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MECANIQUE QUANTIQUE
MECANIQUE QUANTIQUE
Chapitre 5 :
Chapitre 5 :
Postulats de la m
Postulats de la méécaniquecanique
quantique
quantique
Pr. M. ABD-LEFDIL
Université Mohammed V- Agdal
Faculté des Sciences
Département de Physique
Année universitaire 06-
Filières SM-SMI
Introduction Introduction
AprAprèès avoir vu le formalisme maths avoir vu le formalisme mathéématique de lamatique de la
m
méécanique quantique, nous allonscanique quantique, nous allons éénoncer sesnoncer ses
postulats, qui sont valables pour tout systpostulats, qui sont valables pour tout systèèmeme
quantique y compris bien squantique y compris bien sûûr la mr la méécaniquecanique
ondulatoire d'une particule dans l'espace.
ondulatoire d'une particule dans l'espace.
Description quantique d’ Description quantique d’un systun systèème physique:me physique:
Etat du syst
Etat du systèème, ses observables et sonme, ses observables et son éévolutionvolution
dans le temps
dans le temps
3
3
1 er postulat 1 er postulat
PRINCIPE DE SUPERPOSITION :PRINCIPE DE SUPERPOSITION :
L'
L'éétat d'un systtat d'un systèème est entime est entièèrement drement dééfini,fini,
à
à chaque instant, par la donnchaque instant, par la donnéée d'une d'un
vecteur ket |vecteur ket |ψψ> appartenant à> appartenantà l'espace desl'espace des
éétatstats ξξ
nn
||ψψ> est é> estéquivalentquivalent àà ψψ(x,t) qui est une(x,t) qui est une
fonction de carrfonction de carréé sommable.sommable.
2
2
èmeème
postulat
postulat
DESCRIPTION MATHEMATIQUEDESCRIPTION MATHEMATIQUE
D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE
D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE
A toute grandeur physique mesurable A est A toute grandeur physique mesurable A est
associ
associéée un ope un opéérateur linrateur linééaire hermitique agissantaire hermitique agissant
dans l'espace des
dans l'espace des éétats.tats.
A=A
A=A
ψ
ψ
11
|A|
|A|
ψ
ψ
22
ψ
ψ
22
|A|
|A|
ψ
ψ
11
**
A est l'observable associ
A est l'observable associééee àà la grandeur physique Ala grandeur physique A .
.
Matrice ligne Matrice colonne
Matrice carrée
7
7
n
est le degré de dégénérescence.
- {|{|UU
nn
i
i
} un système orthonormé de vecteurs
formant une base dans le sous-espace propre de
ξ
n
associé à la valeur propre a
n
∑
=
n
a
P 1
n
Notons que la probabilité totale est égale à l'unité:
2
i
i
a n
P C
n
∑
=
- Cas d - Cas d’’un spectre continu et non dun spectre continu et non dééggéénnéérréé::
Lorsqu’ Lorsqu’on mesure la grandeur physique A sur unon mesure la grandeur physique A sur un
systsystèème quantique se trouvant dansme quantique se trouvant dans
L’éL’état normtat norméé ||ψψ>, la probabilité>, la probabilité dPdP
aa
dd’’obtenir uneobtenir une
valeur comprise entre a et a+da est:
valeur comprise entre a et a+da est:
dP
dP
aa
=|<V
=|<V
αα
ψ
ψ
|
2
2
da
da
OùOù ||VV
α
α
est le vecteur associé à la valeur propre a>
de l’observable A.
