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El ECT ROCI NETI QU E R.D uperra y Lycée F. BUI SS ON PT SI
Dans ce chapitre, nous allons étudier les circuits électriques sous l’angle du filtre. De façon plus
précise, nous allons étudier la réponse (signal de sortie) d’un circuit soumis à une excitation
sinusoïdale (signal d’entrée) suivant la fréquence de cette excitation. Nous introduirons ainsi des
outils commodes que sont la fonction de transfert et les diagrammes de Bode. Les notions
introduites dans ce chapitre sont très générales et s’appliquent dans d’autres domaines (mécanique,
optique…), c’est pourquoi l’étude de ce chapitre sera approfondie et généralisée dans le cours de SI
mais aussi dans le cours de physique de PT.
On trouve des filtres dans un peu près tous les appareils électroniques qui nous entourent : les
téléphones, les radios, les télévisions, les ordinateurs etc…
I – CONCEPTS DE BASE : EXEMPLE DU FILTRE PASSE-BAS RC
1.1 Fonction de transfert
On cherche à déterminer la réponse du circuit ci-dessus, us (t ) = Ums cos(! t + "s) , lorsqu’il est
soumis à une excitation sinusoïdale d’entrée ue (t ) = Ume cos(! t + "e). Nous allons travailler avec
les amplitudes complexes associées à ces tensions ( Us et Ue ).
On remarque que rien n’est « branché » sur la sortie du circuit, on travaille en sortie ouverte. Ainsi
is (t ) = 0.
F O N C T I O N D E T R A N S F E R T D E S Q U A D R I P O L E S L I N E A I R E S : F I L T R E S P A S S I F S E T A C T I F S
Ue Us
R
C
Amplitude complexe associée à la tension sinusoïdale d’entrée : Excitation
Amplitude complexe associée à la tension sinusoïdale de sortie : Réponse
Ie Is
Pour déterminer Us en fonction de Ue , on peut employer un pont diviseur de tension, outil que
nous allons souvent utiliser dans ce chapitre. On a Us = 1 jC! R + 1 jC!
Ue.
Nous voyons que le rapport
Us Ue
= 1 jC! R + 1 jC!
1 + jRC!
est une fonction caractéristique du circuit
étudié qui relie le signal d’entrée au signal de sortie, c’est la fonction de transfert. De façon
générale, on définit:
Fonction de transfert: H (^) (! ) "
Us Ue
H (^) (! ) est une fonction complexe qui dépend de la pulsation! du signal d’entrée. Elle possède
donc un module H (^) (! ) et une phase! (^) (" ) , H (^) (! ) = H (^) (! ) e j"^ Ce chapitre consiste essentiellement
à étudier ces deux fonctions pour divers réseaux.
Ici, on obtient facilement :
H (^) (! ) = 1 1 + R^2 C 2!^2
et " (^) (! ) = # arctan( R C!).
Suivant la valeur de! , H (^) (! ) et! (^) (" ) prennent des valeurs différentes. Ainsi, comme nous le
verrons, le signal d’entrée sera transmis de façon différente par le circuit suivant sa pulsation. On
appelle donc ces circuits des filtres.
1.2 Commentaires et remarques générales sur les filtres
- Les circuits que nous étudions dans ce chapitre, comme le filtre RC précédent, possèdent deux
bornes d’entrée et deux bornes de sortie, il s’agit de quadripôles.
- Un filtre est un quadripôle conçu pour transmettre sélectivement les diverses fréquences (ou
pulsation) du signal d’entrée harmonique (sinusoïdal).
- La fonction de transfert d’un quadripôle linéaire (constitué uniquement de dipôles linaires)
s’écrit de façon générale comme le rapport de deux polynômes en( j!) :
Générateur
Quadripôle (Filtre) H (^) (! )
Réseau d’utilisation ue (t ) us (t ) (charge)
L’unité du gain en décibel est le décibel noté dB. Il s’agit en réalité d’une fausse unité car H (! ) n’a
pas d’unité, on ne peut pas prendre le log d’une grandeur avec une unité. Pourquoi travailler avec
GdB( x ) plutôt qu’avec G (x )?
! La fonction log atténue les variations d’une grandeur, on peut donc étudier à la fois, sur le même
graphe, les faibles et les fortes valeurs de^ G^ (x ).
