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Typologie: Résumés
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Ne manques pas les parties importantes!
ÉCOLE NATIONALE DE L’AVIATION CIVILE EPL/ S 2 0 2 1
L’épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé informatiquement.
2 ) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu’après vous être relu soigneusement.
3 ) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d’être rejeté informatiquement et de ne pas être corrigé.
Si vous voulez modifier votre réponse , n’utilisez pas de correcteur mais indiquez la nouvelle réponse sur la 2 ème^ ligne.
Si vous voulez annuler votre réponse, vous devez cocher la case « Ann ». Dans ce cas-là, aucune réponse ne sera prise en compte.
6 ) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des questions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : le logiciel de correction lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s’arrêtera de lire lorsqu’il aura détecté des réponses à 24 questions, quelle que soit la valeur de ces réponses.
Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.
7 ) A chaque question numérotée entre 1 et 36 , correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 à 80 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36 , vous vous trouvez en face de 4 possibilités :
► soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge.
► soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez cocher l’une des cases A, B, C, D.
► soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez cocher deux des cases A, B, C, D et deux seulement.
► soit vous jugez qu’aucune des réponses proposées A, B, C, D n’est bonne, vous devez alors cocher la case E.
En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.
Toutes les questions sont indépendantes les unes des autres
Question 1 : 𝑖 désigne le nombre complexe tel que 𝑖^2 = −1.
Nous considérons le nombre complexe 𝑧 = 1 − (𝑡𝑎𝑛𝛼)^2 + (2𝑡𝑎𝑛𝛼) × 𝑖 où 𝛼 ∈ ]− 𝜋 4 ; 0[.
Nous démontrons alors que : A) 𝑅𝑒(𝑧) ≤ 0 B) 𝑎𝑟𝑔(𝑧) = 𝛼 + 2𝑘𝜋, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 C) 𝑅𝑒(𝑧) = [1 + (𝑡𝑎𝑛𝛼)^2 ] × 𝑐𝑜𝑠𝛼 D) 𝐼𝑚(𝑧) = [1 + (𝑡𝑎𝑛𝛼)^2 ] × 𝑠𝑖𝑛2𝛼
Question 2 : Si l’écriture décimale d’un entier naturel 𝑛 se termine par 5 , alors celle de 𝑛^2 se termine par : A) 5 B) 25 C) 125 D) 05
Question 3 : 𝑖 désigne le nombre complexe tel que 𝑖^2 = −1. Les imaginaires purs sont les nombres complexes de la forme : 𝑎𝑖 , 𝑎 étant un nombre réel.
A) Il existe un unique entier relatif 𝑘 tel que (−1 + √3𝑖)
𝑘 soit un imaginaire pur. B) Il existe exactement deux entiers relatifs 𝑘 tels que (^) (−1 + √3𝑖)𝑘soit un imaginaire pur. C) Il existe une infinité d’entiers relatifs 𝑘 tels que (−1 + √3𝑖)
𝑘 soit un imaginaire pur. D) Il n’existe pas d’entier relatif 𝑘 tel que (−1 + √3𝑖)
𝑘 soit un imaginaire pur.
Question 4 : soit la fonction 𝐹 est définie sur l’ensemble des nombres réels positifs par
𝐹(𝑥) = ∫ (𝑠𝑖𝑛𝑡) 0 𝑥 2 𝑑𝑡. L’équation 𝐹(𝑥) = 100 admet exactement : A) (^3) solutions. B) (^2) solutions. C) (^1) solution. D) (^0) solution.
Question 5 : un concours propose un QCM comportant 4 questions. Pour chacune des questions, 3 réponses sont proposées et une seule est exacte. Un candidat répond au hasard. La probabilité pour qu’il donne au moins une réponse exacte vaut :
A) 25681
Question 11 : un client achète une marchandise, alors :
A) Il est financièrement toujours plus intéressant de demander une réduction de 10% du prix d’une marchandise que de demander une augmentation de 10% de la quantité de la marchandise. B) Il est financièrement toujours plus intéressant de demander une augmentation de 10% de la quantité de la marchandise que de demander une réduction de 10% du prix d’une marchandise. C) Il est financièrement toujours équivalent de demander une réduction de 10% du prix d’une marchandise que de demander une augmentation de 10% de la quantité de la marchandise. D) Il est financièrement parfois plus intéressant de demander une réduction de 10% du prix d’une marchandise que de demander une augmentation de 10% de la quantité de la marchandise et parfois c’est l’inverse.
