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Université Abdelmalek Essaâdi Année universitaire 2012/ Faculté des Sciences Filière SMPC Tétouan Semestre S
Module Physique 1 TD de Mécanique Corrigé de la série N°
Exercice 1: On supposera que θ = ω^ est une constante > 0. Les deux référentiels qui interviennent sont: le référentiel absolu ℜ(Oxyz) et le référentiel relatif ℜ 1 (O x y z ) 1 1 1 1.
Figure 1
On rappelle que d’après l’exercice 3 de la série 3, on obtient en remplaçant θ = ω^ et θ =^0 : γ^ (^) R 1 (M) =x e^ 1 x 1 et γ^ (^) ee (R / R) 1 = −x 1 ω^2 ex 1 + 2 eλz^1. Le calcul de l’accélération de
Coriolis donne: γ c (R / R) 1 = 2 Ω ( R / R 1 ) ∧ v R 1 (A) = 2 ωe z 1 ∧ ^ x e 1 x 1 = 2 ωx e 1 y 1
(^). Par composition
des accélérations, il vient: γ^ (^) R (M) = γ (^) R 1 (M) + γ (^) ee (R / R) 1 + γ^ c (R / R) 1. Soit
γ (^) R (M) = (^) ( x 1 − ω^2 x 1 ) e (^) x 1 + 2 ωx e (^1) y 1 + 2 eλz 1
- Référentiel d’étude : ℜ(Oxyz) galiléen
- Système étudié : point matériel M
- Repère de projection : base mobile (^) ( e^ x 1 , e (^) y 1 , ez 1 )
- Bilan des forces extérieures : o Poids : P = mg = −mgez 1
Tube
M
(^1) θ ez
θ
y 1
x 1
ey 1
ex 1
O
e z
e y
e x
x
z
y
z 1
o Réaction du tube : R = R (^) y 1 e (^) y 1 +R (^) z 1 ez 1
( R (^) x 1 = 0 car pas de frottement) o Force : F = −Kx e 1 x 1
Par application du principe fondamental de la dynamique, il vient:
P + R + F = m γ R(M)
Soit après projection des vecteurs sur les axes du repère (^) ( e^ ^ x 1 , e (^) y 1 , e^ z 1 ):
−mge (^) z 1 + R (^) y 1 e (^) y 1 + R (^) z 1 ez 1 − Kx e 1 x 1 = m x ( 1 − ω^2 x 1 )ex 1 + 2m ωx e (^1) y 1 + 2m eλz 1
D’où les trois équations suivantes :
( ) 1 1
2 1 1 1 y 1 z
Kx m x x (1) R 2m x (2) mg R 2m (3)
− = − ω =^ ω − + = λ
a) L’équation différentielle du mouvement s’obtient à partir de l’équation (1) ci-dessus.
Elle s’écrit : x 1 2 K x 1 0 m
− ^ ω − = (^) . C’est une équation différentielle homogène linéaire de
second ordre et à coefficients constants. Sa résolution permet d’obtenir la loi horaire du mouvement x (t) 1.
b) Les équations (2) et (3) permettent de calculer les composantes de la réaction :
1 1
y 1 z
R 2m x R mg 2m
^ =^ ω (^) = + λ
. La composante R (^) z 1 se calcule directement, l’autre R (^) y 1 nécessite la
connaissance de x^1 qui s’obtient par dérivation temporelle de x (t) 1 , solution de (1).
- Posons : K^20 m
= ω , l’équation différentielle du mouvement s’écrit alors :
x 1 − ω − ω ( 2 20 )x 1 = 0 (4)
L’équation caractéristique associée à (4) s’écrit : r 2 + ω − ω( 20 2 )= 0. Ses deux solutions
sont réelles: r 1 = − ω − ω^2 02 et r 2 = ω − ω^2 20. La solution générale de l’équation (4)
s’écrit alors :
(^2 20) t 2 20 t x (t) 1 Ae Be = −^ ω −ω^ + ω −ω où les deux constantes A et B se calculent à
l’aide des conditions initiales. Calculons x^1 pour exprimer la condition initiale sur la
vitesse. Par dérivation par rapport au temps de x (t) 1 , il vient: 2 2 2 20 t^2 22 20 t x (t) 1 A 0 e B 0 e (^) = − ω − ω −^ ω −ω^ + ω − ω ω −ω. Les conditions initiales sont telles que :
Les deux référentiels qui interviennent sont: le référentiel absolu ℜ(Oxyz) et le référentiel relatif ℜ 1 (O x y z ) 1 1 1 1. ℜ (Oxyz) est galiléen alors que ℜ 1 (O x y z ) 1 1 1 1 est non
galiléen. Ω ( R / R 1 ) = ωez 1
avec ω = cste > 0.
