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[ Baccalauréat C Grenoble septembre 1977 \
EXERCICE 1 3 POINTS
1. Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel n , le reste de la division par 7 de 5 n^. 2. En déduire le reste de la division par 7 de 5^136. 3. Un nombre s’écrit 3 x 53 en base 10. Déterminer x pour que l’on ait
5136 + 3 x 53 ≡ 0 (mod 7).
EXERCICE 2 4 POINTS
Soit( E l’espace affine euclidien de dimension 3 rapporté à un repère orthonormé
O,
ı ,
k
Soit f l’application de E dans E qui, au point M de coordonnées ( x ; y ; z ), fait correspondre le point M ′^ de coordonnées
x ′^ ; y ′^ ; z ′
tel que :
x ′^ = − z + 1 y ′^ = x − 4 z ′^ = − y
Démontrer que f est composée d’une rotation R, d’axe δ , et d’une translation T ,
de vecteur
v ,
v étant un vecteur directeur de δ (autrement dit, f est un vissage). Déterminer δ et
v.
PROBLÈME 13 POINTS
Partie A
On rappelle que l’ensemble F des applications de R dans R, muni de l’addition et de la multiplication externe par un scalaire, est un espace vectoriel sur R, dont on notera 0 l’élément nul. Si a et b sont deux nombres réels, on note ga , b l’application de R dans R définie par :
ga , b ( x ) = ( a cos x + b sin x )
et on note fa , b l’application définie par :
fa , b ( x ) = e− x^ ga , b ( x ) = e− x^ ( a cos x + b sin x ).
On note E l’ensemble des applications fa , b lorsque a et b parcourent R.
1. a. Montrer que E est un sous-espace de F. b. Montrer que les deux applications e 1 = f 1, 0 ( x 7 −→ e− x^ cos x ) et e 2 = f 0, 1 ( x 7 −→ e− x^ sin x ) forment une base de E. 2. a. Soit f un élément de E ; montrer que sa fonction dérivée est élément de E. On note D l’application de E dans E qui à tout élément de E associe sa fonction dérivée ; montrer que D est un endomorphisme de E et calculer la matrice de D dans la base ( e 1 , e 2 ).
Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.
b. Montrer que D admet une application réciproque D −^1 , dont on détermi- nera la matrice dans la base ( e 1 , e 2 ). En déduire que tout élément f de E a une primitive et une seule dans E. c. Application : trouver la primitive dans E de l’application f = f 2, − 4 (défi- nie par f ( x ) = e− x^ (2cos x − 4sin x ) pour tout x ∈ R)
3. Soit f un élément de E , et f ′^ et f ′′^ ses dérivées première et seconde. a. Montrer, sans calcul, qu’il existe trois nombres réels α , β , γ , non tous nuls tels que
(1) αf + β f ′^ + γ f ′′^ = 0. b. Déterminer un triplet ( α , β , γ ) de nombres réels non tous nuls, indépen- dants de f , pour lequel (1) est satisfaite, c. Utiliser ce résultat pour retrouver la matrice de D −^1 dans la base ( e 1 , e 2 ).
4. Soit P un plan affine euclidien, rapporté à un repère orthonormé directe
O,
ı ,
Au point M de coordonnées ( a ; b ) de P on associe le nombre complexe z = a + i b , appelé affixe de M. Soit ϕ la bijection de E sur P qui a fa , b associe le point M de coordonnées ( a ; b ) de P, et soit T = ϕ ◦ D ◦ ϕ −^1. Si M est le point de coordonnées ( a ; b ), on note
a ′^ ; b ′
les coordonnées du point M ′^ = T ( M ). On se propose d’étudier T. a. Exprimer (a’ ; b’) en fonction de ( a ; b ), et l’affixe z ′^ de M ′^ en fonction de l’affixe z de M. b. Quelle est la nature de l’application T?
Partie B
On considère la courbe (C), ensemble de points de P dont les coordonnées ( x ; y ) satisfont à la relation ( y − cos x )^2 = cos2 x.
1. Étudier les variations des fonctions φ + et φ − définies par
φ +( x ) = cos x +
p cos 2 x , et φ −( x ) = cos x −
p cos 2 x (on pourra admettre qu’aux points d’abscisse x telle que cos 2 x = 0, la courbe ( C ) admet une tangente de vecteur directeur
Comment peut-on déduire la partie de ( C ) située dans l’ensemble des points dont l’abscisse x vérifie
3 π 4
6 x 6
5 π 4 de la partie de ( C ) située dans l’en-
semble des points dont l’abscisse x vérifie −
π 4
6 x 6
π 4 Construire la courbe ( C ).
2. On note
Ca , b
la courbe représentative de la fonction x 7 −→ ga , b ( x ). On pose t = tg x. Montrer que pour que les courbes ( C ) et
Ca , b
aient un point commun d’abscisse x , il faut et il suffit que t satisfasse à une équation du second degré
Ea , b
qu’on déterminera.
3. On dira que les courbes ( C ) et
Ca , b
sont tangentes si l’équation
Ea , b
admet une racine double. Montrer que pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que a et b satisfassent à une équation du second degré, qu’on déterminera.
4. Soit ( H ) l’ensemble des points M de P dont les coordonnées ( a ; b ) vérifient a^2 − b^2 − 2 a = 0. Montrer que ( H ) est une hyperbole, dont on précisera les sommets et les foyers. Quelle est la nature de l’image ( H ′) de ( H ) par T? Soit U l’application de P dans P qui au point M associe le milieu du bipoint ( M ; T ( M )). Quelle est la nature de U? Quelle est la nature de l’image ( H ′′) de ( H ) par U?
Grenoble 2 septembre 1977
