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Université Abdelmalek Essaâdi Année universitaire 2012/ Faculté des Sciences Filière SMPC Tétouan Semestre S
Module Physique 1 TD de Mécanique Corrigé de la série N°
Exercice 1: On supposera que ω est une constante > 0. Les deux référentiels qui interviennent sont: le référentiel absolu ℜ(Oxyz) et le référentiel relatif ℜ 1 (O x y z ) 1 1 1 1.
Figure 1
- Vitesse relative de A dans la base de Frenet :
On a : (^1) 1
R R
v (A) dOA dt
(^). Calculons le vecteur OA^ ^ dans la base
( ex^1 , e^ y 1 , ez 1 )
(^) de R 1. Par
projection de OA
, il vient : OA = r sin( )eθ (^) x 1 + r cos( )eθ z 1
. D’où par dérivation par rapport
au temps : v^ R 1 (A) = θr ^ cos( )eθ (^) x 1 − θr ^ sin( )eθz 1.
Le vecteur tangent de la base de Frenet est: 1 ( 1 1 )
1
R t x z R
v (A) e cos( )e sin( )e v (A)
= = θ θ − θ θ
(^) . D’où
il vient : v^ R 1 (A) = θr e^ t.
A
e t y 1
x 1
e n
ey 1
ex 1
O
ez =ez 1
e y
e x
x
z
y
z 1
θ
α
- Accélération relative de A dans la base de Frenet :
On a : 1 1 1 1
R (^) t R t R^ R
dv (A) (^) de (A) r e r dt dt
γ = = θ + θ
(^) (^). En appliquant la règle de calcul de la dérivée
d’un vecteur unitaire par rapport au temps connaissant l’angle sur lequel il s’appuie, on
obtient : 1
t n R
de (^) e dt
= θ
(^). D’où γ^ (^) R 1 (A) = θr e ^ t + θr ^2 en.
2)* La vitesse d’entraînement est définie par : e 1 1 ( 1 ) 1
R
v (R / R) dOO R / R O A dt
On a :
OO 0 dOO 0 dt
- Ω (^) ( R / R 1 ) = αe (^) z 1 = ωe (^) z 1 ⇒ Ω (^) ( R / R 1 )∧ O A 1 = ωe (^) z 1 ∧ ^ r sin( )eθ (^) x 1 + r cos( )eθ z 1
^
(^) , soit
Ω ( R / R 1 ) ∧ O A 1 = ωr sin( )e θ y 1
. D’où v (R / R)^ e 1 = ω^ r sin( )eθ^ y 1.
- L’accélération d’entraînement est définie par :
ee 1 2 1 1 1 1 R (^) R
d OO^ d^ R / R (R / R) O A R / R R / R O A dt dt
γ = + ∧ + Ω ∧ (^) Ω ∧
Comme OO 1 = 0
et Ω ( R / R 1 )= cste
, les deux premiers termes sont nuls , il suffit alors
de calculer le troisième terme. En utilisant le résultat du calcul du deuxième terme de
la vitesse d’entraînement Ω ( R / R 1 )∧ O A 1
qui est fait ci-dessus, le calcul du deuxième
produit vectoriel à gauche donne:
Ω ( R / R 1 ) ∧ ^ Ω ( R / R 1 ) ∧ O A 1 ^ = ω ez 1 ∧ ^ ωr sin( )e θ y 1 = − ωr 2 sin( )eθ x 1
. D’où:
1
2 γ (^) ee (R / R) 1 = − ωr sin( )eθ x
- L’accélération de Coriolis est :
γc (R / R) 1 = 2 Ω ( R / R 1 ) ∧ v (A)r = 2 ωe z 1 ∧ r θ cos( )eθ x 1 − θr sin( )eθ z 1 = 2r ωθ cos( )eθ y 1
γ (^) c (R / R) 1 = 2r ωθ cos( )eθ y 1
- Par composition des vitesses, on a : v (A)^ ^ R = v^ R 1 (A) +v (R / R)^ e 1. D’où :
v (A)R = θr cos( )eθ (^) x 1 + ωr sin( )e θ (^) y 1 − θr sin( )e θ z 1
- Par composition des accélération, on a : γ^ R (A) = γ (^) R 1 (A) + γ (^) ee (R / R) 1 + γ^ c (R / R) 1.