- Energie mécanique du système M dans le référentiel non galiléen ℜ 1 (O x y z ) 1 1 1 1. Par définition de l’énergie mécanique, on a : E (^) m (M / R ) 1 = E (M / R )p 1 + E (M / R )c 1 , où
E (M / R ) c 1 est l’énergie cinétique et E (M / R )p 1 l’énergie potentielle.
- Calcul de l’énergie cinétique :
Par définition, on a : (^1)
2 c 1 R E (M / R ) 1 m v (M) 2
= ^. Calculons la vitesse relative v^ ^ R 1 (M).
Pour cela exprimons le vecteur position OM
dans la base (^) ( e^ x 1 , ey 1 , e^ z 1 ). En utilisant la
relation de Chasles, il vient : OM = OA +AM
. Mais OA =bex 1
et AM = b cos( )e ( θ (^) x 1 + sin( )eθ y 1 )
, ce qui donne : OM = b 1( + cos( ) eθ ) x 1 + b sin( )eθ y 1
. La
dérivation de ce vecteur par rapport au temps dans ℜ 1 (O x y z ) 1 1 1 1 donne :
1 1 1 1
R x y R
v (M) dOM b sin( )e b cos( )e dt
= = − θ θ + θ θ
(^) (^) . D’où
c 1 (^2 2 2 2 2 2 ) E (M / R ) 1 m b sin ( ) b cos ( ) 2
= θ^ θ + θ^ θ , soit : E (M / R ) c 1 1 mb^2 2
= θ^.
- Calcul de l’énergie potentielle: Les forces qui s’appliquent au système, point matériel M, comprennent :
- Le poids : P = mg = −mgez 1
- La réaction : R =R (^) z 1 ez 1
(car pas de frottement)
- La force d’inertie d’entraînement: Fie = − m γe ( R / R 1 )
Comme il n’y a pas de translation de ℜ 1 (O x y z ) 1 1 1 1 par rapport à ℜ(Oxyz) , l’accélération
d’entraînement se réduit à γ e ( R / R 1 ) = ω ez 1 ∧ ^ ωe z 1 ∧OM
. Avec ω ez 1 ∧
ω ez 1 ∧ OM = ωe (^) z 1 ∧ ^ b 1 + cos( ) eθ (^) x 1 + b sin( )eθ (^) y 1 = −b sin( )e θ (^) x 1 + b ω 1 + cos( ) eθ y 1
, il
vient: γ^ e ( R / R 1 ) = ωe ^ z 1 ∧ − ω b sin( )eθ x 1 + b ω ( 1 + cos( ) eθ ) y 1 = − ωb 2 ( 1 + cos( ) eθ ) x 1 − b ω^2 sin( )eθy 1
D’où F ie^ =^ mb^ ω^2 (^1 +^ cos( ) eθ^ ) x^1 +^ mb^ ω^2 sin( )eθ y 1
- La force d’inertie de Coriolis : Fic = −m γ (^) c (R / R) 1
L’accélération de Coriolis est :
γ^ c ( R / R 1 ) = 2 ωe z 1 ∧ − θb ^ sin( )eθ x 1 + b θ^ cos( )eθ y 1 = −2b ωθ^ cos( )eθ ^ x 1 − 2b ωθ^ sin( )eθy 1. D’où
Fic = 2mb ωθ cos( )eθ (^) x 1 + 2mb ωθ sin( )eθ y 1
Par définition de l’énergie potentielle d’un système observé dans un référentiel non
galiléen, on a : p^1 ie ic
dE (M / R ) P(P) P(R) P(F ) P(F ) dt
- Calcul de la puissance du poids : Par définition, on a : P(P) = P.v (^) R 1 (M) = −mge. (^) z 1 ( − θb sin( )eθ (^) x 1 + b θ cos( )eθ y 1 )
⇒ P(P) = 0
- Calcul de la puissance de la réaction : On a : P(R) = R.v (^) R 1 (M) = R (^) z 1 e .z 1 ( − θb sin( )eθ (^) x 1 + b θ cos( )eθ y 1 )
⇒ P(R) = 0
- Calcul de la puissance de la force d’entraînement : On a : P(F )ie = F .vie R 1 (M) = (^) ( mb ω^2 ( 1 + cos( ) eθ (^) ) x 1 + mb ω^2 sin( )eθ (^) y (^1) ). (^) ( − θb sin( )eθ (^) x 1 + b θ cos( θ)ey 1 )
P(F )^ ie^ = −mb 2 ω θ^2 ^ sin( )θ.
