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ÉPREUVE DE
MATHÉMATIQUES
DURÉE : 1h
Coefficient 5
CONSIGNES SPÉCIFIQUES
Lisez attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve.
Aucun brouillon n’est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l’usage de brouillon. L’usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique (connecté ou non) est interdit. Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n’est autorisé.
Attention, il ne s’agit pas d’un examen mais bien d’un concours qui aboutit à un classement. Si vous trouvez ce sujet "difficile", ne vous arrêtez pas en cours de composition, n’abandonnez pas, restez concentré(e). Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous!
Barème : Une seule réponse exacte par question. Afin d’éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points, tandis que chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’1 point.
GÉOMÉTRIE DU PLAN ET DE L’ESPACE
On a représenté ci-dessous deux disques, l’un de 2 cm de diamètre inclus dans l’autre, de 4 cm de diamètre :
Quelle est l’aire en cm^2 de la partie hachurée?
a. 2 π b. 3 π
c. 6 π d. 12 π
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points A (1;2;3) et B (2;0;1). On admet que l’ensemble des points équidistants des points A et B est un plan de l’espace ; on l’appelle "plan médiateur de [ AB ]". Une équation cartésienne du plan médiateur au segment [ AB ] est :
a. x + y + z = 6 b. x + y + z = 3
c. x + y + z = − 3 d. 2 x − 4 y − 4 z = − 9
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note C le cercle de centre le point de coordonnées (3 ;3) et de rayon R > 0. Les axes du repère sont tangents au cercle C , si et seulement si :
a. R = 3 b. R = 9
c. R =
p 3 d. Aucune de ces réponses n’est correcte
On suppose l’espace muni d’un repère orthonormé. Soit S la sphère de centre O (0;0;0) et passant par A (1;1;1). Une équation du plan tangent à S au point A est donnée par :
a. x + y + z = 0 b. x + y + z =
p 3
c. x + y + z = 3 d. x + y + z = 32
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les plans P et Q admettant pour équations cartésiennes res- pectives : 2 x + y + z = −2 et x − y + z = −2. On définit également le point A de coordonnées (1;1;1), la droite ∆ passant par A et perpendiculaire à P :
x = 1 + 2 t y = 1 + t z = 1 + t
t ∈ R
et enfin la droite ∆ ′^ passant par A et perpendiculaire à Q : ∆ ′^ :
x = 1 + α y = 1 − α z = 1 + α
α ∈ R.
On peut alors affirmer que le point A est :
a. plus proche du plan P que du plan Q b. plus proche du plan Q que du plan P
c. à une même distance non nulle des plans P et Q d. appartient aux plans P et Q
Soient ( un ) et ( vn ) deux suites définies pour tout entier naturel n , strictement décroissantes, à termes strictement positifs. On définit la suite ( pn ) pour tout entier naturel n par :
pn = un × vn
On peut alors affirmer que la suite ( pn ) est :
a. strictement décroissante b. strictement croissante
c. strictement croissante puis strictement décroissante d. strictement décroissante puis strictement croissante
Soit ( un ) la suite définie pour tout entier naturel n par :
un =
n si n est pair 0 si n est impair
On peut alors affirmer que la suite ( un ) est :
a. strictement croissante b. strictement décroissante
c. non monotone d. constante
Soit n un entier naturel. La somme de tous les entiers relatifs de − n à 2 n est égale à :
a. n
b.
n × 3 n 2
c.
n (3 n + 1) 2
d.
