements de variable, pour tout n de N∗^ :
W 2 n+1 6
√^1
n
0
e−u
2 du 6 W 2 n− 2.
c) En déduire la valeur de G. Partie IV – Étude d’une fonction définie par une intégrale On définit la fonction f sur R par
f : x 7 →
∫ (^) x
0
e−t^2 dt.
- Justifier que f est une fonction impaire, dérivable et strictement croissante sur R.
- a) Montrer que f est indéfiniment dérivable sur R. b) Montrer que, pour tout n de N∗, il existe une fonction polynomiale pn telle que
∀x ∈ R f (n)(x) = pn(x) exp(−x^2 ).
c) Montrer que f admet un développement limité en 0 à l’ordre 5 que l’on précisera. On énoncera rigoureuse- ment le théorème employé.
- À l’aide de la partie précédente, montrer que f admet en +∞ une limite que l’on précisera.
- On pose, pour tout n ∈ N∗^ et s ∈ R, θn(s) =
∑^ n
k=
(−1)k+ ks^
a) Montrer que, pour tout n ∈ N∗, θ 2 n(1) = H 2 n − Hn. b) En déduire θ(1). c) La fonction θ est-elle continue à droite en 1?
- On décide de sommer les termes (−1)
n+ n
dans un ordre différent de celui de la question précédente. On prend d’abord un terme positif, suivi de deux termes négatifs, puis à nouveau un terme positif, puis les deux termes négatifs suivants, etc. On souhaite donc calculer :
S = 1 − 1 2
+^1
+^1
a) Montrer que cela revient à s’intéresser à la série de terme général tn défini par
∀n ∈ N∗, tn =
1 /(2k + 1) si n = 3k + 1, − 1 /(4k + 2) si n = 3k + 2, − 1 /(4k + 4) si n = 3k + 3.
b) En remarquant que t 3 k+1 + t 3 k+2 =
4 k + 2 , montrer que
∀N ∈ N∗,
∑^ 3N
n=
tn =^1 2
θ2N(1).
c) En déduire la convergence de la série
n> 1
tn ainsi que la valeur de S.
d) Comparer S à θ(1). En quoi ces résultats peuvent-ils paraître paradoxaux?
NPNPN
NPNPN
