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Exercice 4.3 : Le directeur d’école et le coût du chauffage (I)
Le directeur de l’école du village doit prévoir le budget du chauffage de ses bâtiments pour le premier trimestre de l’année scolaire. Les statistiques qu’il a tenues depuis de nombreuses années lui fournissent les probabilités suivantes. En septembre, il dispose de 15 chances sur 100 de ne rien consommer (c’est l’été indien), autrement la consommation s’élève à 500 litres de mazout. En octobre, si l’été indien s’est produit en septembre (donc si la consommation a été nulle en septembre), la consommation s’élèvera à 200 litres ; par contre, la probabilité d’une consommation de 500 litres est de 55 %, 750 litres dans les autres cas. En novembre, le complexe scolaire consomme 600 litres dans 60% des cas et 800 litres autrement. En décembre, la consommation s’établit toujours à 750 litres. Soit X, une variable aléatoire discrète qui représente la consommation de mazout en litres au cours du 1er^ trimestre.
Déterminez la distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition.
Solution :
Pour déterminer l’espace d’échantillonnage de cette épreuve et les valeurs de X
qui y sont associées, un diagramme en arbre est utile dont les étapes
représenteront successivement chaque mois du 1er^ trimestre et les nœuds, les
consommations mensuelles prévues.
IX X XI XII
500
500
750
600
600
800
800
750
750
750
750
0 200
600
800 750
(^750 )
1750
2350
2550
2600
2800
X (l.) P(X)
1
0,
1 1 1 1 1 1
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,6 0,
0,4 0,
0,
0,
0,
0,
Mois du 1er^ trimestre
La distribution d’échantillonnage de X est donnée à droite de l’arbre, P(X) étant
calculée comme la probabilité jointe de la réalisation des consommations
mensuelles sur la branche de l’arbre générant X.
La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont
présentées dans le tableau suivant :
X (l.) 1550 1750 2350 2550 2600 2800
P(X) 0,09 0,06 0,2805 0,187 0,2295 0, F(X) 0,09 0,15 0,4305 0,6175 0,847 1
Les notations suivantes sont utilisées pour les événements : I , E , G , EC
signifient : « Jacqueline a réussi ses études en (respectivement) informatique,
économie, graduat, économie (complémentaire). ».
Ces mêmes notations précédées de ~ signifient l’échec dans ces mêmes études.
La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont
présentées dans le tableau suivant :
X 350 600 800 810 1000 P(X) 0,195 0,2639 0,203 0,1911 0, F(X) 0,195 0,4589 0,6619 0,853 1
~I
I
~E
E
~G
G
~EC
EC
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,147 1000
0,203 800
0,1911 600 + (0,25.840)
0,2639 600
0,195 350
P(X) X
Exercice 5.3. : Le directeur d’école et le coût du chauffage (II)
Quelle est l’espérance mathématique de X, le nombre de litres de mazout consommés par le système de chauffage durant le 1er^ trimestre?
Solution :
La distribution de probabilité de X, le nombre de litres de mazout consommés par le système de chauffage durant le 1 er^ trimestre, avait été établie précédemment :
X (l.) 1550 1750 2350 2550 2600 2800 P(X) 0,09 0,06 0,2805 0,187 0,2295 0, F(X) 0,09 0,15 0,4305 0,6175 0,847 1
Donc E(X) = (1550.0,09) + (1750.0,06) + (2350.0,2805) + (2550.0,187) + (2600.0,2295) + (2800.0.153) = 139,5 + 105 + 659,175 + 476,85 + 596,7 + 428, = 2400,625 litres.
Exercice 5.7. : La boutique LENACH
La boutique de haute couture LENACH doit commander la semaine prochaine son stock de manteaux d’hiver au grand couturier Kiamé. Vu la coupe d’avant- garde des ces manteaux, leur demande est réduite et on ne peut les vendre avec profit que durant la saison pour laquelle ils ont été dessinés et réalisés.
