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GROUPES D’ISOMETRIES
Le groupe des isométries Is(X) d’un objet X "mesure" ses symétries (en plus d’avoir une structure de groupe). Il s’agit d’information de nature algébrique sur X. Ce cours est une illustration incontournable des actions de groupes, explicitement au programme de l’agrégation interne. On voit une belle interaction entre la théorie des groupes et la géométrie, ce qui en fait une leçon transverse que l’on peut placer dans bon nombre de situations.
Commençons par voir ce qu’il faut connaître sur les actions de groupes.
1 Action de groupes
Soit G un groupe d’élément neutre e et X un ensemble. On dit que G agit sur X s’il existe une application
ϕ : G × X → X, (g, x) 7 → g.x
telle que pour tout x dans X :
- e.x = x,
- g.(g′.x) = (gg′).x. Les deux exemples fondamentaux (et très naturels) sont les suivants
- Le groupe symétrique S(E) d’un ensemble E agit sur E de façon naturelle par (s, x) 7 → s(x).
- Le groupe linéaire GL(E) d’un espace vectoriel E agit sur E de façon naturelle par (g, v) 7 → g(v).
Fixons un élément x 0 dans X. Alors, on peut définir une application
ϕx 0 : G → X, g 7 → g.x 0.
L’image de cette application est appelée orbite de x 0 pour l’action de G. Il est pratique et intuitif de la noter G.x 0. La préimage de x 0 par cette application est donc l’ensemble de g de G tels que g.x 0 = x 0. On voit facilement qu’il s’agit d’un sous-groupe de G appelé stabilisateur de x 0 pôur des raisons que l’on comprendra parfaitement.
Proposition 1 : Soit G un groupe agissant sur un ensemble X et x dans X. Alors,
Gg.x = gGxg−^1.
Démonstration : Soit h dans Gx, alors,
(ghg−^1 ).(g.x) = (gh).((g−^1 g).x) = (gh).(x) = g.(h.x) = g.x.
D’où l’inclusion gGxg−^1 ⊂ Gg.x. L’inclusion inverse est similaire.
Définition 1 : On dit qu’une action est fidèle si le stabilisateur d’un élément est réduit à l’identité.
A partir d’une action d’un groupe G sur un ensemble X, on peut définir un morphisme de G vers le groupe S(X) des permutations de l’ensemble X par
φ : G → S(X), φ(g)(x) = g.x.
On vérifie que c’est bien un morphisme de groupe à l’aide des axiomes de l’action de groupe.
Une action peut donc être donnée soit par l’application φ, soit par le morphisme ψ. Il ne faut surtout pas les confondre : la seconde est un morphisme de groupes dont le noyau est souvent appelé noyau de l’action, la première est une simple application continue (entre autres ne jamais dire qu’un stabilisateur est un noyau, il n’est en général pas distingué !).
Définition 2 : Le sous-groupe distingué Ker φ est appelé noyau de l’action. L’action est dite fidèle si ce noyau est trivial.
2 Groupe d’isométries.
Définition 3 : Le groupe Is(X) des isométries d’un objet X ⊂ R^3 est le sous-groupe des isométries de l’espace affine R^3 qui stabilisent X.
Remarque : On pourra aussi aisément généraliser les résultats au cas des isométries de R^2. Attention toutefois au fait qu’une symétrie par rapport à un point est un déplacement dans le plan, mais un antidéplacement dans l’espace.
Il faut faire attention à ce que l’on dit quand on parle du groupe d’isométrie d’un solide platonicien, par exemple d’un tétraédre, puisque celui-ci a été défini à similitude près. On va voir que deux objets en similide ont le même groupe d’isométries (à isomorphisme près bien sûr) :
Proposition 2 : Soit ϕ ∈ GO(R^3 ) une similitude. Alors Is(X) ' Is
ϕ(X)
Démonstration : Soit Is(X) −→ Is
ϕ(X)
morphisme bien défini car si g ∈ Is(X), g 7 −→ ϕgϕ−^1
alors ϕgϕ−^1
ϕ(X)
= ϕ
g(X)
= ϕ(X).
Posons ϕ = λψ avec λ ∈ R, ψ ∈ Is(R^3 ). Alors, ϕgϕ−^1 = (λψ)g(λψ−^1 ) = ψgψ−^1 ∈ Is(R^3 ) car ψ ∈ Is(R^3 ). Ce morphisme est clairement injectif et surjectif.
