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Groupes
Groupes Groupes Définitions et Propriétés Définition Soit G un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne : une application g:GxG — G, pour laquelle on note Vx.y € G, gle,y) = vy où 2 Ty,æLy..…. ou simplement xy. On dit que (G..), ou simplement @, est un groupe si : (i) la loi . est associative, i.e., Vr,y,2 € G,x(y.2) = (xy).2. (ii) la loi. possède un élément neutre, e., 3 EG:VreGre=er=r, (ii) tout élément x de G possède un symétrique a, ie. Vr € Ge G:xx=a"x =e. On désigne ce symétrique par 27! et on l'appelle inverse de x. Si de plus la loi. est commutative, i.e., Vr,y € G x.y = yr. on dit que le groupe G est commu- tatif ou abélien. On note souvent dans ee cas la loi +, le neutre 0, le symétrique —x et on l'appelle opposé de &. Exemple 1) (R,+),(Q,+),(2,+) sont des groupes aliens. 2] (R°,.),(Q°..), ainsi que (R1..),(Q%..) sont des groupes abéliens. 3) L'ensemble S(E) des bijections d'un ensemble E non vide muni de la composition des ap- plications : fog:E — Ext fog(r) = f(glr)) est un groupe d'élément neutre Idg : E — Ext x appelée identité de E. Ce groupe n'est pas commutatif dès que card(E) > 3. En effet. soient x, y, 2 trois éléments de E deux à deux différents et soient f et g les deux applications définies pur à Je) = y. fl) = 2/0) = 2 JO =tit# at uit # 2 el gl) = r,9(0) = 2,9(e) = y gt) =tsit#at# ut 2 Alors, f et g sont des bijections et f o g(x) = f(g(x)) = f(x) = u et go (a) = a(f(2)) = alu) = 2. Ainsi Joy £ go J. 4) (Map(R),+) est un groupe abélien. 5) Soit n un entier naturel, n € {0,1}. Alors, l'ensemble (GL;(R)..) des matrices carrées in- versibles d'ordre n à coefficients dans R, muni du produit des matrices, est un groupe non abélien appelé groupe linéaire. 6) (Zn, +) est un groupe commutatif. Proposition Soit G un groupe noté multiplicativement. Alors, (i) L'élément neutre de G est unique, aussi le symétrique de tout élément a de G est unique. (ii) Va € GYmn € Zi aa" = a", (iii) tout élément a de G est régulier, plus précisément : Va,b € G, l'équation az = b (resp. æa = b) possède une unique solution qui est x = a71b (resp. x = ba”1). docsity.com 