Calculons alors l’accélération relative dans la base ( e^ x 1 , e^ y 1 , ez^1 ) de R 1. Le calcul direct à
partir de l’expression de la vitesse relative calculée dans la première question donne :
1 1 (^1 1 )^ (^ )^1 (^ ) 1 1
R (^2 ) R x z x z R
dv (A) (^) d (A) r cos( )e r sin( )e r cos( ) r sin( ) e r sin( ) r cos( ) e dt dt
γ = = θ θ − θ θ = θ θ − θ θ − θ θ + θ θ
(^) (^) (^) (^)
D’où
γ R (A) = ( r θ cos( )θ − r( ω + θ^2 2 )sin( ) eθ ) x 1 + 2r ωθ cos( )eθ y 1 − ( r θ sin( )θ + θ r 2 cos( ) eθ) z 1
translation par rapport à R. Par projection de O M 1
il vient : O M 1 = r sin( )eθ (^) y 1 + r cos( )eθ z 1
. D’où v^ R 1 (M) = θr ^ cos( )eθ y 1 − θr ^ sin( )eθz 1. En substituant θ = ωt
dans cette expression (en admettant que l’origine de θ coïncide avec l’origine des temps), on obtient : v^ R 1 (M)^ = ωr^ cos(^ ω^ t)e^ ^ y 1 − ωr^ sin(^ ωt)ez 1
- Vitesse d’entraînement de R 1 par rapport à R :
Par définition, on a : e 1 1 ( 1 ) 1
R
v (R / R) dOO R / R O M dt
. Ici ( )
Ω R / R 1 = 0
, donc seul le
premier terme dû à la translation est à calculer. Avec OO 1 = λt e (^2) y 1 +rez 1
(^) où λ et r sont
constants, il vient : (^1) y 1 R
dOO (^) 2 te dt
= λ
(^). D’où v (R / R)e 1 = 2 teλ (^) y 1
- Vitesse absolue : Par composition des vitesses, il vient : v (M)^ ^ R = v^ R 1 (M) +v (R / R)^ e 1. D’où
v (M)R = ( 2 tλ + ω r cos( ωt) e ) y 1 − ωr sin( ωt)ez 1
^
Par définition, on a : 1 1 ( 1 1 )
1
R R y z R
dv (M) (^) d (M) r cos( t)e r sin( t)e dt dt
γ = = ω ω − ω ω
(^). Ce qui donne
1 1 1
2 2 γ (^) R (M) = − ωr sin( ωt)e (^) y − ωr cos( ωt)ez
- Accélération d’entraînement :
Comme Ω ( R / R 1 )= 0
, l’accélération d’entraînement se réduit à :
2 ee 1 2 1 R
(R / R) d OO dt
γ =
D’où γ^ ee (R / R) 1 =^ 2 eλ y 1
- Accélération de Coriolis :
Comme Ω ( R / R 1 )= 0
, l’accélération de Coriolis est γ (^) c (R / R) 1 = 0
- Accélération absolue : Par composition des accélérations, on a : γ^ R (M) = γ (^) R 1 (M) + γ (^) ee (R / R) 1 + γ^ c (R / R) 1.
γ R (M) = ( 2 λ − ωr 2 sin( ωt) e ) y 1 − ωr 2 cos( ωt)ez 1
Exercice 3: L’interprétation correcte du mouvement composé est une étape essentielle dans la résolution d’un problème de cinématique faisant intervenir plusieurs référentiels en mouvement relatif.
Dans ce problème interviennent deux référentiels : le référentiel absolu ℜ(Oxyz) et le référentiel relatif ℜ 1 (O x y z ) 1 1 1 1. La figure 2 montre les deux repères de ces deux
référentiels. Le mouvement relatif est défini par : OO 1 = λt e^2 z 1
(^)
et Ω ( R / R 1 ) = θez 1
(^) .
Figure 2
On a : (^1) 1
R^1 R
v (M) dO M dt
(^). Exprimons alors le vecteur O M 1
dans la base relative
( e^ x 1 , ey^1 , ez 1 )
(^). Par projection de O M 1
dans R 1 , il vient : O M 1 =x e 1 x 1
. D’où v^ R 1 (M) = x e^1 x 1.
Par définition, on a : e 1 1 ( 1 ) 1
R
v (R / R) dOO R / R O M dt
(^) ⇒ (^1) z 1 R
dOO (^) 2 te dt
= λ
(^)
⇒ Ω ( R / R 1 ) ∧ O M 1 = θe z 1 ∧ ( x e 1 x 1 )= x 1 θey 1
D’où v (R / R)^ e 1 =^ x 1 θ^ e^ y^1 +^ 2 teλz 1.
- Vitesse absolue : Par composition des vitesses, on a : v (M)^ ^ R = v (^) R 1 (M) +v (R / R)^ e 1. D’où
v (M)R = x e 1 x 1 + x 1 θe (^) y 1 + 2 teλ z 1
Tube
M
(^1) θ ez
θ
y 1
x 1
ey 1
ex 1
O
e z
e y
e x
x
z
y
z 1
La figure 3 montre les deux repères de ces deux référentiels. Le mouvement relatif est défini par : OO 1 = 0
(^)
et Ω ( R / R 1 ) = ωey 1
(^) .
