Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Rennes septembre 1971 \
EXER CIC E 1
À tout couple (x,n) d’entiers xet nsupérieurs ou égaux à deux, on associe le nombre
entier, noté a(x,n), qui, dans le système de numération de base x, s’écrit avec n
chiffres dont le premier et le dernier sont des 1et les autres (s’il yen a) des 0.
Ainsi, a(trois, deux) s’écrit 11 en base « trois », c’est l’entier « quatre » ; a(trois, trois)
s’écrit 101 en base « trois », c’est l’entier « dix ».
1. Montrer que, quelle que soit la base x,a(x,n) est divisible par a(x, deux) si n
est pair et ne l’est pas si nest impair.
2. À quelles conditions doivent satisfaire les entiers xet npour que le nombre
a(x,n) soit divisible par le nombre « trois » ?
EXER CIC E 2
Dans un plan rapporté à un système orthonormé d’axes x′Ox,y′Oy, la position d’un
point mobile à l’instant t,M(t) est définie par ses coordonnées
½x(t)=esint,
y(t)=ecost,
pour tvariant de 0 à 2π.
1. En se déplaçant sur sa trajectoire, le point mobile rencontre la droite d’équa-
tion y=1 en quatre points A, B, C et D, dont on déterminera les coordonnées.
Quelles sont les dates de passage en chacun des points A, B, Cet D ?
2. Déterminer le vecteur vitesse du point mobile aux différentes dates de passage
en chacun des points A, B, C et D.
PROB LÈM E
1. λdésignant un nombre réel donné non nul, on considère, dans le plan rap-
porté à un repère orthonormé d’axes x′Ox,y′Oy, la transformation ponctuelle
Tλqui fait correspondre au point Mde coordonnées (x;y) le point Mde co-
ordonnées ¡x′;y′¢, telles que
½x′=x
y′=x2+λy.
a. Montrer que Tλest une bijection du plan sur lui-même.
b. Trouver les points doubles de Tλ.
c. Quelle est la transformée par Tλd’une droite d’équation ux +v y +w=0 ?
2. a. Soit (Γ1)et (Γ2)les courbes d’équations respectives
y=f1(x)=x2+2|x−1|
et
y=f2(x)=x2+2ex.