Kiamé ne fournit qu’une commande par saison à la boutique LENACH.
Chaque manteau est acheté 75.000 Mons et revendu 100.000 Mons durant la saison. S’il n’est pas vendu, il est écoulé à 40.000 Mons dans un magasin de « dégriffés ». Si une cliente ne peut être satisfaite, cette situation n’engendre aucun frais à LENACH.
La demande pour ce type de manteaux est relativement stable et on a pu établir, en se basant sur les statistiques des saisons précédentes, une estimation de la distribution de probabilité de X, le nombre de manteaux demandés :
Combien de manteaux commander à Kiamé?
Solution :
On sait que l’espérance de profit est maximum si ( )
0 b p
b Pi
S i +
=
[1].
Avec b : le bénéfice net par unité vendue : 100 000 – 75000 = 25000 Mons.
Et p : la perte nette par invendu : 75000 – 40 000 = 35 000 Mons.
=
b p
b 0,41.
Fonction de répartition de X :
X -de 4 4 5 6 7 8 9 10 11 + de 12 F(X) 0 0,05 0,15 0,3 0,45 0,65 0,85 0,95 1 1
Le dernier stock qui vérifie l’inégalité [1] est de 6 unités. On doit donc commander 6 + 1 = 7 manteaux à Kiame.
Distribution de probabilité de X : le nombre de manteaux demandés X - de 4 4 5 6 7 8 9 10 11 + de 12
P(X) 0 0,05 0,1 0,15 0,15 0,20 0,20 0,1 0,05 0
Ex. rec. (1). 4 : Test de médicament. Un laboratoire a mis au point un test pour dépister une certaine maladie. Des essais cliniques prouvent que : a) 96 fois sur 100, le test donne un résultat positif quand la maladie est effectivement présente. b) 94 fois sur 100, le test donne un résultat négatif quand la maladie n'est pas présente. Dans une population comptant 3 % de malades, on pratique le test sur une personne choisie au hasard et on constate un résultat positif. Quelle est la probabilité que la personne soit atteinte de la maladie? Solution : Soit M : « Etre malade. » et Pos : « Le résultat du test est positif. ». On sait que P( Pos / M ) = 0,96 ; P( Pos / M ) = 0,94 ; P( M ) = 0,03 et P( M )= 0,97. On cherche P( M / Pos ). Deux approches de la solution sont proposées.
- Par la formule de Bayes :
P( / ).P( ) P( / ).P( )
P( / ).P( )
P( / )
Pos M M Pos M M
Pos M M M Pos
- Une autre approche : diagramme en arbre, loi des probabilités composées, probabilités jointes : Etat de la Résultat du Probabilités personne test jointes
Donc P( M / Pos ) = P( M ∩ Pos )/P( Pos ) = 0,0228/0,087 = 0,331. Donc, le test est peu fiable vu la faible proportion de malades dans la population.
M
M
Pos
Pos
Pos
Pos
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
P( Pos ) = 0,087.
Ex.rec. (1). 25 : La cantine de l’école.
Dans la cantine d’une école secondaire, on sait que par jour de grande chaleur, 40% des élèves achètent une glace à la récréation de midi. Certains l’achètent parce qu’ils ont chaud, d’autres par imitation. On a également remarqué que les filles achètent proportionnellement plus de glaces que les garçons. Après de nombreuses observations, on a même pu établir que 75% des acheteurs de glaces étaient des filles et que 90% des non-acheteurs étaient des garçons. N.B. Personne n’achète deux ou plusieurs glaces.
a) Quelle est la probabilité qu’une fille choisie au hasard le matin d’un jour de grande chaleur achète une glace à midi?