Question 12 : |𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥)| désigne la valeur absolue de 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥). La fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑒−2𝑥^ × |𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥)| :
A) n’est pas continue en 12. B) est continue en 12. C) n’est pas dérivable en 12. D) est dérivable en 12.
Question 13 : soit 𝐽(𝑥) = ∫ (𝑠𝑖𝑛𝑡) 0 𝑥 5 × 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡alors 𝐼 = ∫ 0 𝜋 4 ⁄ 𝐽(𝑥)𝑑𝑥est égale à :
A) −15𝜋+44 192 B) 15𝜋−44 192 C) −15𝜋+44 1152 D) 15𝜋−44 1152
Question 14 : soit la suite définie par : 𝑢 0 = 1 et pour tout nombre entier 𝑛, 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 − 𝑛 + 1. Cette suite est : A) divergente vers +∞ B) convergente vers un nombre réel. C) à termes positifs ou nuls. D) à termes négatifs.
Question 15 : 𝐴 et 𝐵 sont deux événements qui vérifient :
𝑝(𝐵) = 0,2 ; 𝑝𝐵(𝐴) = 0,3 ; 𝑝𝐵(𝐴) = 0,4. Alors, la probabilité 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) est égale à : A) 0, B) 0, C) 0, D) 0,
Question 16 : nous considérons trois figures géométriques de couleurs distinctes : un carré, un cercle et un losange qui sont rouge, vert ou bleu. Chaque couleur est attribuée une fois et une seule fois. Sachant que : i) Si le carré est rouge alors le cercle est vert. ii) Si le carré est vert alors le cercle est bleu. iii) Si le cercle n’est pas rouge alors le losange est vert. iv) Si le losange est bleu alors le carré est vert. Alors nous savons que : A) Le cercle est bleu et le losange est vert. B) Le carré est vert et le losange est rouge. C) Le cercle est rouge et le losange est bleu. D) Le cercle est vert et le losange est rouge.
Question 17 : Nous désignons par 𝑌 la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur par rapport à la banque. La loi de probabilité de 𝑌 est donnée dans le tableau ci-dessous :
Valeurs 𝑌 − 10 − 7 0 3 12 16 Probabilité 0 , 15 0 , 25 0 , 20 0 , 20 0 , 15 0 , 05
Le jeu proposé est :
A) équitable. B) favorable au joueur. C) favorable à la banque. D) inéquitable.
Question 18 : Soient 𝑥 un nombre réel et 𝑛 un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Nous posons : 𝐽𝑛(𝑥) = ∑^ 𝑛−1𝑘=0 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 2𝑘𝜋𝑛 ). Nous démontrons que 𝐽𝑛(𝑥)^ est :
A) nul B) strictement positif C) strictement négatif D) de signe non constant
Question 19 : Soient 𝑥 un nombre réel et 𝑛 un entier naturel non nul.
Nous posons : 𝐾𝑛(𝑥) = ∑^ 𝑛−1𝑘=0 𝑠𝑖𝑛 ((𝑘 + 12 ) 𝑥). Nous démontrons que [𝑠𝑖𝑛(𝑥 2⁄ )] × 𝐾𝑛(𝑥)^ est :
A) strictement négatif B) négatif ou nul C) strictement positif D) positif ou nul
Question 25 : et désignent respectivement l’ensemble des nombres rationnels et l’ensemble
des nombres réels. Nous avons alors :
A) La famille de 4 , (𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 ) où 𝑒 1 = (3,0,1, −2), 𝑒 2 = (1,5,0, −1) et 𝑒 3 = (7,5,2,1) est libre. B) La famille de 4 , (𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 ) où 𝑒 1 = (3,0,1, −2), 𝑒 2 = (1,5,0, −1) et 𝑒 3 = (7,5,2,1) est liée. C) (1, √2, √3) est une famille libre du -espace vectoriel de. D) (1, √2, √3) est une famille liée du -espace vectoriel de.
Question 26 :
Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois nombres réels et 𝑀 la matrice définie par 𝑀 = (
A) Si les nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont tous distincts alors 𝑟𝑔(𝑀) = 3. B) Si les nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont tous distincts alors 𝑟𝑔(𝑀) = 2. C) Si les nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont tels que : 𝑏 = 𝑐 ≠ 𝑎 ou 𝑎 = 𝑐 ≠ 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑐 alors 𝑟𝑔(𝑀) = 3. D) Si les nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont tels que : 𝑏 = 𝑐 ≠ 𝑎 ou 𝑎 = 𝑐 ≠ 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑐 alors 𝑟𝑔(𝑀) = 2.
