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2. Nombres complexes
Ex. 1 Ecrire sous forme cart´esienne (z = x + iy, avec x, y ∈ R) les nombres complexes
z 1 = 5ei^
π 4 , z 2 = 3ei^
π 3 − 2 ei^
π 6 , z 3 =
2 + i 1 + 3i
et z 4 =
1 + i 1 − i
Ex. 2 Donner le module et l’argument des nombres complexes suivants
1 + i; −1 + i
1 + i −1 + i
Ex. 3 R´esoudre dans C les ´equation suivantes : a) z + z − 2 = 0; b) (1 − 2 i)z − (3 − i) = 0;
c) Im
5 z − 2 z − 1
Ex. 4 Module et argument de la somme de deux nombres com- plexes Soient z 1 = ρ 1 eiθ^1 et z 2 = ρ 2 eiθ^2 deux nombres complexes. On veut d´eterminer analytiquement le module et l’argument de z = z 1 + z 2 (resp. de z′^ = z 1 z 2 ).
- Repr´esenter les points M 1 , M 2 et M du plan d’affixes respectifs z 1 , z 2 et z.
- On note z = ρeiθ^. Montrer que
ρ =
ρ^21 + ρ^22 + 2ρ 1 ρ 2 cos(θ 1 − θ 2 )
(Indication : d´evelopper zz¯.)
- On suppose que M est dans le demi-plan situ´e `a droite de l’axe des imagi- naires. Utilisant la repr´esentation g´eom´etrique de z 1 et z, montrer que
sin θ =
ρ 1 sin θ 1 + ρ 2 sin θ 2 ρ
- On pose z′^ = z 1 z 2 = ρ′eiθ
′
. Donner les expressions de ρ′^ et θ′, et repr´esenter le point M′^ d’affixe z′.
Ex. 5 Nombres complexes et trigonom´etrie
- Utilisant le nombre complexe ei(x+y), retrouver rapidement les formules de trigonom´etrie donnant cos(x + y) et sin(x + y), puis celles donnant cos(2x) et sin(2x) ;
- En d´eduire les formules donnant cos x cos y, sin x sin y, sin x cos y.
- En d´eduire les formules donnant sin p + sin q, sin p − sin q, cos p + cos q et cos p − cos q.
Ex. 6 En exprimant de deux fa¸cons diff´erentes (1 + i)^5 , calculer C 50 − C 52 + C 54 et C^15 − C 53 + C 55. Calculer plus g´en´eralement C n^0 − C n^2 + C n^4 −... (n ≥ 1 ).
Ex. 7 Exprimer cos(5θ) et sin(5θ) `a l’aide de cos θ et de sin θ.
Ex. 8 Lin´eariser les expressions : cos^4 (θ), cos θ · sin^3 θ et cos(2θ) cos^2 θ.
Ex. 9 Trouver les solutions z 1 , z 2 de z^2 − (4 + i)z + 5 − i = 0.
Ex. 10 Calculer une racine carr´ee z de 2 − 3 i.
Ex. 11 Calculer les racines 6 `eme de −3 + 3i.
Ex. 12 R´esoudre z^3 − iz^2 = − 2 z^3 + (2 + i)z^2 − 4 z.
Ex. 13 R´esoudre z^4 − (2 + i)z^2 + 3 + i = 0.
Ex. 14 Soit z = ei^
25 π
. Que vaut 1 + z + z^2 + z^3 + z^4? Exprimer z + z^4 et z^2 + z^3 en fonction de cos(2π/5), et en d´eduire les valeurs de cos(2π/5) et de cos(π/5).
Ex. 15 Identit´e du parall´elogramme Prouver l’identit´e
|z + z′|^2 + |z − z′|^2 = 2(|z|^2 + |z′|^2 ), ∀z, z′^ ∈ C.
En donner une interpr´etation g´eom´etrique. (Indication : construire le par- all´elogramme dont les sommets ont pour affixes 0 , z, z + z′, z′.)
