Exercices de probabilité conditionnelle et loi binomiale Terminale S
Exercice 1 En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de
futurs électeurs.
Parmi les 1200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le
candidat B.
Compte-tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que 10% des personnes déclarant vouloir voter pour le can-
didat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le
candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.
On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et onnote :
•Al’évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A » ;
•Bl’évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B » ;
•Vl’évènement « La personne interrogée dit la vérité ».
1. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.
2. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.
b) Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu’elle affirme vouloir voter pour le candidat A.
3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.
4. Pour effectuer ce sondage, l’institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La
probabilité qu’une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est 0,4.
L’institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses.
Quel temps moyen, exprimé en heures, l’institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif?
1. Arbre de probabilités :
A
0,47
V
0,9
V
0,1
B
0,53
V
0,8
V
0,2
En bleu les données de l’énoncé, les autres valeurs étant obtenues par complément à 1.
2. a) D’après la formule des probabilités totales :
p(V)=p(A∩V)+p(B∩V)=p(A)×pA(V)+p(B)×pB(V)=0,47 ×0,9+0,53 ×0, 8 =0, 423 +
0,424 =0, 847.
b) pV(A)=p(A∩V)
p(V)=0,423
0,847 ≈0,499 4 à 10−4près.
3. Soit El’évènement « laperont vote effectivement pour le candidat A ».
E=(A∩V)∪³B∩V´(évènements disjoints), donc :
p(E)=p(A∩V)+p³B∩V´=0,47 ×0, 9 +0,53×0,2 =0, 423 +0,106 =0,529.
4. Lors du sondage téléphonique il y a eu 10 contacts par demi-heure, soit 20 contacts par heure.
La probabilité que la personne appelée accepte de répondre est p=0,4.
Soit nle nombre de personnes contactées par téléphone; soit elle accepte de répondre avec une
probabilité de 0,4,soit elle ne l’accepte pas.
On suppose que chaque personne répond indépendamment des autres.
Il s’agit d’un schéma de Bernoulli dont les paramètres sont B(n; 0,4).
Obtenir un échantillon de 1 200 personnes qui acceptent de répondre, c’est considérer que l’espé-
rance mathématique est E(X)=1 200. On cherche alors ntel que :
E(X)=n×0, 4 =1200, soit n=3000.
Avec 3 000 personnes contactées, on peut espérer que 1 200 acceptent de répondre.
Le temps moyen nécessaire est donc de t=3000
20 =150 heures.
Lycée JB de BAUDRE à AGEN
