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Master de Mathématiques Première année Module H
Feuille de TD numéro 3
Exercice 1 L'étude de 320 familles ayant 5 enfants s'est traduite par la distribution suivante :
Classe A B C D E F | Total Nombre de garçons 5 4 3 2 1 0 | Nombre de filles 0 1 2 3 4 5 | Nombre de familles 18 56 110 88 40 8 | 320
On veut comparer cette distribution à celle, théorique, qui est issue de l'hypothèse d'équiprobabilité entre les garçons et les lles à la naissance.
- Quelle est la loi de probabilité du nombre de garçons dans une famille de cinq enfants, dans l'hypothèse d'équiprobabilité?
- À l'aide du test du khi-deux, tester l'hypothèse d'équiprobabilité avec un niveau α = 5%. Formuler exactement ce problème de test en précisant la loi considérée, le paramètre associé, les hypothèses, la statistique et la région critique. On trouve la statistique du χ^2 suivante : S = 11, 96. Voici une table de χ^2 :
α\p 1 2 3 4 5 6 7 5% 3.84 6 7.81 9.49 11.07 12.6 14. 1% 6.63 9.21 11.34 13.27 15.09 16.81 18.
Fig. 1 Table de χ^2 : α = P (χ^2 p > x)
Exercice 2 Si Yn suit la loi χ^2 (n), alors quand n → ∞, (Yn − n)/
n converge vers une loi gaussienne dont l'on précisera les paramètres.
Exercice 3 Soit X un vecteur gaussien de loi N(0, Γ) sur R^3 avec Γ =
3 − 1 0 − 1 3 0 0 0 2
Trouver un endorphisme f de R^3 tel que f (X) soit un vecteur gaussien dont les composantes forme un échantillon de loi N(0, Id) sur R^3.
Exercice 4 Soit (μk) 1 ≤k≤m une loi partout positive sur un ensemble ni et (μ̂ k) les estimateurs empiriques associés à un échantillon de taille n de cette loi. On considère la statistique de Hellinger
Ln = 4n
∑^ m
k=
μk −
μk
Comparer Ln à la statistique de Pearson Cn = n
∑m k=1(μ̂ k^ −μk) (^2) /μk. En déduire que quand n → ∞,
Ln a la même loi limite que Cn (laquelle ?).
Exercice 5 Soit Xn le maximum obtenu en jetant n fois un dé. Montrer que la suite (Xn)n≥ 1 est une chaîne de Markov et calculer sa matrice de transition.
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Exercice 6 (Gestion de stock) Dans un bureau de tabac, la demande hebdomadaire par les clients de cartouches de cigarettes varie entre 0 et m, de probablités respectives (aj ) 0 ≤j≤m. On suppose que les demandes sont indépendantes d'une semaine à l'autre. Toute demande non satisfaite est un manque à gagner, et tout stock non vendu induit une perte d'ordre nancier. Le buraliste cherche une gestion ré échie. Tous les dimanches soirs, il véri e le stock restant et applique la méthode suivante. Il se xe un seuil A, et si le stock est au moins A, il ne passe pas de commande ; sinon il passe une commande pour avoir au total B cartouches (B ≤ m) le lundi à l'ouverture. Soit Yn la demande de la semaine n et Xn le nombre de cartouches en stock le dimanche de la semaine n.
- Déterminer Xn+1 en fonction de Xn et Yn+1.
- Montrer que c'est une chaîne de Markov et déterminer sa matrice de transition.
Exercice 7 Pour modéliser l'évolution de con gurations génétiques dans une population, on est amené à considérer la chaîne de Markov suivante. Soit P la matrice de transition sur { 0 , 1 ,... , p} dé nie par
P (i, j) =
p j
i p
)j ( 1 − i p
)p−j .
Autrement dit, pour i xé, P (i, ·) est la loi binomiale b(p, i/p). p est la taille de la population, i le nombre d'individus porteurs d'un certain caractère génétique.
- Que vaut P (0, j)? P (p, j)? La chaîne est-elle irréductible?
- Que peut-on dire de Xn lorsque n tend vers l'in ni?
Exercice 8 Soit G = (E, A) un graphe ni, (E l'ensemble des sommets, A celui des arêtes). Notons ki le nombre de sommets contigus à i. Dé nissons sur E la matrice de transition P par p(i, j) = 1/ki si j est contigu à i, nul sinon.
- Montrer que si le graphe est connexe la matrice est irréductible.
- Montrer que si k désigne la somme des ki alors la probabilité sur E dé nie par πi = ki/k est invariante.
- Une souris se promène sur un damier de 16 cases dans les directions horizontale et verticale uniquement. À chaque étape elle passe de la case qu'elle occupe à l'une des k cases voisines (k ≤ 4 ) avec probabilité 1 /k. Montrer que la chaîne de Markov associée à ce mouvement est irréductible et calculer sa probabilité invariante.
- La chaîne est-elle apériodique?
Exercice 9 On considère une chaîne de Markov sur les sommets d'un triangle dé nie par les règles suivantes : à chaque instant on se déplace sur le sommet contigu en sens trigonométrique avec probabilité 0 < p < 1 et dans le sens des aiguilles d'une montre avec probabilité 1 − p.
- Ecrire la matrice de transition de cette chaîne. Montrer qu'elle est irréductible et apériodique ; calculer sa loi stationnaire.
- Calculer pour toute loi initiale μ : lim Pμ(Xn = 1, Xn+1 = 2), et lim Pμ(Xn = 2, Xn+1 = 1).
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