Question 27 : 𝑘 et 𝑘′^ étant deux nombres entiers relatifs, l’ensemble 𝑆 des solutions réelles de
l’équation 2 4(𝑐𝑜𝑠𝑥)^2 +1^ + 16 × 24(𝑠𝑖𝑛𝑥)^2 −3^ = 20, est :
A) 𝑆 = {(𝜋 6 + 𝑘 × 𝜋 2 ) ∪ (𝜋 3 + 𝑘′^ × 𝜋 2 )} B) 𝑆 = {(𝜋 6 + 𝑘 × 2𝜋) ∪ (𝜋 3 + 𝑘′^ × 2𝜋)} C) 𝑆 = {(𝜋 6 + 𝑘 × 𝜋) ∪ (𝜋 3 + 𝑘′^ × 𝜋)} D) 𝑆 = {(𝜋 6 + 𝑘 × 𝜋 4 ) ∪ (𝜋 3 + 𝑘′^ × 𝜋 4 )}
Question 28 : dans l’intervalle [0; 𝜋], l’équation 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛(2𝑥) + 𝑡𝑎𝑛(3𝑥) + 𝑡𝑎𝑛(4𝑥) = 0 admet : A) 7 solutions. B) 8 solutions. C) 9 solutions. D) 10 solutions.
Question 29 : la décomposition en éléments simples de la fraction 2𝑥
(^5) −8𝑥 (^3) +8𝑥 (^2) −4𝑥+ 𝑥^3 (𝑥−1)² est : A) 2 − (^) 𝑥^13 + (^) 𝑥^22 + (^3) 𝑥 + (^) (𝑥−1)𝑥−2 2 − (^) (𝑥−1)^12 + (^) 𝑥−1^1 B) 2 + (^) 𝑥^13 − (^) 𝑥^22 + (^3) 𝑥 + (^) (𝑥−1)𝑥−2 2 + (^) (𝑥−1)^12 − (^) 𝑥−1^1 C) 2 + (^) 𝑥^13 − (^) 𝑥^22 + (^3) 𝑥 + (^) (𝑥−1)𝑥−2 2 − (^) (𝑥−1)^12 + (^) 𝑥−1^1 D) 2 − (^) 𝑥^13 + (^) 𝑥^22 + (^3) 𝑥 + (^) (𝑥−1)𝑥−2 2 + (^) (𝑥−1)^12 − (^) 𝑥−1^1
Question 30 : soit 𝑓 la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par :
𝑓(𝑥) = (^1) 𝑥 𝑙𝑛(1 + (𝑠𝑖𝑛𝑥)^2 ) si 𝑥 n’est pas nul et 𝑓(0) = 0.
A) 𝑓 n’est pas dérivable en 0. B) 𝑓 est continue en 0. C) 𝑓 est périodique de période 𝜋. D) 𝑓 n’admet pas de limite finie en +∞.
Question 31 : pour tout entier naturel non nul 𝑛, nous posons : 𝐼𝑛 = ∫ (^0 1) (1+𝑡^1 𝑛) 2 𝑑𝑡.
Nous démontrons que la suite (𝐼𝑛) : A) n’est pas bornée. B) est décroissante. C) admet 1 pour limite en +∞. D) n’admet pas de limite finie en +∞.
Question 32 : soit (𝑢𝑛)^ la suite définie par 𝑢 0 = 1, 𝑢 1 = 2 et pour tout entier naturel 𝑛,
𝑢𝑛+2 = 32 𝑢𝑛+1 − 12 𝑢𝑛. Nous démontrons alors que :
A) pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 = 1 − (^2) 𝑛−1^1. B) lim𝑛→+∞𝑢𝑛 = 3. C) la suite (𝑣𝑛) définie par 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 est une suite géométrique de raison 13. D) la suite (𝑣𝑛) définie par 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 est une suite constante.
Question 33 : soit la fonction 𝑓 définie, pour tout nombre réel 𝑥 différent de 1 , par : 𝑓(𝑥) = 𝑥+1𝑥−1 et
soit 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère orthonormé. Nous démontrons que :
A) 𝐶𝑓 est symétrique par rapport au point de coordonnées (1 ; 0). B) 𝐶𝑓 est symétrique par rapport au point de coordonnées (1 ; 1). C) 𝐶𝑓 est symétrique par rapport au point de coordonnées (1 ; 2). D) 𝐶𝑓 est symétrique par rapport au point de coordonnées (1 ; 3).
Question 34 : lim𝑥→0+ (𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥 )
1 𝑥⁄^2 est égale à :
A) 1 B) 𝑒−1 6⁄ C) 𝑒5 6⁄ D) 𝑒1 6⁄
