M. IBGUI Pour le 3 novembre 2005
1 S3
Exercice 1 : les questions sont indépendantes
1. Montrer que, pour tout réel
x
différent de
2k
,
k
,
2 2 2 2
tan sin tan sinx x x x
.
2.a. Montrer que pour tout
de l'intervalle
;
22
, le réel
sin 42
est un réel positif (ou nul).
2.b. En déduire
1 sin
2
sin 42
. (Aide : ces deux réels étant positifs, cela revient à comparer leur carré.)
3.a. Démontrer que pour tout réel
y
,
3
cos3 4 cos 3 cosy y y
. (On a exprimé
cos3y
en fonction de
cos y
.)
3.b. Exprimer
sin3y
en fonction de
sin y
.
3.c. En déduire que pour tout réel
y
, on a
53
cos5 16 cos 20 cos 5 cosy y y y
.
Exercice 2
Dans le repère orthonormal
;,O i j
, unité graphique
2
cm, on donne les points
A
et
B
de coordonnées
cartésiennes :
3 ;1A
et
1; 3B
.
1. Déterminer les coordonnées polaires des points
A
et
B
. Placer alors ces points dans le repère.
2. Déterminer la mesure principale de l'angle
,OA OB
. En déduire la nature du triangle
OAB
.
3. Déterminer les coordonnées polaires du point
C
tel que
OACB
soit un carré direct.
4. Déterminer les coordonnées cartésiennes du point
C
. (Aide : le quadrilatère
OACB
est un parallélogramme.)
5. En déduire les lignes trigonométriques de
5
12
π
puis de
12
π
.
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