b) Quelle proportion de la population totale des élèves de l’école représente le groupe des garçons qui n’achètent pas de glaces ce même jour? a) Supposant que l’école compte 720 filles, quelle est la population totale de l’école? Combien de glaces pense-t-on vendre au total à la cantine un jour de grande chaleur? Solution : a) Soit G =« L’élève achète une glace. » et { G,~G } un SCE. Soit { F , B } un SCE avec F =« Etre une fille. » et B =« Etre un garçon. ». On cherche P( G / F ). On a : P( F / G ) = 0,75 ; P( B / ~G ) = 0,9 donc P( F / ~G ) = 0,1 ; P( G ) = 0,4 ; et P( ~G ) = 1 - P( G ) = 0,6. Donc (Bayes) P( G / F ) = [P( F / G ).P( G )]/[ P( F / G ).P( G ) + P( F /~ G ).P(~ G )] = [0,750,4]/[0,750,4 + 0,10,6] = 0,30/(0,30 + 0,06) = 0,30 / 0,36 = 5/6. b) On cherche P( B ∩~ G ), le plus simple est de développer un diagramme en arbre, ou d’utiliser la formule des probabilités composées : P( B ∩~ G ) = P( B /~ G ). P(~ G ) = 0,9 * 0,6 = 0,54 donc le groupe des garçons qui n’achètent pas de glaces ce jour là représente 54% de la population des élèves. c) On cherche donc P( F ) = (loi des probabilités totales) = P( F / G ).P( G ) + P( F /~ G ).P(~ G ) = 0,750,4 + 0,1*0,6 = 0,36. Donc les 720 filles représentent 36% de la population de l’école, donc la population de l’école = (720/36) * 100 = 2000 élèves. On vendra donc 40% de 2000 glaces par jour de grande chaleur, soit 800 glaces.
Ex. rec.(2). 19 : Mobilité urbaine.
Un bus-navette part toutes les demi-heures de la gare centrale de cette grande ville et fait le tour de la cité en trois étapes :
- Gare centrale (GC) – Grand-Place (GP) 3 km ;
- Grand-Place – Cathédrale (C) 1,5 km ;
- Cathédrale – Gare centrale 4,5 km.
A l’expérience, le chauffeurs de bus savent que quelque soit le moment de la journée, ils peuvent rencontrer aléatoirement une des trois conditions de trafic suivantes sur chaque tronçon du trajet : fluide, normal et dense avec diverses probabilités notées dans le tableau suivant et indépendantes les unes des autres.
Probabilités des conditions de trafic Tronçon Fluide Normal Dense GC-GP 0,5 0,1 0, GP-C 0 0,3 0, C-GC 0,6 0,4 0
En cas de trafic normal, le bus peut rouler à une vitesse moyenne de 30 km/h ; si le trafic est dense, sa vitesse moyenne est réduite de moitié par rapport à une situation normale tandis que si le trafic est fluide, cette même vitesse s’élève à 45 km/h.
a) On vous demande la distribution de probabilité et la fonction de répartition de la variable aléatoire X représentant le temps (en minutes) que mettra un bus pour parcourir les trois tronçons d’un trajet complet partant de la Gare centrale et y revenant.
Tableau 1 : Probabilités des conditions de trafic et temps de parcours Tronçon et longueur Fluide Normal Dense GC-GP ( 3 km ) 0,5 – 4 min 0,1 – 6 min 0,4 – 12 min GP-C ( 1,5 km ) 0 0,3 – 3 min 0,7 – 6 min C-GC ( 4,5 km ) 0,6 – 6 min 0,4 – 9 min 0
Le principe de multiplication (ou un diagramme en arbre) montre qu’il y a 3.2. = 12 configurations possibles de conditions de trafic pour le tour de la cité.
On reprendra dans le tableau 2 toutes les configurations possibles, leur probabilité jointe et le temps de parcours total associé.
N.B. XYZ dans la 1ère^ colonne du tableau 2 suivant signifie que l’on rencontre la condition X sur le tronçon GC-GP, Y sur GP-C et Z sur C-GP.
