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FORMULAIRE : NOMBRES COMPLEXES
Forme algébrique (ou cartésienne) d’un nombre complexe : z x iy , x R , y R
Forme trigonométrique / exponentielle d’un complexe non nul :
z z cos i sin ,
z
y
z
x
z ze z x y
i
sin( )
cos( )
, , solution de
2 2
Conjugaison :
z z z R , z z zimaginaire
i
z z z
z z z 2
, Im( ) 2
Re( )
z z
z z ' z z ' , z z ' z z '
z z
z z n z
n n^1 )
N , 0 (
Module :
z 0 et z 0 z 0
z z
z z ' z z '
z z ' z z '
z z
z
z z n N
n n
Argument ( z et z ' sontsupposésnon nuls ) :
arg( z z ')arg( z )arg( z ') ( 2 )
) arg( ) arg( ') ( 2 ) '
arg( z z
z
z
) arg( ) ( 2 )
arg( z z
arg( z )arg( z ) ( 2 )
arg( z ) arg( z ) ( 2 )
z n z n Z
n
arg( ) arg( ) ( 2 )
Exponentielle complexe :
cos() sin( )
e i
i et
a ib a ib e e e
,
2 ' ( ') ( ; ') ,
i i i R e e e
, sin( ) 2
cos( ) formulesd Euler i
e e e e
i i i i
n Z : ( e ) e ( formulede DeMoivre )
i n in
Pour
i z e et
' ' '
i z e non nuls :
i z e
,
' ' '
i zz e ,
(^) '
' '
i e z
z ,
n n in z e
Racines carrées d’un complexe
Z X iY , z x iy ,
x y Z
xy Y
x y X
z Z
2 2
2 2
2 2
Equation du second degré à coefficients complexes
2 az bz c ( a 0 ) admet pour solutions a
b z 2
1
a
b z 2
2
où désigne une
racine carrée du discriminant b 4 ac
2 . On a : a
c z 1 z 2 et a
b z 1 z 2
Racines nième
a) De l’unité : n
i k zk e
2
où k 0 , 1 , 2 ,, n 1
b) De
i
e non-nul :
n z
(^)
n
k n
i n zk e
2
où k 0 , 1 , 2 ,, n 1
Géométrie des complexes
a) z x iy est l’affixe du point
y
x M / du vecteur
OM ; B A AB
z (^) z z
b) Affixe de I milieu du segment AB :
A B I
z z z
c) z OM et arg z est une mesure de l’angle orienté
i , OM
( pour z non nul)
d) z a R : cercle de centre A (d’affixe a ) et de rayon R 0
e) Une mesure de l’angle orienté
AB , AC est un argument de B A
C A
z z
z z
( A , B , C distincts)
f) Les points A , B , C (distincts) sont alignés
R
B A
C A
z z
z z