! Les^ yeux^ (capteurs^ naturels^ de^ l’intensité^ lumineuse)^ et^ les^ oreilles^ (capteurs^ naturels^ de
l’intensité acoustique) sont plus sensibles à une échelle logarithmique qu’à une échelle linéaire.
c) Rappels de mathématiques utiles dans ce chapitre :
"^
%^ &^
= log a ' log b ; log 1 a
"^
%^ &^
= ' log a ; log ( a n) = n log a.
• log ( 2 )! 0 , 3 ; log ( 3 )! 0 , 5.
• Si on divise G (! ) par 2 , en décibel on obtient 20 log
G (! )
= 20 log G (! ) " 10 log 2 soit
20 log G (! ) " 3 dB , cela revient à retrancher 3 au gain en décibel.
• Si on divise G (! ) par 10, en décibel on obtient 20 log
G (! )
= 20 log G (! ) " 10 log1 0 soit
20 log G (! ) " 20 dB , cela revient à retrancher 20 au gain en décibel.
- Un changement d’un ordre de grandeur en! correspond seulement à un changement de une
unité en log!. Ainsi, en échelle log, on peut représenter des variations de! bien plus importantes
qu’en échelle linéaire.
1.4 Diagrammes de Bode
Nom donné en l’honneur de Hendrik W.Bode (1905-1982), un ingénieur des célèbres laboratoires de
la compagnie américaine Bell Telephone, pour son travail de pionnier dans ce domaine dans les
années 1930-40.
a) Diagramme de Bode du gain en décibel
Il s’agit du graphe GdB(! ) = f (l og !) ou plutôt GdB( x ) = f (l og x) car on travaillera le plus souvent en
pulsation réduite.
Nous allons reprendre l’étude de notre exemple du filtre RC. On a 20 log G ( x) =! 10 log ( 1 + x^2 ) ,
étudions brièvement cette fonction :
log!
10!^2 10!^1101
- x! 0 "! 0 log x! #$ GdB! 0
- x! " #! " log x! " GdB! $ 10 log x^2 = $ 20 log x
A haute fréquence, la courbe de réponse en gain admet une asymptote passant par l’origine et de
pente! 20 dB/décade.
- x = 1! =! 0 GdB = " 10 log 2 = " 3 dB
On obtient la courbe suivante (réalisée avec Maple) :
On constate que pour! <<! 0 c'est-à-dire x << 1 , le filtre transmet les signaux presque sans
atténuation, cette dernière reste inférieure à 3 dB. Par contre pour! >>! 0 c'est-à-dire x >> 1 , les
signaux sont très atténués à la sortie du filtre ; l’atténuation est de - 20 dB par décade. Il s’agit donc
d’un filtre passe-bas, il ne laisse passer que les signaux de basses fréquences. De plus, il n’est
constitué que de dipôles passifs ( R et C ) et sa fonction de transfert est seulement du 1er^ ordre, il
s’agit donc d’un filtre passe-bas du 1er^ ordre passif.
b) Diagramme de Bode de la phase.
Il s’agit du graphe! (^) (" ) = f (^) (l og ") ou plutôt! (^) ( x) = f (^) (l og x) car on travaillera le plus souvent en
pulsation réduite.
Dans le cas du filtre^ RC^ , on a^!^ (x ) =^ "^ arctan( x) , étudions brièvement cette fonction :
< # (^) ( x) < 0
- x! 0 "! 0 log x! #$ %! 0
- x! " #! " log x! " $! %^ & 2
Diagramme asymptotique
A basse fréquence
A haute fréquence
Us = 0 et Ue! 0 GdB " #$
log x
GdB pente:! 20 dB/décade
Us = Ue GdB = 20 log1 = 0
1.6 Caractère intégrateur du filtre
A haute pulsation,! >> !c =! 0 , la fonction de transfert H (^) (! ) du filtre RC devient
H (^) (! ) =
Us Ue
jRC!
RC
j!
. Si on repasse dans la représentation temporelle, on obtient :
us (t ) = 1 RC 0 ue^ (t^ )
t !^ dt^.
On constate que le filtre réalise l’intégration du signal d’entrée, on a donc un intégrateur. Si on
envoie à l’entrée du filtre un signal créneau de haute fréquence, on obtient à la sortie un signal
triangle (cf TP). Attention, il ne faut pas oublier que la notion de fonction de transfert et l’utilisation
de la représentation complexe ne sont valables que pour les signaux sinusoïdaux.
