[Baccalauréat C Rennes juin 1971 \
EXER CIC E 1
Soit fla fonction qui associe, à tout nombre réel x, le nombre réel
f(x)=¯
¯e2x−ex¯
¯−2.
1. Étudier les variations de f.
La fonction fest-elle continue, dérivable pour la valeur 0 de la variable x?
Construire la représentation graphique (Γ) de fdans un plan rapporté à un re-
père orthonormé d’axes x′Oxet y′Oy(on prendra 2 centimètres comme unité
de longueur).
2. (Γ) coupe l’axe y′Oyen A. Soit λun nombre réel négatif et (Dλ)la droite
d’équation x=λ.
Exprimer, en centimètres carrés et en fonction de λ, l’aire Sλde l’ensemble
des points dont l’abscisse est comprise entre λet 0 et qui sont situés entre (Γ)
et la parallèle à x′Oxmenée par A.
EXER CIC E 2
Donner, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division euclidienne
de 4npar 7.
Un entier As’écrit 13 321 dans le système de numération de base quatre. Quel est le
reste de la division de Apar 7 ?
PROB LÈM E
L’univers du problème est un plan euclidien (Π) rapporté à un repère orthonormé
d’axes x′Ox,y′Oy.
aétant un nombre réel strictement positif, soit (C) le cercle de centre O et de rayon
a.
Soit Gl’ensemble des cercles du plan (Π) orthogonaux à (C) et de rayon non nul. (Γ)
étant un élément de G, on appelle ωson centre et (D) la polaire de O par rapport à
(Γ) ; si P désigne un point de (C), la polaire de P par rapport à (Γ) est notée (∆).
Partie A
Dans cette première partie, que l’on demande de traiter géométriquement, sans
faire appel aux coordonnées, le point P est un point fixe de (C) et le cercle (Γ) un
élément variable.
1. Quelle est l’image Ωde Gpar l’application de Gdans (Π) qui à (Γ), élément de
G, fait correspondre son centre ω? Cette application est-elle injective ?
2. Montrer qu’il existe un point fixe P′de (Π) tel que, quel que soit le cercle (Γ),
élément de G, (∆) passe par P′.
3. Si Rest la relation définie sur Gpar (Γ)R(Γ′) si, et seulement si, la polaire de P
par rapport à (Γ′) est la droite (∆), polaire de P par rapport à (Γ), montrer que
Rest une relation d’équivalence.
Caractériser, géométriquement, les classes d’équivalence définies dans Gpar
R. [En d’autres termes, il est demandé, dans cette fin de question, de caracté-
riser géométriquement un ensemble de cercles de (Π) orthogonaux à (C) et de
rayon non nul tels que P ait même polaire par rapport à tous ces cercles.]