Voici maintenant une proposition qui va d’une part ramener l’etude de Is(X) à celle de Is+(X) (le sous-groupe des déplacements de Is(X)), d’autre part ramener l’étude de Is+(X) à l’étude de permutations de sommets. On commence pour cela par une définition^1 : (^1) Il n’est pas totalement inutile de rappeler ici le théorème de Krein-Milman : Tout convexe compact d’un espace affine de dimension finie est enveloppe convexe de l’ensemble de ses points extrémaux.
Si X est un cercle, alors Is+(X) ' S^1
Ici, Is+^ est carrément un groupe continu.
Proposition 4 : Groupes d’isométries du tétraèdre : Is(∆ 4 ) ' S 4 et Is+(∆ 4 ) ' A 4
Démonstration :
On fait agir Is(∆ 4 ) sur S = {A, B, C, D} l’ensemble des sommets du tétraèdre par la proposition précédente. Ainsi ϕ : Is(∆ 4 ) −→ S 4 est un morphisme de groupes
g 7 −→ g|S
L’action est fidèle car si ϕ(g) = idS , alors g stabilise S qui est un repère de l’espace affine d’où g = idR 3.
Donc le groupe Is(∆ 4 )s’injecte dans S 4. De plus, la réflexion rAB par rapport au plan M CD avec M milieu de AB réalise la transposition (A B), ie
φ(rAB = (A B) :
Donc toutes les tranpositions sont dans Is(∆ 4 ) et a fortiori tout S 4 ⊂ Is(∆ 4 ) puisque les transpositions engendrent
le groupe symétrique. Donc finalement, ϕ est un isomorphisme et Is(∆ 4 ) ' S 4.
On sait que le seul sous-groupe d’indice 2 de Sn est le groupe alterné An. Le groupe Is+(∆ 4 ) étant d’indice 2 dans Is(∆ 4 ), on a aussi Is+(∆ 4 ) ' A 4.
Pour les amateurs du genre :
Proposition 5 : Groupe d’isométries directes du cube : Is+(C 6 ) ' S 4. Groupe d’isométries du cube : Is+(C 6 ) ' S 4 × Z/ 2 Z.
Démonstration : On fait agir Is+(C 6 ) sur D = {D 1 , D 2 , D 3 , D 4 } l’ensemble des grandes diagonales du cube (elles sont preservées par
les isométrie de Is(C 6 ) puisque ce sont les plus grandes longueurs que l’on peut trouver dans le cube). Ainsi
ϕ : Is+(C 6 ) −→ S 4 g 7 −→ g|D
Montrons que l’action est fidèle. Soit ϕ(g) = idD , alors en notant Di = AiGi , les diagonales,
g(A 1 ) = A 1 g(G 1 ) = G 1
et
dans ce cas en utilisant le fait que g fixe toutes les diagonales et les deux points opposés A 1 et G 1 , on obtient que
g fixe tous les sommets, donc g = idR 3. Ou bien
g(Ai ) = Gi g(Gi ) = Ai
et sO g = Id d’après ce qui précède et g est donc
la symétrie centrale sO en O ce qui est impossible puisque g ∈ Is+(C 6 ). Donc Ker(ϕ) = {idR 3 } et l’action est bien fidèle : Is+(C 6 ) ⊂ S 4.
Comme dans la démonstration précédente, on peut voir que les transpositions sont toutes réalisées (ici grâce à des
retournements d’axes reliant les milieux des arêtes joignant les diagonales), et donc que Is+(C 6 ) ' S 4. La seconde assertion est claire car le cube admet un centre de symétrie.
Là, c’est abuser :
Proposition 6 : Groupes d’isométries du dodécaèdre :
Is(P 12 ) ' A 5 × Z 2 Z et Is+(P 12 ) ' A 5
Idée de la preuve. On admet qu’exactement cinq cubes distincts Ci, 1 ≤ i ≤ 5 , sont inscrits dans le dodécaèdre :
Is+(P 12 ) agit sur C = {C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 } l’ensemble des cubes inscrits d’où le morphisme Is+(P 12 ) −→ S 5. Soit g tel que g(Ci ) = Ci. Alors g = idR 3 (car il fixe les grandes diagonales du dodécaèdre et n’est pas une symétrie centrale) d’où l’action est fidèle et Is+(P 12 ) ⊂ S 5. Or, combien y a-t-il d’éléments de Is+(P 12 )? Comme ce sont des rotations, on va compter les axes possibles, puis les angles possibles.
- Axe de sommet à sommet opposé. 202 = 10 axes possibles, les angles (non nuls) 23 π , 43 π.
- Axe de milieu d’arête à milieu d’arête opposée. 302 = 15 axes possibles, les angles (non nuls) π.
- Axe de sommet à sommet opposé. 122 = 6 axes possible, les angles (non nuls) 25 π , 45 π , 65 π , 85 π.