9
9
5
5
è
èmeme
postulat
postulat
REDUCTION DU PAQUET D'ONDESREDUCTION DU PAQUET D'ONDES
Si la mesure de l'observable A sur le systSi la mesure de l'observable A sur le systèèmeme
dans l'dans l'éétat |tat |ψψ> donne la valeur propre a> donne la valeur proprea
n
n
, alors, alors
l'
l'éétat du systtat du systèème immme imméédiatement aprdiatement aprèès las la
mesure ayant donn
mesure ayant donnéé la valeur ala valeur a
nn
est la
est la
projection norm
projection norméée de |e de | ψ
ψ
, soit :
, soit :
[ ]
1 / 2
n
n
P
P
Remarque : Il est impossible de prévoir à l'avance avec
certitude vers quel état quantique le système va passer.
On ne peut que faire des prévisions statistiques : C'est le
concept d'indéterminisme.
| | ψψ >:>: Etat avant la mesure
ψ
ψ
nn
>: Etat apraprèès la mesures la mesure
Mesure de A Mesure de A
||
||
rérésultat de la mesure asultat de la mesure a
nn
13
13
Cas particulier d'un système stationnaire :
H indépendant explicitement du temps..
H |H |ψψ
n
n
> = E> = E
n
n
||ψψ
n
n
(cas stationnaire).(cas stationnaire).
Supposons pour simplifier les
Supposons pour simplifier les éécritures que lescritures que les
valeurs propres E
valeurs propres E
nn
ne sont pas d
ne sont pas dééggéénnéérréées.es.
L'ensemble des |
L'ensemble des | ψ
ψ
n
n
forme une base suivant
forme une base suivant
laquelle on peut d
laquelle on peut déévelopper n'importe quel vecteurvelopper n'importe quel vecteur
ψ
ψ
.
a)a) SoitSoit àà t = tt = t
0
0
: |: |ψψ(t(t
0
0
)> = C)> =C
n
n
(t(t
0
0
) |) |ψψ
n
n
o
oùù CC
nn
(t
(t
00
ψ
ψ
nn
ψ
ψ (t
(t
00
b)b) A l'instant t : |A l'instant t : |ψψ(t)> = C(t)> = C
n
n
(t)|(t)|ψψ
n
n
On montre que :
On montre que :
∑
n
0 n
n
n 0
(t t )
E
( t) C (t )exp - i
h
THEOREME D'EHRENFEST :
THEOREME D'EHRENFEST :
Il traduit l'
Il traduit l'éévolution de la valeur moyenne d'unevolution de la valeur moyenne d'une
observable au cours du temps
observable au cours du temps (( <
ψ
ψ |
ψ
ψ > = 1)
( )
[ ] A,H
i
1
dt
dA
A
dt
d
dt
dA
h
= ψ ψ = +
CONSTANTE DU MOUVEMENT :
Une observable A est dite constante du mouvement si:
0
dt
d A
=
0
dt
dA
⇔ =
[A , H] = 0 et
15
15
Remarque
Remarque :
[A,H] = 0 : il existe donc un syst
[A,H] = 0 : il existe donc un systèème de vecteursme de vecteurs
propres communspropres communs àà A et H (A et H (dd’’apraprèès le chapitre 4s le chapitre 4).).
Soit les |Soit les |ψψ
nn
cet ensemble de vecteurs propres:> cet ensemble de vecteurs propres:
A|
A|
ψ
ψ
nn
= a
= a
nn
ψ
ψ
nn
et
et H|
H|
ψ
ψ
nn
> = E
> = E
nn
ψ
ψ
nn
Comme lesComme les ||ψψ
nn
sont des ésont desétats stationnaires :tats stationnaires :
àà tt
00
, la mesure de A donne a, la mesure de A donne a
nn
à
à tt
00
, la mesure de H donne E
, la mesure de H donne E
nn
à
à tt
11
, la mesure de A donne a
, la mesure de A donne a
nn
à
à tt
ii
, la mesure de A donne a
, la mesure de A donne a
nn
àà tt
j
j
, la mesure de H donne E, la mesure de H donne E
n
n
La valeur propre aLa valeur propre a
nn
est appelest appelééee bon nombrebon nombre
quantique
quantique :
0
dt
dP
n
a
=