- Accélération d’entrainement
On a : (^ )^ ( ) ( )
(^211) ee 1 2 1 1 1 1 R (^) R
d OO^ d^ R / R (R / R) O M R / R R / R O M dt dt
γ = + ∧ + Ω ∧ (^) Ω ∧
^
Puisque le mouvement est plan dans le plan x Oy 1 1 , on a : O M 1 = x e 1 x 1 +y e 1 y 1
• OO 1 = 0
⇒
(^21) 2 R
d OO (^0) dt
- Ω (^) ( R / R 1 ) = ωe (^) y 1 = cste
(^)
⇒ (^1 )
R
d R / R 0 dt
- Ω (^) ( R / R 1 ) ∧ ^ Ω ( R / R 1 ) ∧ O M 1 = ωe (^) y 1 ∧ ^ ω e (^) y 1 ∧ (^) ( x e 1 x 1 + y e 1 y 1 ) = ωe (^) y 1 ∧ −( x 1 ωe (^) z (^1) )= −x 1 ω^2 ex 1
D’où γ^ ee^ (R / R) 1 = −^ x 1 ω^2 ex^1.
Par définition, on a : γc (R / R) 1 = 2 Ω ( R / R 1 ) ∧ vR 1 (M) = 2 ωe y 1 ∧ ( x e 1 x 1 +y e 1 y 1 )
. D’où γ (^) c (R / R) 1 = − ω 2 x e 1 z 1
- Le référentiel R 1 est non galiléen, l’application du principe fondamental de la
dynamique dans ce référentiel se fait en rajoutant aux forces extérieures, les forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis. Pour appliquer le principe fondamental de la dynamique (PFD), il convient d’effectuer les 4 étapes suivantes :
- Référentiel d’étude : ℜ 1 (O x y z ) 1 1 1 1 non galiléen
- Système étudié : Point M
* Repère de projection choisi : ( e^ x 1 , e y 1 , ez 1 )
(^) .
- Réaction du plan : R =R (^) z 1 ez 1
(^) ( R (^) x 1 = R (^) y 1 = 0 car pas de frottement, la réaction est normale au plan support du mouvement)
- Force d’inertie d’entraînement : F ie = −m γe (R / R) 1 = mx 1 ω^2 ex 1
(^)
- Force d’inertie de Coriolis : Fic = −m γc (R / R) 1 = m ωx e 1 z 1
(^) (^)
L’application du PDF, permet d’écrire alors l’équation vectorielle suivante : P + R + Fie + Fic = mγ (^) R 1 (M)
(^)
. Avec γ^ (^) R 1 (M) = x e^ ^1 (^) x 1 +y e^1 y 1 , cette équation s’écrit: 1 1 1 1 1 1 1 − mge^ y + R (^) z ez + mx 1 ω^2 e (^) x + m ωx e 1 z = mx e 1 x +my e 1 y.
Par projection de cette équation vectorielle, il vient :
1
(^21 ) 1 z 1
m x mx mg my R m x
ω = − = (^) = − ω
. D’où les deux types
d’équations suivantes :
- Equations du mouvement : x 1 − ω^2 x 1 = 0 (1) y 1 = −g (2)
- Equation de liaison : R (^) z 1 = −m ωx^1 (3)
- L’intégration de l’équation (1) permet de trouver la loi horaire du mouvement selon la direction Ox 1. L’équation caractéristique associée à (1) est : r 2 − ω^2 = 0. Elle admet les deux solutions réelles : r 1 = −ω et r 2 = ω. D’où x (t) 1 = Ae −ωt^ + Beωt. Les constantes A et B sont déterminées grâce aux conditions initiales. Celles-ci sont dans le cas présent :
x (0) 1 = a et x (0)^1 = 0. D’où 1 1
x (0) A B a x (0) A B 0
^ =^ +^ = (^) = −ω + ω = ^
, dont la solution est : A = B = a 2.
Finalement
t t 1 x (t) a e^ e a ch( t) 2
−ω^ + ω = (^) = ω
- La double intégration de (2) par rapport au temps donne la loi horaire du mouvement. La première intégration par rapport au temps donne y^1 = −gt +C 1 , la
deuxième conduit à : y (t) 1 = − 12 gt 2 + C t 1 + C 2. Les conditions initiales s’écrivent :
1 1 1 2
y (0) C 0 y (0) C 0
^ =^ = (^) = = ^
. D’où y (t) 1 = −^12 gt^2.
- L’équation (3) permet de calculer la réaction. Pour cela il suffit de dériver x (t) 1 par rapport à t. D’où R (^) z 1 = −2ma ω^2 sh( ωt).