( n − 1)(3 n + 1) 2
Soit ( un ) la suite définie pour tout entier naturel n par :
un =
∑^ n k = 0
2 k^ = 1 + 2 + ... + 2 n
On définit également la suite ( vn ) pour tout entier naturel n par :
vn = un + 1
On peut alors affirmer que la suite ( vn ) :
a. n’est ni arithmétique, ni géométrique b. est arithmétique et géométrique
c. n’est pas arithmétique mais est géométrique d. est arithmétique mais pas géométrique
Soit ( un ) la suite définie pour tout entier naturel n par :
un =
∑^2 n k = 0
(−2) k^ = 1 + (−2)^1 + (−2)^2 + ... + (−2)^2 n
On peut alors affirmer que la suite ( un ) est :
a. strictement croissante b. strictement décroissante
c. constante d. non monotone
Soient ( un ) et ( vn ) des suites adjacentes non constantes et qui convergent vers le réel ℓ. Les suites ( an ) et ( bn ), définies par an = 2 un − 3 vn et bn = 3 un − 2 vn sont :
a. forcément adjacentes b. ne peuvent pas être adjacentes c. éventuellement adjacentes, suivant la valeur de ℓ d. on ne dispose pas de suffisamment d’informations pour pouvoir se prononcer
Pour combien de valeur(s) du réel a les suites ( un ) et ( vn ), définies sur N∗^ par :
pour tout n ∈ N, un =
n
n
sont-elles adjacentes?
a. Aucune valeur b. Une unique valeur
c. Exactement deux valeurs d. Une infinité de valeurs
FONCTIONS
La fonction f d’expression f ( x ) =
x x
est définie sur :
a. R b. R∗
c. {1} d. ]1 ;+∞[
Soient f et g les fonctions respectivement définies sur ] − ∞;+∞[ et ] − ∞;1[∪]1;+∞[ par :
f ( x ) = x et g ( x ) =
x x − 1
La fonction
f g
est alors définie sur :
a. ] − ∞;+∞[ b. ] − ∞;0[∪]0;+∞[
c. ] − ∞;1[∪]1;+∞[ d. ] − ∞;0[∪]0;1[∪]1;+∞[
Soit f la fonction carrée et P sa parabole représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé. Soient a et b deux réels distincts, A et B les points de P de coordonnées respectives :
A
a ; a^2
et B
b ; b^2
En quelle abscisse la parabole P possède-t-elle une tangente parallèle à la droite ( AB )?
a.
a + b 2 b. a + b
c.
p ab
d.
p ab 2
Soit u une fonction définie et dérivable sur ] − ∞ ;+∞[ et f la fonction définie sur ] − ∞ ;+∞[ par f ( x ) = e u ( x ). On admet que dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de f possède une tangente au point d’abscisse 2 qui a pour équation : y = − 3 x + 7. Le nombre u ′(2) est égal à :
a. − 3 b. 7
c. e−^3 d. −3e−^3
Soit f une fonction définie et dérivable sur ] − ∞ ;+∞[. On définit sur ] − ∞ ;+∞[ la fonction g par : g ( x ) = f (− 2021 x ). Sachant que f est strictement décroissante sur ] − ∞ ;0[ et strictement croissante sur ]0 ;+∞[, on peut affirmer que :
a. g est strictement croissante sur ] − ∞ ;+∞[ b. g est strictement décroissante sur ] − ∞ ;+∞[ c. g est strictement croissante sur ] − ∞ ;0[ et strictement décroissante sur ]0 ;+∞[ d. g est strictement décroissante sur ] − ∞ ;0[ et strictement croissante sur ]0 ;+∞[
Soient a un réel strictement positif et f la fonction définie sur R par :
f ( x ) = ln
1 + a e x^
On peut alors affirmer que :
a. les limites en −∞ et +∞ de la fonction f ′^ ne dépendent pas de a b. contrairement à la limite en +∞, la limite en −∞ de la fonction f ′^ dépend de a c. contrairement à la limite en −∞, la limite en +∞ de la fonction f ′^ dépend de a d. les limites en −∞ et +∞ de la fonction f ′^ dépendent toutes les deux de a
Soit f une fonction définie et dérivable sur [−2;6] dont on donne ci-après la courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé :
x
y
− 2 − 1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
C (^) f b
La tangente à la courbe au point d’abscisse 2 est parallèle à l’axe des abscisses. Parmi les quatre tableaux de signes suivants, quel est celui de la fonction f ′^?
