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Durée : 4 heures
Baccalauréat S Métropole septembre 2004
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats
1. Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :
g ( x ) =
x
x^2 − 1
a. Déterminer les nombres réels a , b et c tels que l’on ait, pour tout x > 1 :
g ( x ) = a x
b x + 1
c x − 1
b. Trouver une primitive G de g sur l’intervalle ]1 ; +∞[.
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :
f ( x ) =
2 x ( x^2 − 1
Trouver une primitive F de f sur l’intervalle ]1 ; +∞[.
3. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer :
I =
2
2 x ( x^2 − 1
) 2 ln^ x^ d x.
On donnera le résultat exact sous la forme p ln 2+ q ln 3, avec p et q rationnels.
EXERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats
L’exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie. Le but de ce problème est d’étudier, pour x et y éléments distincts de l’intervalle ]0 ; +∞[, les couples solutions de l’équation xy^ = y x^ (E) et, en particulier, les couples constitués d’entiers.
1. Montrer que l’équation (E) est équivalente à ln x x
ln y y
2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
h ( x ) =
ln x x
La courbe C représentative de la fonction h est donnée en annexe ; x 0 est l’abscisse du maximum de la fonction h sur l’intervalle ]0 ; +∞[. a. Rappeler la limite de la fonction h en +∞ et déterminer la limite de la fonction h en 0.
b. Calculer h ′( x ), où h ′^ désigne la fonction dérivée de la fonction h ; retrou- ver les variations de la fonction h. Déterminer les valeurs exactes de x 0 et de h ( x 0 ). c. Déterminer l’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses.
3. Soit λ un élément de l’intervalle
]
e
[
Prouver l’existence d’un unique nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e[ et d’un unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; +∞[ tels que h ( a ) = h ( b ) = λ. Ainsi le couple ( a , b ) est solution de (E).
4. On considère la fonction s qui, à tout nombre réel a de l’intervalle [1 ; e[, associe l’unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; +∞[ tel que h ( a ) = h ( b ) (on ne cherchera pas à exprimer s ( a ) en fonction de a ). Par lecture graphique uniquement et sans justification, répondre aux ques- tions suivantes a. Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs supérieures? b. Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs inférieures? c. Déterminer les variations de la fonction s. Dresser le tableau de variations de s. 5. Déterminer les couples d’entiers distincts solutions de (E).
EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats
Un récipient contient un gaz constitué de deux sortes de particules : 75% de parti- cules A et 25% de particules B. Les particules sont projetées sur une cible formée de deux compartiments KI et K2. L’expérience est modélisée de la façon suivante : — une particule au hasard parmi les particules de type A entre dans K1 avec la probabilité
et dans K2 avec la probabilité
— une particule au hasard parmi les particules de type B entre dans chacun des compartiments avec la probabilité
Partie A
1. Soit une particule au hasard. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : A1 : « la particule isolée est de type A et elle entre dans K1 », A2 : « la particule isolée est de type A et elle entre dans K2 », B1 : « la particule isolée est de type B et elle entre dans K1 », B2 : « la particule isolée est de type B et elle entre dans K2 », C1 : « la particule entre dans K1 », C2 : « la particule entre dans K2 ». 2. On procède cinq fois de suite et de façon indépendante à l’épreuve décrite en introduction. Le nombre de particules étant très grand, on admettra que les proportions 75% et 25% restent constantes. Calculer la probabilité de l’évènement E suivant : « il y a exactement deux particules dans K2 ».
Partie B
Le point( D est construit tel que le triangle B C D soit équilatéral direct ; on a donc −−→ B C ,
BD
π 3
[2 π ].
Le point G est le centre de gravité du triangle B C D. Les droites (A B ) et (C G ) se coupent en un point M.
Partie A
1. Placer les points D , G et M sur la figure de la feuille annexe. 2. Montrer que les points O, D et G appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le point G est le milieu du segment [C M ]. 3. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s de centre C trans- formant B en M.
Partie B
Dans cette question, le plan est muni d’un repère orthonormé direct
O,
u ,
v
choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes respectives −1 et 1. Soit( E le point construit pour que le triangle AC E soit équilatéral direct ; on a donc −−→ AC ,
A E
π 3 [2 π ].
1. Calculer l’affixe du point E et construire le point E sur la feuille annexe. 2. Soit σ la similitude directe d’expression complexe z ′^ =
3 + i
p 3 4 z +
1 − i
p 3 4
Déterminer les éléments caractéristiques de σ et en déduire que σ est la si- militude réciproque de s.
3. Montrer que l’image E ′^ du point E par σ a pour affixe −
p 3 2
et montrer que le point E ′^ appartient au cercle Γ.
4. On note C le lieu des points M lorsque le point B décrit le cercle Γ privé des points A et C. Montrer que le point E appartient à C. Soit O′^ l’image du point O par la similitude s. Démontrer que le point O′^ est le centre de gravité du triangle AC E. En déduire une construction de C.
ANNEXE DE L’EXERCICE 2
À rendre avec la copie
Courbe C , obtenue à l’aide d’un traceur de courbes
Annexe spécialité
A C
B