- Calcul de la puissance de la force de Coriolis: On a : P(F )ic = F .vic R 1 (M) = (^) ( 2mb ωθ cos( )eθ (^) x 1 + 2mb ωθ sin( )eθ (^) y 1 ) .( − θb sin( )eθ (^) x 1 + b θ cos( )eθ y 1 )
P(F ) ic = 0
(Résultat qui était prévisible en remarquant que la force de Coriolis est orthogonale à la vitesse relative).
La définition de l’énergie potentielle vue ci-dessus, permet maintenant d’écrire : dE (M / R ) p (^1) mb (^2 2) sin( ) dt
= ω θ^ θ. Par intégration par rapport au temps, on obtient alors: E (M / R )p 1 = −mb 2 ω^2 cos( )θ + cste. La constante peut être prise égale à zéro car seules
les variations de l’énergie potentielle sont importantes.
Finalement, l’énergie mécanique est : Em (M / R ) 1 1 mb 2 2 mb 2 2 cos( ) 2
= θ −^ ω θ.
- Le système étant conservatif, car il ne subit aucune force dissipative (aucun frottement), l’énergie mécanique est donc stationnaire. Em (M / R ) 1 = cste. Par
dérivation par rapport au temps, on obtient : dE^ m^ (M / R )^1 dt
(^2) ( ) 2 2 (^1) mb 2 mb sin( ) 0 2
θθ +^ ω θ^ θ =. Cette dernière équation se simplifie en :
θ θ + ω ( 2 sin( )θ (^) ) = 0. Le cas intéressant correspond à θ ≠^0. D’où θ + ω^2 sin( )θ = 0. Cette
équation différentielle est celle d’un pendule oscillant à grandes amplitudes. Elle admet une solution analytique qu’il n’y a pas lieu de présenter ici. Nous considérons alors seulement son approximation dans le cas des petites oscillations, auquel cas : sin( )θ θ et l’équation différentielle devient linéaire de second ordre à coefficients
constants. Elle s’écrit sous la forme : θ + ω θ =^2 . L’équation caractéristique associée à cette équation différentielle est : r 2 − i 2 ω^2 = 0. Elle admet deux racines complexes conjuguées : r 1 = − ωi et r 2 = ωi. La solution de
l’équation différentielle s’écrit alors : θ(t) = A cos ( ωt ) + Bsin ( ωt ), où A et B sont deux
constantes identifiées par les conditions initiales. On pourra toujours écrire la
solution sous la forme compacte : θ(t)^ =^ Csin^ ( ω + ψt^ ), où C représente l’amplitude des
oscillations et ψ la phase à l’origine des dates.
- Si b = 0 , l’énergie potentielle devient : E (M / R) p = ax^2. L’énergie mécanique est :
E m (M / R) = E (M / R)p + E (M / R)c. D’où 2 2 m E (M / R) 1 mx ax 2
= ^ +.
Notre système est conservatif en l’absence de toute force de frottement, son
énergie mécanique est stationnaire. D’où dE^ m(M / R)^0 dt
(^1) m 2xx 2axx x mx 2ax 0 2
Le cas intéressant est celui pour lequel, il y a mouvement, c’est-à-dire x ≠ 0. L’équation différentielle du mouvement s’écrit alors : mx + 2ax = 0. Il s’agit d’une équation différentielle homogène linéaire de second ordre et à coefficients constants. Son intégration passe par la recherche des solutions de l’équation
caractéristique associée. En posant 2 2a m
ω = , cette dernière s’écrit: r^2 + ω^2 = 0. Ses
racines sont : r 1 = − ωi et r 2 = ωi. Il s’ensuit la solution de l’équation différentielle sous
la forme générale suivante: x(t) = A cos( ωt) + Bsin( ωt). Pour trouver les constantes A et B , on applique les conditions initiales. Pour cela dérivons d’abord x(t) par rapport à
t , il vient : x(t)^ = −A ω cos( ωt) + B ω sin( ωt). Les constantes A et B doivent: x(0) = A = x 0 et x(0) = − A ω = 0. Ce qui donne x(t) = x cos( 0 ωt).
