UFR Math´
ematiques Universit´
e Rennes 1
Licence 3`eme ann´ee Ann´ee 2006/2007
Int´egration et probabilit´es - TD 8
Exercice 1. De la loi uniforme aux lois discr`etes
1. Soient Xune variable al´eatoire de loi uniforme sur [0,1] et p∈]0,1[. Quelle est la loi de Y=1{X≤p}?
2. Construire `a l’aide de Xune variable al´eatoire Zprenant les valeurs a,bet cavec probabilit´e p,qet r;p,
q,rsont trois r´eels de [0,1] tels que p+q+r= 1.
Exercice 2. Calculs classiques
Calculer la moyenne, la variance ainsi que la s´erie g´en´eratrice de la variable al´eatoire Xdans les cas suivants :
1. Xsuit la loi de Bernoulli de param`etre p;
2. Xsuit la loi binomiale de param`etres net p;
3. Xsuit la loi g´eom´etrique de param`etre p;
4. Xsuit la loi de Poisson de param`etre λ > 0.
Mˆeme question en rempla¸cant s´erie g´en´eratrice par fonction caract´eristique :
1. Xde loi exponentielle de param`etre λ > 0 ;
2. Xde loi uniforme sur [a, b] ;
3. Xde loi gaussienne N(m, σ2).
Exercice 3. Fonction de r´epartition
Soit Xune v.a.r. de fonction de r´epartition Favec F(x) = 0 si x < 0, F(x) = x/4 si 0 ≤x < 1, F(x) = x/2 si
1≤x < 2 et F(x) = 1 si x≥2.
1. Tracez le graphe de F
2. Calculer P(X= 1/2), P(X= 1), P(X∈]1/2,3/2]).
3. Xposs`ede-t-elle une densit´e ?
Exercice 4.
Soit Xde loi exponentielle de moyenne 1. D´eterminer la fonction de r´epartition de min(X, 1/X).
Exercice 5.
Soient Dune partie dense de R,Xet Ydeux variables al´eatoires r´eelles. On suppose que, pour tout t∈D,
P({X≤t}) = P({Y≤t}). Montrer que Xet Yont la mˆeme loi.
Exercice 6. Calculs de lois
`
A quelle condition sur α, la fonction pd´efinie par p(x) = αxα−1si 0 < x < 1, p(x) = 0 sinon est-elle une densit´e
de probabilit´e ? Montrer que la loi de Y=−αln(X) ne d´epend pas de α.
Exercice 7. Variables al´eatoires discr`etes
Soit Xune variable al´eatoire dans Z∗de loi donn´ee par
∀k∈Z∗,P(X=k) = 2−(|k|+1).
On d´efinit la variable al´eatoire Yen posant
Y(ω) = (X(ω) si X(ω)≥0,
−X(ω) + 1 si X(ω)<0.
D´eterminer la loi de Y.
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