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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Lille juin 1972 \
EXERCICE 1
On notera 0, 1, 2,... , ( n − 1) les éléments de l’ensemble Z/ n Z.
1. Résoudre, dans Z/7Z, l’équation
x^2 + 2 x − 3 = 0.
2. Trouver les diviseurs de zéro dans l’anneau Z/21Z. 30 Résoudre, dans Z/21Z, l’équation
x^2 + 2 x − 3 = 0.
EXERCICE 2
On considère la fonction numérique f , d’une variable réelle, définie par
f ( x ) = 2 x − x Log x
(Log x désigne le logarithme népérien de x ).
1. Déterminer les limites de f ( x ) et de f ( x ) x
quand x tend vers 0 et quand x tend vers +∞. Étudier les variations de la fonction f et construire sa représentation graphique (C) dans un repère orthonormé
O,
ı ,
; l’unité de longueur étant le seg-
ment dont la mesure, en centimètres, est
Déterminer les coordonnées du point P, intersection de la courbe (C) et de l’axe des abscisses.
2. En utilisant une intégration par parties, trouver l’aire, A ( λ ), du domaine plan défini par
λ 6 y 6 e^2 , et 0 6 y 6 f ( x )
et λ satisfaisant à la condition 0 < λ < e^2. Déterminer la limite, A , de A ( λ ) quand λ tend vers 0. On donnera une valeur approchée de A en centimètres carrés avec la préci- sion que permet la donnée de e, à 2.10−^4 près, e ≈ 2,718.
PROBLÈME
Partie A
Soit (P) le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé
O,
ı ,
. On dé- signe par l’application de (P) dans (P) qui, au point M de coordonnées x et y , associe le point M ′^ de coordonnées x ′^ et y ′^ définies par les relations
x ′^ = 2 x + 3 y et y ′^ = x + 2 y.
On note M ′^ = f ( M ).
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
1. Quel est l’ensemble des points invariants de l’application f? Montrer que f est une application affine de (P) dans (P) et qu’elle est bijective. Quelle est l’image d’une droite par f? Quelle est l’image d’une paire de droites parallèles? 2. a. On se propose de chercher s’il existe des points, M dont les transformés, M ′, par f satisfont à une relation de la forme
O M ′^ = k
O M ,
k étant une constante donnée non nulle. Montrer qu’il existe, pour la constante k , deux valeurs possibles, et deux seulement, k 1 et k 2 , si l’on impose à
O M d’être non nul. Déterminer, pour chacune de ces deux valeurs, les ensembles ( D ) et ( D ′) des points M satisfaisant à (1).
Mon !rer que ( D ) a pour vecteur directeur
I =
p 3 2
ı −
et que ( D ′) a
pour vecteur directeur
J =
p 3 2
ı +
Quelles sont les restrictions de f respectivement à ( D ) et à ( D ′)? b. Le plan (P) étant rapporté au repère
O,
ı ,
, les coordonnées d’un point quelconque, M , sont désignées par X et par Y , celles de M ′^ = f ( M ) par X ′^ et par Y ′^ ; montrer que l’on a
X ′^ =
p 3
X et Y ′^ =
p 3
Y.
3. On suppose M non situé sur ( D ) ou sur ( D ′). a. Montrer que M et M ′^ appartiennent à une hyperbole, ( H ), asymptote aux droites ( D ) et ( D ′). b. Soit ( H ) l’hyperbole d’équation X Y = h dans le repère
O,
ı ,
. Mon- trer que l’équation de la droite, (∆), tangente à ( H ) au point M 0 ( X 0 ; Y 0 ) peut s’écrire sous la forme
X 2 X 0
Y
2 Y 0
En déduire que la droite
, image de (∆) par f , esL tangente à ( H ) au point M ′ 0 = f ( M 0 ).
4. Soit ( L ) une droite qui coupe ( D ) et ( D ′) respectivement en A et en B. On note A′^ = f (A) et B′^ = f (B). Montrer que, s’il existe un réel λ tel que
A M = λ
AB ,
alors
A′^ M ′^ = λ
A′B′^.
La droite ( L ) étanL donnée, montrer qu’il existe une similitude, g , telle que, quel que soit M ∈ ( L ), on a M ′^ = g ( M ).
Partie B
On pose u 0 = 1 et v 0 = 0. Les formules de récurrence,
un + 1 = 2 un + 3 vn et vn + 1 = un + 2 vn ,
définissent deux suites illimitées d’entiers naturels ( u 0 , u 1 , ... , un , ...) et ( v 0 , v 1 , ... , vn , ...).
1. Montrer que, ∀ n ∈ N, u^2 n − 3 v^2 n = 1.
Lille 2 juin 1972