a. x
f ′( x )
b. x
f ′( x )
c. x
f ′( x )
d. x
f ′( x )
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur [1;9]. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 4 a pour équa- tion y = −1,2 x + 3. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f ′′^ (dérivée de la fonction f ′) :
x
y
− 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6
1
2
3
C (^) f ′′
On peut alors affirmer que la fonction f est :
a. strictement décroissante sur ]1;4[ et strictement croissante sur ]4;9[ b. strictement croissante sur ]1;4[ et strictement décroissante sur ]4;9[ c. strictement décroissante sur ]1;9[ d. strictement croissante sur ]1;9[
Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) =
e x e x^ + 1
L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé en son unique point d’inflexion est :
a. y =
x −
b. y = −
x −
c. y =
x +
d. y = −
x +
Sachant que (^) x lim→+∞ ln (1 + u ( x )) = 0, on peut affirmer que (^) x lim→+∞ u ( x ) =
a. 0 b. +∞
c. −∞ d. 1
On donne : lim X → 0 X ln( X ) = 0 et lim X → 0
ln(1 + X ) X
On peut alors affirmer que : lim x → 0 ln( x ) × ln (2021 x + 1) =
a. 0
b. 1
c. 2021 d.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Si f est solution sur R de l’équation différentielle y ′( x ) + y ( x ) = a , avec a ∈ R, alors f^2 est solution sur R de l’équation différentielle :
a. y ′( x ) + y ( x ) = 2 a b. y ′( x ) + y ( x ) = 2 a f ( x )
c. y ′( x ) + 2 y ( x ) = 2 a f ( x ) d. 2 y ′( x ) + y ( x ) = 2 a f ( x )
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on définit le plan P d’équation 3 x − 2 z + 3 = 0. On lance un dé qui a la forme
d’un tétraèdre régulier ; on obtient ainsi de manière équiprobable un chiffre a tel que 1 6 a 6 4. Enfin, on définit le point
A de coordonnées
a^2 ; a + 1;3 a
. La probabilité que A appartienne à P est égale à :
a.
b.
c.
d.
Soient X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et 0,1 et Y une seconde variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et 0,4 :
X , → B( n ;0,1) et Y , → B( n ;0,4)
On suppose de plus que X et Y sont indépendantes et on définit également la variable aléatoire Z par Z = 2 X − Y. Sachant que V ( Z ) = 12, on peut affirmer que n =
a. 2 b. 20
c. 200 d. Aucune de ces réponses n’est correcte
Soient X 1 , X 2 ,..., Xn , n variables aléatoires deux à deux indépendantes et admettant toutes une espérance égale à m et une variance égale à σ^2.
On peut alors affirmer que la variable aléatoire X (^) n =
n
∑^ n k = 1
Xi =
n
( X 1 + X 2 +···+ Xn ) admet une espérance et une variance,
respectivement égales à :
a. m et σ^2
b.
m n et
σ^2 n
c. m et
σ^2 n d. m et
σ n
ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION
Pour les questions 43 à 45, on considère l’algorithme suivant :
Algorithme 1 : SUJET ZERO 1 Variables 2 S : nombre réel 3 N , I : entiers naturels non nuls 4 Traitement 5 Saisir N 6 I ← 1 7 S ← 0
8 Tant que I 6 N faire
9 S ← S + I
10 I ← I + 1
11 Afficher S
Pour une valeur saisie de N par l’utilisateur, que retourne cet algorithme?
a. La somme des entiers de 1 à N b. La somme des entiers des 1 à N − 1
c. La somme des entiers de 0 à N d. La somme N + ( N + 1) + ( N + 2) + ··· + ( N + N )
Pour une valeur saisie par l’utilisateur de N = 39, quelle valeur retourne cet algorithme?
a. 40 b. 380
c. 680 d. 780
Combien existe-t-il de valeur(s) possible(s) de N que peut saisir l’utilisateur pour que cet algorithme retourne la valeur 200?
a. 0 b. 1
c. 2 d. 4
Ce sujet est la propriété intellectuelle exclusive du Concours Avenir. Il ne doit en aucun cas être emporté par les candi- dats à la fin de l’épreuve. Il doit être rendu à l’équipe surveillante en même temps que sa grille réponse associée.