II - FILTRE ACTIF DU 1ER^ ORDRE : EXEMPLE DU FILTRE INTEGRATEUR
2.1 Equation différentielle et fonction de transfert
On cherche à réaliser un quadripôle qui réalise, entre la tension d’entrée et la tension de sortie,
l’opération mathématique suivante : us (t ) = us ( (^0) ) + 1 !
ue (t ) 0
t "^ dt^ , c’est-à-dire^ :
dus (t ) dt
!
ue (t )
En représentation complexe, cette équation différentielle donne la fonction de transfert du
quadripôle souhaité (équation algébrique) :
H (^) (! ) =
Us Ue
j!"
avec! homogène à un temps. Il s’agit de la fonction de transfert d’un filtre intégrateur. Nous
allons étudier l’allure de ces diagrammes de Bode.
FILTRE RC
! >> !c
entrée sortie
2.2 Diagrammes de Bode
a) Diagramme de Bode du gain en décibel
On peut faire apparaître la pulsation réduite x =^! ! 0
avec! = 1 " 0
; dans ce cas H (^) (x ) = 1 jx
et
G (^) (x ) = 1 x
soit^ GdB(^ x ) =^!^20 log^ x^. Il s’agit d’une droite qui passe par l’origine et de pente
! 20 dB/décade.
b) Diagramme de Bode de la phase
On a facilement! (^) (x ) = arg1 " arg( jx) , soit! (^) (x ) = "^ # 2
= constante.
log x
GdB
! log x
III - FILTRE PASSIF DU 2EME^ ORDRE : EXEMPLE DU FILTRE RLC SERIE, FILTRE
PASSE-BAS, RESONANCE EN TENSION
Nous allons reprendre l’étude du circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé mais sous l’angle du
filtre avec l’étude de sa fonction de transfert.
3.1 Montage et comportement limite du filtre
Avant de calculer la fonction de transfert de ce filtre et de l’étudier en détail, nous allons regarder le
comportement limite de ce filtre. Cela va déjà nous permettre de déterminer la nature de ce filtre.
" # et ZL = !L " 0.
le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et la bobine comme un fil sans
résistance ainsi Us = Ue.
-! " # ZC = 1 !C
" 0 et ZL = !L " #
L
Ue C A
R
Us A
ie
us (t )
ue (t )
C
R
ie
R '
Le condensateur se comporte comme un fil sans résistance et la bobine comme un interrupteur
ouvert ainsi Us = 0.
On en déduit que ce filtre ne laisse passer que les basses fréquences, il s’agit donc d’un filtre
passe-bas.
3.2 Fonction de transfert
On utilise encore un pont diviseur de tension pour calculer la fonction de transfert.
Us =
ZC
ZC + ZR + ZL
Ue = 1 jC! R + j L! " 1 C!
Ue = 1 1 " LC!^2 + jRC!
Ue.
On obtient alors H (! ) =
Us Ue
1 " LC!^2 + jRC!
On peut faire apparaître la pulsation propre! 0 = 1 LC
, la pulsation réduite x =^! ! 0
et le facteur de
qualité Q =^ L!^0 R
RC! 0
. On obtient alors la fonction de transfert sous sa forme canonique :
H (x ) = 1
1! x^2 + j x Q
On constate que le dénominateur est un polynôme du second ordre en j! car ( j!)
. On a
donc un filtre passe-bas du second ordre.
3.3 Diagrammes de Bode
a) Diagramme de Bode du gain en décibel
On a G = H (x ) = 1
(^1!^ x^2 )
2 +^ x Q
#^ $
&^ '
- On constate que^ G^ passe par un maximum si^ Q^ >^
(voir cours
sur le circuit RLC en régime sinusoïdal forcé). On retrouve la résonance en tension aux bornes du
condensateur. On a déjà vu que la pulsation réduite de résonance vaut xr = 1! 1 2 Q^2
Le gain en décibel vaut GdB = 20 log G =! 10 log ( 1! x^2 )
2 +^ x Q
#^ $
&^ '
"^2
Etudions le comportement asymptotique du gain en décibel :
- x! 0 "! 0 log x! #$ GdB! 0
On obtient la courbe suivante (réalisée avec Maple) :
IV - FILTRE ACTIF DU 2EME^ ORDRE PASSE-HAUT
4.1 Montage et comportement limite du filtre
Nous allons étudier le quadripôle suivant. L’AO est utilisé en régime linéaire! = 0.
