M. IBGUI Pour le 17 octobre 2005
1 S
O
A
B
R
O
A
B
DEVOIR MAISON N°3
Exercice 1
Déterminer trois réels
a
,
b
et
c
tels que, pour tout réel
x
de l'intervalle
0;
:
22
1
1
11
a b c
xx
x x x
Exercice 2 : Formule de duplication du cosinus (méthode due au mathématicien grec Hipparque, IIe avant J-C.)
Dans la figure ci-dessous, le demi-cercle C de centre
O
et de diamètre
AB
a pour rayon 1.
La mesure de l'angle
COM
est donnée en radian par le réel
β
dans l'intervalle
0;2
.
1. Montrer que
β = 2α
puis que
0;4
.
2. Justifier les égalités suivantes :
cos AC
AM
;
cos AM
AB
et
1 cos2AC
C
3.a. En déduire que
21 cos2
cos 2
pour
0;4
.
3.b. Exprimer
2
sin
en fonction de
cos2
.
4. Application :
Montrer que
22
cos 82
;
22
sin 82
puis que *
tan 2 1
8
.
Exercice 3 aire A
Question préliminaire :
Sachant que l'aire A d'un secteur circulaire est proportionnelle à l'angle
au centre qui l'intercepte, monter que A
2
1
2R
,
en radians.
Première application :
1. On note
L
la longueur de l'arc
AB
et A l'aire du secteur circulaire .
Exprimer
en fonction de
L
et A .
2. On donne
3,6L cm
et A
2
8,1cm
, calculer
puis convertir
en degrés à 0,1 degré près.
3. Déterminer le rayon du cercle.
Deuxième application : l'angle de mesure
2
rad possède quelques propriétés curieuses dont en voici une.
Le problème est le suivant : "parmi les secteurs circulaires de périmètre
p
donné, déterminer celui dont l'aire est
maximale ".
1. Avec les données de la figure ci-contre, la longueur de l'arc
AB
est
2L p x
.
En déduire que
0; 2
p
x
.
2. Montrer que l'aire A
x
du secteur circulaire est A
12
2
x x p x
.
x
3. En déduire l'aire maximale et la valeur de
correspondante.
OA B
M
C