[Baccalauréat C Sud Vietnam juin 1971 \
EXER CIC E 1
Résoudre dans le corps des complexes l’équation en z
z2+(5i−6)z−16i +2=0.
EXER CIC E 2
1. Montrer que, quels que soient les nombres réels xet y, on a
sin2x−sin2y=sin(x+y) sin(x−y).
2. Montrer qu’il existe un nombre réel a, appartenant à l’intervalle h0 ; π
2h, tel
que, quel que soit le nombre strictement positif ksatisfaisant aux relations
a−k∈h0 ; π
2het a+k∈h0 ; π
2h,
les trois nombres sin2(a−k),sin2aet sin2(a+k) soient trois termes consécutifs
d’une progression arithmétique.
PROB LÈM E
det rétant deux nombres réels donnés tels que 0 <r<d, on considère, dans le plan
rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Oxet y′Oy, la droite (∆) d’équation x=d
et le cercle (Γ) de centre O et de rayon r.
L’axe x′Oxest coupé par (∆) en B et par (Γ) en A d’abscisse ret en A′d’abscisse −r.
On pose
¡∆′¢=(∆)−{B}.
Métant un point quelconque de ¡∆′¢, la droite MA coupe (Γ) en un point P distinct
de A ; de même, la droite MA′recoupe (Γ) en P′.
1. Quelle est, dans l’inversion de pôle Mqui laisse (Γ) invariant, la figure trans-
formée du cercle (Ω) circonscrit au triangle MPP′?
Montrer que (Ω) est orthogonal à (Γ).
2. À tout point Mde ¡∆′¢, on associe le point ω, centre du cercle (Ω).
Quel est l’ensemble des points ωlorsque Mdécrit ¡∆′¢?
3. Montrer que, lorsque Mdécrit ¡∆′¢, la droite PP′passe par un point fixe S.
Exprimer les coordonnées de S au moyen de det de r.
4. Métant un point de ¡∆′¢, montrer qu’il existe un cercle (Φ) orthogonal à (Ω)
en Met orthogonal à (Γ). Si Mest en B, on prend comme cercle (Φ) le cercle
orthogonal à x′Oxen B et orthogonal à (Γ). Ainsi, à tout élément Mde (∆), on
associe un cercle (Φ). Montrer que, lorsque Mdécrit (∆), (Φ) reste tangent à
une droite fixe et à un cercle fixe, dont on précisera le centre et le rayon.
5. Mest un point de ¡∆′¢. Le cercle (Ω) et le cercle circonscrit au triangle MAA′
se coupent en Met en un second point, N. Quel est l’ensemble de ces points
Nlorsque Mdécrit ¡∆′¢?