Encore une fois, avant de calculer la fonction de transfert de ce filtre et de l’étudier en détail, il est
instructif de regarder le comportement limite de ce filtre. Cela va déjà nous permettre de déterminer
sa nature.
-! " 0 ZC = 1 !C
Us
Ue
C
R
C
C R
A
UA
log x
Q = 5 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 0 , 2
Le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, le courant à l’entrée positive est nul
donc U (^) + = 0 = U (^) != Us.
Le condensateur se comporte comme un fil sans résistance donc Ue = U! = Us.
On en déduit que ce filtre ne laisse passer que les hautes fréquences, il s’agit donc d’un filtre
passe-haut.
4.2 Fonction de transfert
On applique le théorème de Millman au nœud A : UA =
Ue jC! + Us R + U+ jC! 2 jC! + 1 R
. On a de plus
U+ = U! = Us ce qui donne UA =
Ue jC! + Us ( 1 R + jC!) 2 jC! + 1 R
On utilise le pont de diviseur de tension pour relier UA et Us :^ UA^ R R + 1 jC!
= U+ = Us.
On voit apparaître une pulsation propre! 0 = 1 RC
et on note comme d’habitude x =^! ! 0
la pulsation
réduite. Avec ces notations : UA = 1 +^ jx jx
Us et UA =
Ue jx + Us ( 1 + jx!) 1 + 2 jx
Il ne reste plus, à présent, qu’à éliminer UA pour obtenir la fonction de transfert suivante :
H (^) (x ) =
Us Ue
=!^ x
2
(^1 +^ jx)
2
On constate que le dénominateur et le numérateur sont des polynômes du second ordre en j!. On
a donc un filtre passe-haut du second ordre.
4.3 Diagrammes de Bode
a) Diagramme de Bode du gain en décibel
On a G = H (^) (x ) =^ x
2 1 + x^2
et GdB =! 20 log 1 + 1 x^2
#^ $
&^ '^
Etudions le comportement asymptotique du gain en décibel :
- x! 0 "! 0 log x! #$ GdB! 40 log x
- x! " #! " log x! " GdB! 0
- x = 1! =! 0 GdB = " 20 log 2 = " 6
On obtient la courbe suivante (réalisée avec Maple) :
V – EXEMPLES DE FONCTIONS DE TRANSFERT USUELLES
Nous n’avons étudié que quelques filtres. Les résultats obtenus ne doivent pas être retenus par cœur, il faut avoir compris la démarche pour être capable d’analyser d’autres filtres. Dans cette partie, les diagrammes de Bode pour les fonctions de transfert les plus fréquemment rencontrées sont donnés. Les fonctions de transfert sont écrites sous forme canonique.
5 - 1 Filtre passe bas du 1er^ ordre
H( j!) =
A 0
1 + j!
A 0
1 + jx
, A 0 réel
Remarque : Pour réaliser les courbes (avec Maple), on a pris pour chaque filtre A 0 = 1.
5 - 2 Filtre passe haut du 1er^ ordre
H( j!) = A 0
j!
1 + j!
= A 0 jx
1 + jx
= A 0 1
1 "^ j
x
, A 0 réel
Gdb en fonction de log x
Gdb en fonction de log x
! (^) (e n rad) en fonction de log x
! (^) (e n rad) en fonction de log x
5 - 3 Filtre dérivateur
H( j!) = j!
= jx
5 - 4 Filtre intégrateur
H( j!) = 1
j!
jx
Gdb en fonction de log x ! (^) (e n rad) en fonction de log x
Gdb en fonction de log x
! (^) (e n rad) en fonction de log x
5 - 7 Filtre passe bande du 2ème^ ordre
H( j!) =
A 0 j!
Q! 0
1 "^!
2
+^ j
Q
A 0
1 + jQ!
$^ %
'^ (
A 0
1 + jQ x " 1
x
, A 0 réel
Gdb en fonction de log x
! (^) (e n rad) en fonction de log x
Q = 10 ; 1 ; 1
